復(fù)合泊松分布

復(fù)合泊松分布及其性質(zhì)稱隨機(jī)變量S=￡N1X'服從參數(shù)為人的復(fù)合泊松分布，如果滿足1.隨機(jī)變量N,X1,X2，?..,Xn是相互獨(dú)立若X1，X2，?..,X「?具有相同的分布，且分布與X相同N服從泊松分布，參數(shù)為人〉0E(S)=E(X)E(N)=XE(X)

而尸(S)=Var(X)E(N)+E(X)War(N)=XVar(X)+人E(X)2=XE(X2)F(x)=￡P(guān)(N=n)F*n(x)=工(e^~F初(x)n=0n=0f(x)火彳fn(X)Sn!n=0TOC\o"1-5"\h\z定理3.1設(shè)S,S，…,S為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且S為參數(shù)為冗，12nii個體索賠分布為f(x)的復(fù)合泊松分布，i=1，2???m,則XiS=S+SHFS服從參數(shù)為X=Y人，且f(x)=祝T~f(x)的復(fù)合12niXXXii=1i=1分布。背景：m可看成m個保險保單組合，S則是這m個保單組合的總索賠額。S也可以看作同一個保單組合在m個不同年度內(nèi)的總索賠額證明：設(shè)S；為參數(shù)為X^的復(fù)合泊松分布，Si的矩母函數(shù)為M(t)=exp[X(M(t)-1)]。由于S,S，…,S為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，SiX12nii因此S的矩母函數(shù)為：EsM(t)=E(ets)=E(、)STOC\o"1-5"\h\z=而(etsi)=I^Ms(t)

i=1i=1i=exp(E人M(t)—E人)i人.ii=11i=1=exp('E=(M(t)—1))

人“i=1設(shè)Mx(t)=E%M*(t)，由矩母函數(shù)的定義知，Mx(t)為i=11fX(t)=EJfX(t)的矩母函數(shù)，因此i=11Ms(t)=exp(人(Mx(t)—1))

所以S為參數(shù)為人，個體索賠分布為fx3)的復(fù)合泊松分布。2若S1和TOC\o"1-5"\h\z例：設(shè)S1服從復(fù)合泊松分布，七=10,fx(1)=0.7,fx(2)=0.3，S也服從復(fù)合泊松分布，氣=15,fx(1)=0.5,fx(2)=0.2,f⑶=0.2S相互獨(dú)立，求S=S+S2若S1和X的分布為21X的分布為解：S服從復(fù)合泊松分布，人=10+15=25，f(x)=10f(k)+15f(k)

X25X125X2f(1)=100.7+150.5=0.58X、2525f(2)=貝0.3+^0.3=0.30X、'25250.12f(3)=100.2+150.2

x''25250.12定理：設(shè)總索賠額S是一個復(fù)合泊松分布，其中個體保單的索賠額X的分布f3）。假設(shè)X的取值可以分為m種類型：C「C，…,C，其中丸z=P（XeC）。設(shè)N表示索賠發(fā)生總次數(shù)，N「.,Nm分別m表示C1,C2，...,Cm類型索賠發(fā)生的次數(shù)，N=N1+N2+."Nm。下面結(jié)論成立：2m12m（1）隨機(jī)變量N1,%,???,N相互獨(dú)立，N服從參數(shù)為人二人兀.的泊松分布。（2）設(shè)X⑴表示當(dāng)?shù)趇類索賠事件發(fā)生時的索賠額，即X（i）=XIXeC,令S=X］（i）+...+X（n）,i=1,...m，則S「…,S都是相互獨(dú)立且5三服從參數(shù)為七二人兀.的復(fù)合泊松分布，個體索賠額為X（z）。例3.13:設(shè)S服從復(fù)合泊松分布，人=10,fx⑴=0.5,fx(2)=0.3,fx(3)=0.2。令q=(XIX<2),C2=(XIX>2),求X(i),X⑵的分布，*,S2的分布。解：令P]=P(X<2)=0.5+0.3=0.8，P2=P(X>2)=0.2則X(1),X(2)的分布為XfX3)f(JX)X(1)f⑴X(2)10.50.5/70.8020.30.3/70.8030.200.2/70.2設(shè)Nt表示第/類索賠事件發(fā)生的次數(shù)，則Nt是泊松分布，人=XP(xgC)=10po于是計算得到人=10x0.8=8，人=10x0.2=2，因此，*是復(fù)合泊松分布，X=8，個體索賠分布為53f(1)=8,f(2)=疽S2是復(fù)合泊松分布，X=2，個體索賠分布為f⑶=1oX2)例3.14設(shè)索賠次數(shù)N服從X=2的泊松分布，個體索賠額的分布fx(x)=0.1x,x=1,2,3,4，計算總索賠額S等于1,2,3,4時的概率。

解:設(shè)N.表示個體索賠額為i的索賠事件次數(shù)，則N.服從參數(shù)為人兀1的泊松分布，總索賠額S=\N1+2N2+3N3+4N4，其中，兀廣0.1,K2=0.2,兀3=0.3,兀4=0.4,利用獨(dú)立隨機(jī)變量和的卷積公式得到下表。x1N12N23N34%fs(x)00.81870.67030.54880.44930.135310.163750000.0270520.0163750.2681000.0568330.0010900.329300.092240.0000550.053600.35950.1364

例3.15設(shè)某保險公司承保醫(yī)療保險，X表示一次醫(yī)療費(fèi)用，N表示看病的次數(shù)，N服從泊松分布，S=X1+X2+..?+Xn表示該醫(yī)療保險的總費(fèi)用，設(shè)X的分布密度為TOC\o"1-5"\h\z2x一f(x)=——(1-——)0<x<250

X、，250250試分析加入免賠額d=50后，保險公司的總索賠額的變化。解：首先考慮無免賠額情形，此時d=0。總索賠額等于總醫(yī)療費(fèi)用S。由X的分布密度計算得到.2x250E(X)=』250x三(1-工)dx=——=83.3°2502503Var(XVar(X)=250218總索賠額的期望和方差為-----E(S)=XE(X)=8333.3Var(S)=人E(X2)=100(E(X)2+Var(X))=100((芝0)2+2502)318=1041666.6下面考慮d=50的情形。這時將醫(yī)療費(fèi)用分為兩類：q=(XIX<50),C=(XIX>50)。設(shè)N］表示醫(yī)療費(fèi)用小于等于免賠額的次數(shù)，服從參數(shù)為七=人P(X<50)=100(1-(1-250)2)=36的泊松分布。N2表示醫(yī)療費(fèi)用大于免賠額，服從參數(shù)X=XP（X>50）=100（1—孩）2=64的泊松分布。設(shè)X（I）=XI,2250X<50x2=xIx>50，則總損失額S=*+S2，其中S1=X,）+?.?+XN（1）S=X⑵+...+X（2）s1表示醫(yī)療費(fèi)小于等于免賠額的總費(fèi)用，這部分費(fèi)用完全由投保人承擔(dān)。s2表示醫(yī)療費(fèi)大于免賠額的總費(fèi)用。由于X=XI=50+（X—50）I，因此25S2=X1（2）+、XN2⑵=50N2況…十其中Y=X—501x>50表示第i次看病的索賠額。從上式可以看出，總費(fèi)用S2分為兩部分，一部分由投保人承擔(dān)，另一部分是總索賠額部分，由保險人來承擔(dān)。我們記總索賠額為S3,則S3=匕+???+Yn。Yj的分布密度為2(150+y)2(200-y)fz)_f(5°+y)—250’250_250’250)羅y)—P(X>50)—(i-當(dāng)之仁00廠TOC\o"1-5"\h\z2502502y———(1-工)200200因此，E(Y)—200，Var(Y)—2(200)2。可以得到總理賠額的期望和方39.4差為E(S)—E(N)E(Y)—64(200)—4266.6323

Var(S)=E(N)E(Y2)=64((200)2+22°8333.3事實上，總損失S可以分解為：S=X⑴+???+X⑴+X⑵8333.3事實上，總損失S可以分解為：S=X⑴+???+X⑴+X⑵+???+X⑵Kv1''v2_■加入免賠額后，總理賠額比沒有免賠額時減少了=48.8%。8333.3-4266.6

S的近似分布1、正態(tài)近似=48.8%。定理設(shè)個別理賠額分布函數(shù)為f(X，"廣E(X)，u2=E(X2)。(1)如果S是復(fù)合泊松分布，參數(shù)為人，則當(dāng)人T3時Z=Ms齊2的分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。(2)如果S是復(fù)合負(fù)二項式分布，參數(shù)為r,p,P(N=k)=r+r?"r八1+p\rJ,P(N=k)=r+r?"r八1+p\rJ,k=0,1,2,的分布在r—s時趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t2.一-、一、2Var(S)M(t)=E(exp(tS—M))=M(—)exp{-E}

s2證明：我們將利用limMz（t）=e2來證明（1）和（2）。對于泊松分布情形，由z=S-E（S）=S―扁一得到2由公式(5)知Ms(t)=exp[人(M^(t)-2Var(S)M(t)=E(exp(tS—M))=M(—)exp{-E}

s22由矩母函數(shù)的級數(shù)展開式M(t)=E(etx)=1+E(X)t+E(X2)12+.??+丘(X"tn+...,x2n!我們可以得到，111u',、M(t)=exp(；212+~—^=——3—13+???)2t2當(dāng)人T3，Mz(t)—e2，即limM^(t)=e2。從而，Z分布在r—s時趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。對于負(fù)二項分布，令〃S-E(S)S-E(N)E(X)z==—(Var(S)柱(N)Var(X)+Var(N)E(X)2S-rPu

=1、：rPu+rP2u2再用類似的方法證明Z分布在r*時趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。此處不再敘述。例：(SOA2001-1130)TheclaimsdepartmentofaninsurancecompanyreceivesenvelopeswithclaimsforinsurancecoverageataPoissonrateofl=50envelopesperweek.Foranyperiodoftime,thenumberofenvelopesandthenumbersofclaimsintheenvelopesareindependent.Thenumbersofclaimsintheenvelopeshavethefollowingdistribution:Nun】berotClaudsI'rotxibiIiryTOC\o"1-5"\h\zicEo0.2?0.400J5Usingthenormalapproximation,calculatethe90thpercentileofthenumberofclaimsreceivedin13weeks.解：設(shè)r表示第I個信封中的索賠數(shù)。設(shè)X(13)表示13周內(nèi)收到的i總索賠數(shù)。E(Y)=1x0.2+2x0.25+3x0.4+4x0.15=2.5iE(Y2)=1x0.2+4x0.25+9x0.4+16x0.15=7.2iE(X(13))=50x13x2.5=1625Var(X(13))=50x13x7.2=4680由P(X(13)<Z)=0.9=①(1.282)=>p(X(1冬5<1.282)<4680因此，X(13)<1712.72、平移gamma近似設(shè)G(x;a,P)=j*Ee-Edt為gamma分布，對任意一點(diǎn)x0,or(a)0定義一個新的分布函數(shù)H(x,a,P,*0)=G(x-x0;a,P)。若設(shè)h(x)和g(x)分布為H(x,a,P,x0)和G(x,x0,a,P)的分布函數(shù)密度，則從圖形上H和G只差了一個平移變換。

卜面我們用龍3)來描述總索賠S的分布密度。因為h(x)有三個參數(shù)，所

以只需根據(jù)S的均值、方差和三階中心矩定出h(x)的形狀和位置。又因為h的均值，方差和三階中心矩分別為x+a,a,2a，所以用h(x)0PP2P3來描述S的分布時，下面三個等式近似成立。aE(S)=x0+p(7)(7)Var(S)=-p22aE(S-E(S))3=p3這是一方程組，解出XQ,a,P有_g_2Var(S)2%-E(S—E(S))34Var(S)3

a=E((S—E(S))3)2a2Var(S)P=E(S—E(S))3（7）這樣就可以得到一個平移gamma分布。當(dāng)S為復(fù)合泊松分布時，可簡化為TOC\o"1-5"\h\z4扁32ua=2;p=2U2U其中R=E(X3)。（7）3aa右X+—=up—=b2，當(dāng)x—-8,a—8,P—8時，可以證明H(x,a,—,x)趨于正態(tài)分布N(u,q2)。因此，正態(tài)分布可以看作是這種0三參數(shù)分布的一種極限情況。從這個意義上來說，平移gamma分布近似是正態(tài)近似的推廣。例3.17：設(shè)S為復(fù)合泊松分布，人=12，當(dāng)個體索賠分布為【0,1］上的均勻分布時，試分別用(1)正態(tài)近似(2)平移gamma近似計算P(S<10)。解：(1)由條件易知u=E(X)=1，u=E(X2)=L于是得到1223E(S)=X^=6，var(S)=X^=4所以，P(S<10)=P(^6<2)=O(2)=0.97722(2)令%=E(X3)=f1x3dx=4，貝QE(S-E(S))3=XR3=3，解方程組'6=x+a/P<4=a/P23=2a/P3得x0=-4.67,a=28.44,P=2.67。因此S的分布函數(shù)為G(x+4.67;28.44,2.67)，P(S<10)=G(14.67,28.44,2.67)=0.9683

3、對數(shù)正態(tài)近似此外，實際中還使用對數(shù)正態(tài)分布ln("q2)來近似S的分布，即考慮方程組E(S)=exp(u+6”‘2)E(S2)=exp(2u+2b2)(3.41)解出u,b2，然后用ln(u,b2)來描述(3.41)當(dāng)E(N)的值較大時，正態(tài)分布近似的效果不錯，特別是當(dāng)N為泊松分布，二項式分布和負(fù)二項式分布時，由中心極限定理知，當(dāng)人,m,r趨于無窮時，S的分布將趨于正態(tài)分布。而當(dāng)E(N)的值較小時，S的分布是有偏斜的，這時使用平