非線(xiàn)性數(shù)學(xué)期望及倒向隨機(jī)微分方程理論-《山東大學(xué)》2012年博士論文

KKME---專(zhuān)業(yè)醫(yī)學(xué)搜索引擎/非線(xiàn)性數(shù)學(xué)期望及倒向隨機(jī)微分方程理論--《山東大學(xué)》2012年博士論文假設(shè)概率是可加的或者期望是線(xiàn)性的是經(jīng)典概率論的基礎(chǔ).然而很多不確定性現(xiàn)象不能由這種可加性或線(xiàn)性性來(lái)刻畫(huà),所以這種假設(shè)在眾多應(yīng)用領(lǐng)域是不可行的.例如,著名的Allais悖論說(shuō)明VonNeumannMorgenstein期望效用理論需要被修正,VonNeumannMorgenstein期望效用理論是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ),而悖論正是因?yàn)楦怕适强杉拥幕蛘咂谕蔷€(xiàn)性的造成的.因此,受經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),統(tǒng)計(jì)學(xué),工程學(xué),金融學(xué)中不確定性問(wèn)題的啟發(fā),許多文獻(xiàn)開(kāi)始用非可加概率和非線(xiàn)性期望來(lái)描述和解釋問(wèn)題. 自從文獻(xiàn)[1]提出一致風(fēng)險(xiǎn)度量后,人們對(duì)次線(xiàn)性期望(更一般的,凸期望)越來(lái)越感興趣.大體的說(shuō)來(lái),次線(xiàn)性期望是一個(gè)定義在線(xiàn)性隨機(jī)變量空間上的滿(mǎn)足單調(diào)性,保常性,次可加性,正齊性的實(shí)值函數(shù).一個(gè)次線(xiàn)性期望E可以表示成一族線(xiàn)性期望{Eθ：θ∈Θ}的上期望,也就是說(shuō),E[X]=supθ∈ΘE0[X](參考文獻(xiàn)[62]).一般情況下,這可以表示不確定模型下的一族概率{Pθ：θ∈Θ},因此,次線(xiàn)性期望的概念提供了一個(gè)穩(wěn)健的方法來(lái)衡量風(fēng)險(xiǎn)損失XPeng在文獻(xiàn)[59,60,61,62,63]中提出了次線(xiàn)性期望空間中獨(dú)立同分布的概念.對(duì)應(yīng)于線(xiàn)性情況下的正態(tài)分布和布朗運(yùn)動(dòng),他同時(shí)提出了的G-正態(tài)分布和G-布朗運(yùn)動(dòng)的概念.在這個(gè)框架下,Peng在文獻(xiàn)[62]證明了大數(shù)定律和中心極限定理Peng在文獻(xiàn)[59]中構(gòu)造了G-期望空間,該空間在非線(xiàn)性概率中充當(dāng)著經(jīng)典概率論中Wiener空間的角色,可以說(shuō)是最重要的次線(xiàn)性期望空間.在G-期望空間中,Peng引入G-Ito積分的概念,得到了G-Ito公式(參見(jiàn)文獻(xiàn)[44,59]). 本文的第一章和第二章分別研究上期望空間中獨(dú)立隨機(jī)變量的不等式和強(qiáng)大數(shù)定律；第三章和第四章將研究G-期望空間中G-布朗運(yùn)動(dòng)重對(duì)數(shù)律的不變?cè)砗投嘀谿-Ito積分. 另一類(lèi)重要的非線(xiàn)性期望是g-期望,它是由Peng在文獻(xiàn)[57]中通過(guò)一類(lèi)有限時(shí)間區(qū)間上的倒向隨機(jī)微分方程(BackwardStochasticDifferentialEqua-tion,簡(jiǎn)記為BSDE)引進(jìn)的,g=9(ω,t,y,z)：Ω×[0,T]×R×Rd→R為BSDE的生成元.經(jīng)過(guò)最近二十多年的發(fā)展,倒向隨機(jī)微分方程理論已經(jīng)逐漸成為概率論,隨機(jī)分析理論中的一個(gè)獨(dú)特而重要的分支.特別是其在隨機(jī)最優(yōu)控制,隨機(jī)微分對(duì)策,金融數(shù)學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)和偏微分方程理論中的重要應(yīng)用,吸引了大批的數(shù)學(xué)家,經(jīng)濟(jì)學(xué)家和金融學(xué)家加入到其研究的行列.g-期望和條件g-期望保持經(jīng)典數(shù)學(xué)期望及條件期望除了線(xiàn)性性以外的其它很多性質(zhì)(參考文獻(xiàn)[57]).他們的非線(xiàn)性性由其生成元g刻畫(huà).g-期望成為一個(gè)典型的具有時(shí)間一致性的非線(xiàn)性期望,在動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量和非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)定價(jià)方面有著重要的應(yīng)用(參考文獻(xiàn)[10,27,34])Peng(1999)利用條件g-期望的概念引進(jìn)了g-鞅、g-上鞅、g-下鞅的概念,同時(shí)證明了非線(xiàn)性的Doob-Meyer分解定理(參考文獻(xiàn)[58]).Hu和Chen在文獻(xiàn)[33]中拓展了Peng引進(jìn)的g-期望的定義范圍并得到了相關(guān)的性質(zhì). 本文的后兩章主要研究倒向隨機(jī)微分方程理論和g-期望空間中的一些基本問(wèn)題.本文共分為六章,以下是本文的結(jié)構(gòu)和得到的主要結(jié)論. (Ⅰ)第一章主要研究上期望空間中獨(dú)立隨機(jī)變量序列部分和的不等式. Borel-Cantelli引理是經(jīng)典概率論中最基礎(chǔ)的引理之一,參考文獻(xiàn)[9,11,12]研究了容度下的Borel-Cantelli引理.第一章我們首先給出了容度下條件更弱的Borel-Cantelli引理. 引理1.2.5Borel-Cantelli引理.是F中的事件序列,(V,v)是由概率族P生成的上-下概率. (1)如果 (2)若對(duì)任意的n,m∈N*,如果則 (3)若v(·)是下連續(xù)的,并且對(duì)任意的n,m∈N*,如果則 設(shè){(?)是上期望空間(Ω,F,P,E)中獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且對(duì)(?)i∈N*,有E[Xi]=ε[Xi]=0成立代表的部分和過(guò)程,也就是說(shuō)定義符號(hào)和 下面我們列出在本文第一章中得到的上期望空間中獨(dú)立隨機(jī)變量序列部分和的最大不等式,指數(shù)不等式和Marcinkicwicz-Zygmund不等式. 定理1.3.1最大不等式.假設(shè)f是R上非降的函數(shù),并且f(0)=0,則對(duì)任意的n,j∈N*,特別的,對(duì)任意的λ0, 定理1.4.1指數(shù)不等式.設(shè)是一列正實(shí)數(shù).若對(duì)任意的i∈N*有|Xi|≤Gi.則對(duì)任意ε≥0我們有以下兩式成立. 定理1.4.3若對(duì)任意的i∈N*有|Xi|≤c∞,則對(duì)任意的r1/2,n-rSn→0q.s., 定理1.4.4是正實(shí)數(shù)列,并且對(duì)任意的i∈N*有｜Xi｜≤ci.如果則對(duì)任意的r0,我們有n-rSn→0q.s.. 定理1.5.2Marcinkiewicz-Zygmund不等式.對(duì)p∈(1,2],我們有 定理1.5.3是一列正常數(shù),p∈(1,2],‖Xj‖pcj,則對(duì)任意的ε0,我們有 定理1.5.4是一列正常數(shù),p∈(1,2],‖Xj‖pcj.則我們有 如果下面條件有一條成立,是使得pr1的正數(shù);其中α,r是使得pr-1α的正數(shù). (Ⅱ)在第二章,我們將用新的方法來(lái)研究容度下的大數(shù)定律.我們得到了一系列強(qiáng)大數(shù)定律的結(jié)果,它們都是經(jīng)典Kolmogorov強(qiáng)大數(shù)定律的推廣. 設(shè)X1,X2,…,Xn+1是上期望空間(Ω,F,P,E)中實(shí)可測(cè)的隨機(jī)變量.Xn+1稱(chēng)為在上期望E[·]下垂直獨(dú)立于(X1,…,Xn),如果對(duì)R上使得E[φi(Xi)]∞,i=1,…,n+1都成立的非負(fù)可測(cè)函數(shù){φi(·)}i=1n+1,有 如果對(duì)每一個(gè)n∈N*,Xn+1都垂直獨(dú)立于(Xi,…,Xn),則我們稱(chēng)是垂直獨(dú)立的隨機(jī)變量序列. 我們得到的容度下的強(qiáng)大數(shù)定律如下所示. 定理2.3.1強(qiáng)大數(shù)定律.給定上期望空間(Ω,廠,P,E),是在E[·]下垂直獨(dú)立的隨機(jī)變量序列.如果存在著α0使得并且令則我們有(Ⅰ)和 更進(jìn)一步地,假設(shè)v(·)是下連續(xù)的,對(duì)任意N*的子列關(guān)于容度v(·)獨(dú)立,并且存在著n0∈N*,c00使得則我們有(Ⅱ) 更有意思的是,利用我們的強(qiáng)大數(shù)定律可以得到Strassen形式的容度下大數(shù)定律的不變?cè)?參考文獻(xiàn)[68]). 定理2.3.4對(duì)任意R上的連續(xù)函數(shù)φ(·),在定理2.3.1的假設(shè)下,我們有 在第一章的最后我們將容度下強(qiáng)大數(shù)定律應(yīng)用到模糊條件下的Bernoulli試驗(yàn)中,得到了模糊條件下Bernoulli試驗(yàn)頻率的極限特征. (Ⅲ)第三章采用Peng提出的次線(xiàn)性期望中獨(dú)立同分布的概念,研究G-期望空間中G-布朗運(yùn)動(dòng)重對(duì)數(shù)律的不變?cè)?同時(shí)還得到了關(guān)于獨(dú)立或同分布隨機(jī)變量的一些性質(zhì). 令E,ε表示G-期望E[·]對(duì)應(yīng)的上-下期望.我們得到以下命題. 命題3.2.13X和Y是G-期望空間中兩個(gè)實(shí)值的連續(xù)隨機(jī)變量.如果X=Y,那么其中φ(x)=IA(x),A是閉區(qū)間的有限并或者是開(kāi)區(qū)間的有限并. 命題3.2.14X和Y是G-期望空間中兩個(gè)實(shí)值的連續(xù)隨機(jī)變量.如果X=Y,那么其中φ(x)=IA(x),A是閉區(qū)間的有限并或者是開(kāi)區(qū)間的有限并. 命題3.2.16在G-期望空間(Ω,LG1(Ω),E)中,X,Y是兩個(gè)實(shí)值的連續(xù)隨機(jī)變量,并且Y在E[·]下獨(dú)立于X.如果A,B同為有限閉區(qū)間的并,或者A,B同為有限開(kāi)區(qū)間的并,那么,和 設(shè){B(t)}t≥0,是G-布朗運(yùn)動(dòng),也就是說(shuō),我們只考慮非退化的情形,即旦0.定義令C([0,1])表示在上?！ぁ碌膹腫0,1]到R上連續(xù)映射的Banach空間.ζn是取值于C([0,1])的隨機(jī)變量.對(duì)任意的β≥0,定義對(duì)于任意的ω,C(ζn(ω))表示的極限點(diǎn)的集合.C(ζn)是一個(gè)隨機(jī)集.在本文中,在不引起歧義的條件下我們經(jīng)常為了符號(hào)的簡(jiǎn)潔,對(duì)ω省略不寫(xiě). 定理3.3.1令C(ζn)表示{ζn}n=3∞聚點(diǎn)的集合,則 更一般的,我們得到如下所示的G-布朗運(yùn)動(dòng)重對(duì)數(shù)律的不變?cè)? 定理3.3.4設(shè)φ是從C[0,1]到Hausdorff空間H的連續(xù)映射,則我們有 (Ⅳ)在第四章中,我們定義了空間L2([0,T]n)中對(duì)稱(chēng)函數(shù)的多重G-Ito積分,并且找到了多重G-Ito積分和Hermite多項(xiàng)式的關(guān)系. 為了構(gòu)造合理的多重G-Ito積分的定義,我們首先引進(jìn)下面的函數(shù)空間,對(duì)n∈N*：中的對(duì)稱(chēng)函數(shù)},其中 對(duì)任意定義在Sn:=((x1,…,xn)∈[0,T]n：0≤x1≤x2≤…≤xn≤T}(n∈N*)上的函數(shù)f,定義對(duì)我們可以如此定義n次迭代的G-Ito積分：為了更加的完備和方便,定義 注意到對(duì)任意的g∈L2([0,T]n),我們有受此啟發(fā),我們給出了多重G-Ito積分的定義. 定義4.3.1對(duì)每一個(gè)9∈L2([0,T]n),定義同時(shí)對(duì)每一個(gè)c∈R,定義U0T(c):=0!0T(c)=c. 令Hn(x)表示n階Hcrmite多項(xiàng)式,我們引入一個(gè)兩維的多項(xiàng)式函數(shù)hn(x,y),對(duì)n∈N,(x,y)∈R2,從而我們得到多重G-Ito積分和Hcrmitc多項(xiàng)式之間具有如下所示的關(guān)系. 定理4.4.1設(shè)g0=1.對(duì)任意的f∈L2([0,T]),n∈N,令gn(t1,t2,…,tn)=f(t1)f(t2)…f(tn).則gn∈L2([0,T]n)且對(duì)n=0,1,2,…,其中且是非負(fù)的隨機(jī)變量. 利用上面的定理,我們給出了一個(gè)計(jì)算∫0T∫0tn…∫0t2dBt1…dBtn-1dBtn的一般公式. 推論4.3.3其中[x]表示比x小的最大的整數(shù). (V)第五章主要研究多維的倒向隨機(jī)微分方程.我們?cè)赗n上定義了一類(lèi)全序關(guān)系,并且給出了多維倒向隨機(jī)微分方程在該類(lèi)全序關(guān)系下的比較定理. 定義5.3.1設(shè)q∈Rn是給定的非零向量.對(duì)任意的y1,y2∈Rn,如果(y1,q)≥(y2,q),則稱(chēng)y1在q下大于(或者優(yōu)于)y2,記為 顯然,y1(?)qy2當(dāng)且僅當(dāng)所以不失一般性,我們?cè)诘谖逭露技僭O(shè)q是單位向量.對(duì)任意的0≤u≤T,考慮下面兩個(gè)BSDEs, 定理5.3.3設(shè)g1和g2滿(mǎn)足條件(A1)-(A3): (A1)對(duì)任意的(y,z)∈Rn×Rn×d,t→g(t,y,z)是連續(xù)的,P-a.s.; (A2)存在著常數(shù)μ0,使得對(duì)任意的t∈[0,T],(y,z),(y',z')∈Rn×Rn×d,都有 (A3)g(t,0,0)∈ST2.則下面(ⅰ)和(ⅱ)是等價(jià)的: ()對(duì)任意的u∈[0,T],ξ1,ξ2∈L2(Ω,Fu,P；Rn)使得則BSDEs (0.2)在時(shí)間區(qū)間[0,u]上Su2×Hu2中的唯一的解(Y1,Z1)和(Y2,Z2)滿(mǎn)足 (ⅲ)對(duì)任意的t∈[0,T],(y,z),(y',z')∈Rn×Rn×d,我們有 其中C0是不依賴(lài)于(t,y,z)的常數(shù). 關(guān)于特定的全序關(guān)系(?)q,我們還得到一些更進(jìn)一步的結(jié)果. (Ⅵ)第六章我們研究g-框架.為了研究了g-上鞅的性質(zhì),我們定義了與經(jīng)典位勢(shì)相對(duì)應(yīng)的g-位勢(shì)的概念,并且證明了g-上鞅的Riesz分解定理.在不假設(shè)g獨(dú)立于y的前提下,我們找到了拓展后的g-期望是次線(xiàn)性期望的充分必要條件. 定義6.2.6軌道右連續(xù)的非負(fù)g-上鞅{Xt}t≥0如果滿(mǎn)足則稱(chēng){Xt}t≥0為g-位勢(shì). 定理6.2.9g-上鞅的Riesz分解定理.設(shè){Xt}t≥0為右連續(xù)的g-上鞅,其中g(shù)滿(mǎn)足下面的條件(H1)-(H4)： (H1)對(duì)(?)(y,z)∈R×Rd,g(·,·,y,z)是循序可測(cè)的,且 (H2)g滿(mǎn)足以下Lipschitz條件：存在非隨機(jī)的非負(fù)函數(shù)v(t),u(t)使得dP×dt-a.s.,(?)(yi,zi)∈R×Rd,i=1,2,進(jìn)一步的假設(shè)g滿(mǎn)足超線(xiàn)性性,即：dP×dt-as.,(?)(yi,zi)∈R×Rd,i=1,2有下式成立若則Xt可分解為g-鞅與g-位勢(shì)之和,即存在g-鞅Yt,g-位勢(shì)πt使得Xt=Yt+πt.記其中是Rd值循序可測(cè)的過(guò)程并且dP×dt-a.s.,(?)(y,z)∈R×Rd,θt·z≤g(t,y,z)}.下面是我們得到的擴(kuò)展的g-期望是次線(xiàn)性期望的充分必要條件. 定理6.3.8設(shè)g滿(mǎn)足(A1)-(A3)： (A1)對(duì)任意的(y,z)∈R×Rd,g(·,y,z)是循序可測(cè)的過(guò)程; (A2)存在著常數(shù)μ0,使得P-a.s.;(?)t∈[0,T],(?)(y,z),(y',z')∈R×Rd,|g(t,y,z)-g(t,y',z,)|≤μ(|y-y'|+|z-z'|).(A3)g(t,y,0)三0.則下面的結(jié)論等價(jià): (ⅰ)εg[·]是L(Ω,FT,P)上的次線(xiàn)性期望. (ⅱ)存在FT上的概率測(cè)度集Q,使得 (ⅲ)g獨(dú)立于y且關(guān)于z次線(xiàn)性.文獻(xiàn)檢索瀏覽器/可以免費(fèi)下載論文的瀏覽器? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【唯美句子】走累的時(shí)候，我就到升國(guó)旗哪里的一角臺(tái)階坐下，雙手撫膝，再閉眼，讓心靈受到陽(yáng)光的洗滌。懶洋洋的幸福。頂3收藏2? 【唯美句子】一個(gè)人踮著腳尖，在窄窄的跑道白線(xiàn)上走，走到很遠(yuǎn)的地方又走回來(lái)。陽(yáng)光很好，溫暖，柔和。漫天的安靜。頂7收藏7? 【唯美句子】清風(fēng)飄然，秋水緩淌。一絲云起，一片葉落，剔透生命的空靈。輕輕用手觸摸，就點(diǎn)碎了河面的臉。落葉舞步婀娜不肯去，是眷戀，是裝點(diǎn)？瞬間回眸，點(diǎn)亮了生命精彩。頂11收藏9? 【唯美句子】幾只從南方歸來(lái)的燕子，輕盈的飛來(lái)飛去，“幾處早鶯爭(zhēng)暖樹(shù)，誰(shuí)家新燕啄春泥，”其樂(lè)融融的山林氣息，與世無(wú)爭(zhēng)的世外桃源，讓人心曠神怡。頂0收藏2? 【唯美句子】流年清淺，歲月輪轉(zhuǎn)，或許是冬天太過(guò)漫長(zhǎng)，當(dāng)一夜春風(fēng)吹開(kāi)萬(wàn)里柳時(shí)，心情也似乎開(kāi)朗了許多，在一個(gè)風(fēng)輕云淡的早晨，踏著初春的陽(yáng)光，漫步在碧柳垂青的小河邊，看小河的流水因?yàn)榻忾_(kāi)了冰凍而歡快的流淌，清澈見(jiàn)底的的河水，可以數(shù)得清河底的鵝軟石，偶爾掠過(guò)水面的水鳥(niǎo)，讓小河蕩起一層層的漣漪。河岸換上綠色的新裝，剛剛睡醒的各種各樣的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，這兒一叢，那兒一簇，好像是交頭接耳的議論著些什么，又好象是在偷偷地說(shuō)著悄悄話(huà)。頂3收藏4? 【唯美句子】喜歡海子寫(xiě)的面朝大海春暖花開(kāi)，不僅僅是因?yàn)槲蚁矚g看海，還喜歡詩(shī)人筆下的意境，每當(dāng)夜深人靜時(shí)，放一曲純音樂(lè)，品一盞茶，在腦海中搜尋詩(shī)中的恬淡閑適。在春暖花開(kāi)時(shí)，身著一身素衣，站在清風(fēng)拂柳，蝶舞翩躚的百花叢中，輕吹一葉豎笛，放眼碧波萬(wàn)里，海鷗，沙灘，還有揚(yáng)帆在落日下的古船，在心曠神怡中，做一簾紅塵的幽夢(mèng)。頂0收藏2? 【唯美句子】繁華如三千東流水，你只在乎閑云野鶴般的采菊東籬、身心自由，置身置靈魂于曠野，高聲吟唱著屬于自己的歌，悠悠然永遠(yuǎn)地成為一個(gè)真真正正的淡泊名利、鄙棄功名利祿的隱者。頂1收藏3? 【唯美句子】世俗名利和青山綠水之間，你選擇了淡泊明志，持竿垂釣碧泉綠潭；權(quán)力富貴和草舍茅廬之間，你選擇了寧?kù)o致遠(yuǎn)，曉夢(mèng)翩躚姹紫嫣紅。頂2收藏3? 【唯美句子】那是一株清香的無(wú)名花，我看到了它在春風(fēng)夏雨中風(fēng)姿綽約的模樣，可突如其來(lái)的秋雨，無(wú)情的打落了它美麗的花瓣，看著它在空谷中獨(dú)自凋零，我莫名其妙的心痛，像針椎一樣的痛。秋雨，你為何如此殘忍，為何不懂得憐香惜玉，我伸出顫抖的雙手，將散落在泥土里的花瓣捧在手心。頂4收藏5? 【唯美句子】滴答滴答，疏疏落落的秋雨，趕著時(shí)間的腳步，嘩啦啦的下起來(lái)。聽(tīng)著雨水輕輕地敲擊著微薄的玻璃窗，不知不覺(jué)，我像是被催眠了一樣，漸漸的進(jìn)入了夢(mèng)鄉(xiāng)。頂3收藏5? 【唯美句子】在這極致的悲傷里，我看到了世間最美的愛(ài)，可誰(shuí)又能明白，此刻的我是悲傷還是歡喜，也許只有那撥動(dòng)我心弦的秋季，才知道潛藏在我心中的眼淚。頂4收藏3? 【唯美句子】看著此情此景，我細(xì)細(xì)地聆聽(tīng)。像是聽(tīng)到了落葉的呢喃，秋風(fēng)的柔軟，在這極短的瞬間，他們一起訴說(shuō)著最美的愛(ài)戀，演繹著永恒的癡纏。當(dāng)落葉安詳?shù)奶稍诖蟮兀冻鲂腋５哪?，你看，它多像一個(gè)進(jìn)入夢(mèng)鄉(xiāng)的孩子。突然發(fā)現(xiàn)，秋風(fēng)并非是想象中的劊子手，原來(lái)它只是在葉子生命的最后一刻，讓它體會(huì)到愛(ài)的纏綿，飛翔的滋味。頂1收藏1? 【唯美句子】很感謝那些耐心回答我的人，公交上那個(gè)姐姐，還有那位大叔，我不知道他們是不是本地人，但我們遇到的一個(gè)交警協(xié)管，一位頭發(fā)花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人說(shuō)的上海人很排外。事實(shí)上，什么都不是絕對(duì)的。頂2收藏0? 【唯美句子】我嗅到濃郁的香奈爾，卻也被那種陌生嗆了一鼻。也許，我卻不知道，那時(shí)的感受了。那里沒(méi)有那么美好，沒(méi)有安全感，歸屬感。我想要的自由呢，不完全地體驗(yàn)到了。頂2收藏1? 【唯美句子】那些繁華的都市，車(chē)水馬龍，燈紅酒綠，流光溢彩，卻充斥著一種悲哀，浮夸。我看到各種奢華，卻也看到各種卑微，我看到友善親和，也看到暴躁粗魯，我看到金光熠? 【優(yōu)美語(yǔ)句】踏過(guò)一片海，用博識(shí)的學(xué)問(wèn)激起片片微瀾；采過(guò)一叢花，正在聰慧的碰碰外送來(lái)縷縷清噴鼻；無(wú)過(guò)一個(gè)夢(mèng)，決定從那里啟程。頂0收藏0? 【優(yōu)美語(yǔ)句】人生如一本書(shū)，應(yīng)該多一些精彩的細(xì)節(jié)，少一些乏味的字眼；人生如一支歌，應(yīng)該多