數(shù)列通項公式求法大全

最全的數(shù)通項公式的法數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式——通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公式的常用方法。一、直法根據(jù)數(shù)列的特征，使用作差法等直接寫出通項公式。二、公式法①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項②若已知數(shù)列的前n項和與a的關(guān)系，求數(shù)項可用公式nna求解(意：求完后一定要考慮合并通項例1①已知數(shù)項滿足2an

n

n．求數(shù)式②已知數(shù)項和S滿足n

Sn

2

，求數(shù)式.③已知等比數(shù)a0q數(shù)b1

n

a

n

，求數(shù)列

。n三、歸猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項或能求出數(shù)列的前幾項，我們可以根據(jù)前幾項的規(guī)律，歸納猜想出數(shù)列的通項公式，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律，然后正面證明。四、累（乘）法對于形如a

n

(n)型或形an

n

f(n)型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出nn取1到n時的所有的遞推關(guān)系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。例

若在數(shù)3a1

n

an，求通項a。nn例

在數(shù)a1

n

2naN*通a。n五、取（對）數(shù)法a

n

par這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)轉(zhuǎn)化an

n

pa，再利用待系數(shù)法求解n

nn1nn1nnnn1nn1nnb、數(shù)列有如f(aaaa)0關(guān)系，可在等式兩邊同乘以nn

1先求出再求得a.aannc

n

f()an(n)(n)n

解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換轉(zhuǎn)化a。n例6.．設(shè)數(shù){}滿2,a1

n

nn

(N),求.例7設(shè)正項數(shù)a22（n≥2）.求數(shù)式.1n變式:31.已知數(shù)列｛a｝滿足：＝，且a＝2

n1（n，nN2a＋n1n1求數(shù)列｛a｝的通項公式；12、若數(shù)列的遞推公式3,)，則求這個數(shù)列的通項公式。aan3、已知數(shù)列{}滿足a時a1

n

an

n

a，求通項公式。na4、已知數(shù)列｛a｝滿足n3

,，求數(shù)列｛a｝的通項公式。5、若數(shù)列｛a｝中，a=1，an

n

=

2a2

n∈N，求通項a．n六、迭法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計算七、待系數(shù)法：1通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列{a+k}的形式求解。一般地，形如an

=pa+qn

qnn22≠1≠0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)aqnn22

+k=p）與原式

n比較系數(shù)可得pk－k=q，即k=，從而得等比數(shù)列{a。p例9數(shù)列{a}滿足a=1，a=n1

12

a+1（n≥2數(shù)列{a}的通項公式。n練習(xí)、數(shù)列{a}滿足a=13n1

n

,求數(shù)列{a}的通項公式。nn2、已知數(shù)，

a，a．2、遞推式為a

n

pa、q常數(shù)）時可同除qn，n

aann，令qq

aq

nn從而化為apa為常數(shù)）型n例．已知數(shù)列滿足n、

2)a．，3、形

n

papn解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即

n

x(pxny)n與已知遞推式比較，解出,y,從而轉(zhuǎn)化yp的等比數(shù)列。n例11:設(shè)數(shù)4,

n

a.4、形如

an

paann

2

(p0)解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令a(nn(xnyn)，與已知遞推式比較，解出x,y,z.從nn而轉(zhuǎn)化p的等比數(shù)列。

、12例12:設(shè)數(shù)、12

aa1n

2

n

，求a八：不點法，形如解法：如果數(shù)列{}足下列條件：已a的值且對，都1

（其中p、r均為常數(shù)，且,r0,么，可作特征方程x,特征方程有且僅rrx1有一根時等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、x時，則aan數(shù)列。

是等比例已知數(shù){}足性質(zhì)：對N,

n

nan

且a{}