二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題解答方法技巧(含例解答案)

二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題解答方法技巧(含例解答案)函數(shù)解題思路方法總結(jié)：⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；⑵求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)ax2+bx+c=0中a,b,c的符號，或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a＞0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：動(dòng)點(diǎn)問題題型方法歸納總結(jié)動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)----問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。拋物線上動(dòng)點(diǎn)5、（湖北十堰市）如圖①，已知拋物線先求與BC平行且與拋物線相切點(diǎn)的坐標(biāo)（涉及簡單二元二次方程組），再求面積。070809動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)兩個(gè)問題背景特殊菱形兩邊上移動(dòng)特殊直角梯形三邊上移動(dòng)拋物線中特殊直角梯形底邊上移動(dòng)考查難點(diǎn)探究相似三角形探究三角形面積函數(shù)關(guān)系式探究等腰三角形考點(diǎn)=1\*GB3①菱形性質(zhì)=2\*GB3②特殊角三角函數(shù)=3\*GB3③求直線、拋物線解析式=4\*GB3④相似三角形=5\*GB3⑤不等式=1\*GB3①求直線解析式=2\*GB3②四邊形面積的表示=3\*GB3③動(dòng)三角形面積函數(shù)=4\*GB3④矩形性質(zhì)=1\*GB3①求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)=2\*GB3②探究平行四邊形=3\*GB3③探究動(dòng)三角形面積是定值=4\*GB3④探究等腰三角形存在性特點(diǎn)=1\*GB3①菱形是含60°的特殊菱形；△AOB是底角為30°的等腰三角形。=2\*GB3②一個(gè)動(dòng)點(diǎn)速度是參數(shù)字母。=3\*GB3③探究相似三角形時(shí)，按對應(yīng)角不同分類討論；先畫圖，再探究。=4\*GB3④通過相似三角形過度，轉(zhuǎn)化相似比得出方程。=5\*GB3⑤利用a、t范圍，運(yùn)用不等式求出a、t的值。=1\*GB3①觀察圖形構(gòu)造特征適當(dāng)割補(bǔ)表示面積=2\*GB3②動(dòng)點(diǎn)按到拐點(diǎn)時(shí)間分段分類=3\*GB3③畫出矩形必備條件的圖形探究其存在性=1\*GB3①直角梯形是特殊的（一底角是45°）=2\*GB3②點(diǎn)動(dòng)帶動(dòng)線動(dòng)=3\*GB3③線動(dòng)中的特殊性（兩個(gè)交點(diǎn)D、E是定點(diǎn)；動(dòng)線段PF長度是定值，PF=OA）=4\*GB3④通過相似三角形過度，轉(zhuǎn)化相似比得出方程。=5\*GB3⑤探究等腰三角形時(shí)，先畫圖，再探究（按邊相等分類討論）共同點(diǎn)：=1\*GB3①特殊四邊形為背景；=2\*GB3②點(diǎn)動(dòng)帶線動(dòng)得出動(dòng)三角形；=3\*GB3③探究動(dòng)三角形問題（相似、等腰三角形、面積函數(shù)關(guān)系式）；=4\*GB3④求直線、拋物線解析式；=5\*GB3⑤探究存在性問題時(shí)，先畫出圖形，再根據(jù)圖形性質(zhì)探究答案。二次函數(shù)的動(dòng)態(tài)問題（動(dòng)點(diǎn)）1.如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是，，．（1）求拋物線關(guān)于原點(diǎn)對稱的拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為，拋物線與軸分別交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），頂點(diǎn)為，四邊形的面積為．若點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)與點(diǎn)重合為止．求出四邊形的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積有最大值，并求出此最大值；（4）在運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形能否形成矩形？若能，求出此時(shí)的值；若不能，請說明理由．[解]（1）點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)分別為，，．設(shè)拋物線的解析式是，則解得所以所求拋物線的解析式是．（2）由（1）可計(jì)算得點(diǎn)．過點(diǎn)作，垂足為．當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻時(shí)，，．根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，所以四邊形是平行四邊形．所以．所以，四邊形的面積．因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)至點(diǎn)與點(diǎn)重合為止，據(jù)題意可知．所以，所求關(guān)系式是，的取值范圍是．（3），（）．所以時(shí)，有最大值．提示：也可用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式來求．（4）在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形能形成矩形．由（2）知四邊形是平行四邊形，對角線是，所以當(dāng)時(shí)四邊形是矩形．所以．所以．所以．解之得（舍）．所以在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形可以形成矩形，此時(shí)．[點(diǎn)評]本題以二次函數(shù)為背景，結(jié)合動(dòng)態(tài)問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高。2.（06福建龍巖卷）如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸交于三點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于點(diǎn)．若，且．（1）確定的值：；（2）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（其中用含的式子表示）：；（3）依點(diǎn)的變化，是否存在的值，使為等腰三角形？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由．[解]（1）（2）（3）存在的值，有以下三種情況①當(dāng)時(shí)，則②當(dāng)時(shí)得③當(dāng)時(shí)，如圖解法一：過作，又則又解法二：作斜邊中線則，此時(shí)解法三：在中有（舍去）又當(dāng)或或時(shí)，為等腰三角形．解法四：數(shù)學(xué)往往有兩個(gè)思考方向：代數(shù)和幾何，有時(shí)可以獨(dú)立思考，有時(shí)需要綜合運(yùn)用。代數(shù)討論：計(jì)算出△PQB三邊長度，均用t表示，再討論分析Rt△PHQ中用勾股定理計(jì)算PQ長度，而PB、BQ長度都可以直接直接用t表示，進(jìn)行分組討論即可計(jì)算。[點(diǎn)評]此題綜合性較強(qiáng)，涉及函數(shù)、相似性等代數(shù)、幾何知識，1、2小題不難，第3小題是比較常規(guī)的關(guān)于等腰三角形的分類討論，需要注意的是在進(jìn)行討論并且得出結(jié)論后應(yīng)當(dāng)檢驗(yàn)，在本題中若求出的t值與題目中的矛盾，應(yīng)舍去3.如圖1，已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)．（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的垂直平分線的解析式；（3）如圖2，取與線段等長的一根橡皮筋，端點(diǎn)分別固定在兩處．用鉛筆拉著這根橡皮筋使筆尖在直線上方的拋物線上移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)將與構(gòu)成無數(shù)個(gè)三角形，這些三角形中是否存在一個(gè)面積最大的三角形？如果存在，求出最大面積，并指出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請簡要說明理由．PPA圖2圖1[解]（1）解：依題意得解之得（2）作的垂直平分線交軸，軸于兩點(diǎn)，交于（如圖1）圖1DMAC圖1DMACB第26題Ｅ過作軸，為垂足由，得：，同理：設(shè)的解析式為的垂直平分線的解析式為：．（3）若存在點(diǎn)使的面積最大，則點(diǎn)在與直線平行且和拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線上，并設(shè)該直線與軸，軸交于兩點(diǎn)（如圖2）．拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，，PA圖2HPA圖2HGB設(shè)到的距離為，到的距離等于到的距離．另解：過P做PC∥y軸，PC交AB于C，當(dāng)PC最大時(shí)△PBA在AB邊上的高h(yuǎn)最大（h與PC夾角固定），則S△PBA最大→問題轉(zhuǎn)化為求PC最大值，設(shè)P（x,）,C（x,）,從而可以表示PC長度，進(jìn)行極值求取。最后，以PC為底邊，分別計(jì)算S△PBC和S△PAC即可。[點(diǎn)評]這是一道涉及二次函數(shù)、方程、幾何知識的綜合壓軸題，有一定的能力要求，第3小題是一個(gè)最值問題，解此類題時(shí)需數(shù)形結(jié)合方可較輕松的解決問題。4.如圖①，正方形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，頂點(diǎn)在第一象限．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿正方形按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求正方形的邊長．（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積（平方單位）與時(shí)間（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分（如圖②所示），求兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．（3）求（2）中面積（平方單位）與時(shí)間（秒）的函數(shù)關(guān)系式及面積取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）若點(diǎn)保持（2）中的速度不變，則點(diǎn)沿著邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小隨著時(shí)間的增大而增大；沿著邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小隨著時(shí)間的增大而減小．當(dāng)點(diǎn)沿著這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使的點(diǎn)有個(gè)．（拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．圖②圖②圖①[解]（1）作軸于．，．．（2）由圖②可知，點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)用了10秒．又．兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位．（3）方法一：作軸于，則．，即．．．，．即．，且，當(dāng)時(shí)，有最大值．此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為． （8分）方法二：當(dāng)時(shí)，．設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為．拋物線過點(diǎn)，．，且，當(dāng)時(shí)，有最大值．此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（4）．[點(diǎn)評]本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的簡單運(yùn)用和幾何知識，是近年來較為流行的試題，解題的關(guān)鍵在于結(jié)合題目的要求動(dòng)中取靜，相信解決這種問題不會(huì)非常難。．5.如圖①，中，，．它的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿的方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）求的度數(shù)．（2）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積（平方單位）與時(shí)間（秒）之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，（如圖②），求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．（3）求（2）中面積與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式及面積取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．（4）如果點(diǎn)保持（2）中的速度不變，那么點(diǎn)沿邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小隨著時(shí)間的增大而增大；沿著邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，的大小隨著時(shí)間的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，使的點(diǎn)有幾個(gè)？請說明理由．（第（第29題圖①）ACBQDOPxy3010O5tS（第29題圖②）解:（1）．（2）點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒．（3）（）．當(dāng)時(shí)，有最大值為，此時(shí)．（4）當(dāng)點(diǎn)沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，的點(diǎn)有2個(gè)．①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)重合時(shí)，的長是12單位長度，作交軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，由得：，所以，從而．第29題圖①所以當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的點(diǎn)有1個(gè)．第29題圖①②同理當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可算得．而構(gòu)成直角時(shí)交軸于，，所以，從而的點(diǎn)也有1個(gè)．所以當(dāng)點(diǎn)沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí)，的點(diǎn)有2個(gè)．6.（本題滿分14分）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)、和點(diǎn).（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）設(shè)該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為，求四邊形的面積；（3）有兩動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，其中點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度沿折線按→→的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒個(gè)單位長度的速度沿折線按→→的路線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)、兩點(diǎn)相遇時(shí)，它們都停止運(yùn)動(dòng).設(shè)、同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)秒時(shí)，的面積為S.①請問、兩點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在∥，若存在，請求出此時(shí)的值；若不存在，請說明理由；②請求出S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；③設(shè)是②中函數(shù)S的最大值，那么=.解：（1）令，則；令則．∴．∵二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，∴可設(shè)二次函數(shù)的關(guān)系式為又∵該函數(shù)圖象過點(diǎn)．∴解之，得，．∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為（2）∵=∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為過點(diǎn)M作MF軸于F∴=∴四邊形AOCM的面積為10（3）①不存在DE∥OC∵若DE∥OC，則點(diǎn)D，E應(yīng)分別在線段OA，CA上，此時(shí)，在中，．設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為∴，∴∵，∴∴∵>2，不滿足．∴不存在．②根據(jù)題意得D，E兩點(diǎn)相遇的時(shí)間為（秒）現(xiàn)分情況討論如下：?。┊?dāng)時(shí)，；ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為∴，∴∴ⅲ）當(dāng)2<<時(shí)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，類似ⅱ可得設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為∴，∴∴=③7.關(guān)于的二次函數(shù)以軸為對稱軸，且與軸的交點(diǎn)在軸上方．（1）求此拋物線的解析式，并在下面的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的草圖；（2）設(shè)是軸右側(cè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，再過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于軸于點(diǎn)，得到矩形．設(shè)矩形的周長為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)的拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，矩形能否成為正方形．若能，請求出此時(shí)正方形的周長；若不能，請說明理由．參考資料：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對稱軸是直線．解：（1）據(jù)題意得：，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．又拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，．4321143211234（第26題）函數(shù)的草圖如圖所示．（只要與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)的位置及圖象大致形狀正確即可）（2）解：令，得．不時(shí)，，，．當(dāng)時(shí)，，．．關(guān)于的函數(shù)關(guān)系是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3）解法一：當(dāng)時(shí)，令，得．解得（舍），或．將代入，得．當(dāng)時(shí)，令，得．解得（舍），或．將代入，得．綜上，矩形能成為正方形，且當(dāng)時(shí)正方形的周長為；當(dāng)時(shí)，正方形的周長為．解法二：當(dāng)時(shí)，同“解法一”可得．正方形的周長．當(dāng)時(shí)，同“解法一”可得．正方形的周長．綜上，矩形能成為正方形，且當(dāng)時(shí)正方形的周長為；當(dāng)時(shí)，正方形的周長為．解法三：點(diǎn)在軸右側(cè)的拋物線上，，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．令，則．，①或②由①解得（舍），或；由②解得（舍），或．又，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)．綜上，矩形能成為正方形，且當(dāng)時(shí)正方形的周長為；當(dāng)時(shí)，正方形的周長為．8.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的兩個(gè)根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求此拋物線的表達(dá)式；（3）連接AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過點(diǎn)E作EF∥AC交BC于點(diǎn)F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．第第26題圖解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2∴由拋物線的對稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－6，0）（2）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達(dá)式，得第第26題圖(批卷教師用圖)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0＝36a－6b＋8,0＝4a＋2b＋8))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3),b＝－\f(8,3)))∴所求拋物線的表達(dá)式為y＝－eq\f(2,3)x2－eq\f(8,3)x＋8（3）依題意，AE＝m，則BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC∴eq\f(EF,AC)＝eq\f(BE,AB)即eq\f(EF,10)＝eq\f(8－m,8)∴EF＝eq\f(40－5m,4)過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為G，則sin∠FEG＝sin∠CAB＝eq\f(4,5)∴eq\f(FG,EF)＝eq\f(4,5)∴FG＝eq\f(4,5)·eq\f(40－5m,4)＝8－m∴S＝S△BCE－S△BFE＝eq\f(1,2)（8－m）×8－eq\f(1,2)（8－m）（8－m）＝eq\f(1,2)（8－m）（8－8＋m）＝eq\f(1,2)（8－m）m＝－eq\f(1,2)m2＋4m自變量m的取值范圍是0＜m＜8（4）存在．理由：∵S＝－eq\f(1,2)m2＋4m＝－eq\f(1,2)（m－4）2＋8且－eq\f(1,2)＜0，∴當(dāng)m＝4時(shí)，S有最大值，S最大值＝8∵m＝4，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（－2，0）∴△BCE為等腰三角形．9.（14分）如圖：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn).（1）求拋物線的解析式.（2）已知AD=AB（D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最?。咳舸嬖?，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。（注：拋物線的對稱軸為）（1）解法一：設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x-4)因?yàn)锽（0，4）在拋物線上，所以4=a(0+3)(0-4)解得a=-1/3所以拋物線解析式為解法二：設(shè)拋物線的解析式為，依題意得：c=4且解得所以所求的拋物線的解析式為（2）連接DQ，在Rt△AOB中，所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=AC-AD=

7–5=2因?yàn)锽D垂直平分PQ，所以PD=QD，PQ⊥BD，所以∠PDB=∠QDB因?yàn)锳D=AB，所以∠ABD=∠ADB，∠ABD=∠QDB，所以DQ∥AB所以∠CQD=∠CBA?！螩DQ=∠CAB，所以△CDQ∽△CAB即所以AP=AD–DP=AD–DQ=5–=，所以t的值是（3）答對稱軸上存在一點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小理由：因?yàn)閽佄锞€的對稱軸為所以A（-3，0），C（4，0）兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱連接AQ交直線于點(diǎn)M，則MQ+MC的值最小過點(diǎn)Q作QE⊥x軸，于E，所以∠QED=∠BOA=900DQ∥AB，∠BAO=∠QDE，△DQE∽△ABO即所以QE=，DE=，所以O(shè)E=OD+DE=2+=，所以Q（，）設(shè)直線AQ的解析式為則由此得所以直線AQ的解析式為聯(lián)立由此得所以M則：在對稱軸上存在點(diǎn)M，使MQ+MC的值最小。10.如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．（4）如圖10，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積.（1）方法一：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）…1分將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得……2分解得：……3分所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：……3分方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）………1分設(shè)該表達(dá)式為：……2分將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：……3分所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：……3分（注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）（2）方法一：存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）……4分理由：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）……4分由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE＝CF＝2，AE∥CF∴以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，－3）……5分方法二：易得D（1，－4），所以直線CD的解析式為：∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，0）………4分∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，－3）或（―2，―3）或（－4，3）代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有（2，－3）符合∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，－3）………5分（3）如圖，①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為R（R>0），則N（R+1，R），代入拋物線的表達(dá)式，解得…………6分②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為r（r>0），則N（r+1，－r），代入拋物線的表達(dá)式，解得………7分∴圓的半徑為或．……………7分（4）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，易得G（2，－3），直線AG為．……………8分設(shè)P（x，），則Q（x，－x－1），PQ．……9分當(dāng)時(shí)，△APG的面積最大此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，．……10分11．（本小題12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OB＜OC∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）又∵拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2∴由拋物線的對稱性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－6，0）∴A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8）（2）∵點(diǎn)C（0，8）在拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象上∴c＝8，將