彈性力學平面問題有限元法

彈性力學平面問題有限元法第1頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一材料力學主要研究桿、梁、柱結構力學主要研究桿系（或梁系）彈性力學主要研究實體和板得受力和變形彈性力學假設所研究的物體：連續(xù)的、完全彈性的均勻的、各向同性的、微小變形的和無初應力的在這假設基礎上研究受力物體一點上的應力、應變、變形和平衡關系。第2頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一線性：（非線性）

結構的應力與應變的關系（本構關系）呈線性變化。

彈性：（塑性）

結構在外力拆除后能夠完全恢復原有形狀的特性。

靜力分析：（動態(tài)分析）

結構所受外力是不隨時間變化的恒力。第3頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一一、彈性力學中的物理量

載荷、應力、應變、位移1.載荷

載荷是外界作用在彈性體上的力，又稱為外力。它包括體力、面力和集中力三種形式。

體力是分布于整個彈性體體積內的外力，如重力和慣性力。在彈性體內任一點，單位體積的體力用表示，它可分解為給定坐標系x、y和z三個坐標軸上的投影、、，稱為體力分量。

面力是作用于彈性體表面上的外力，如流體壓力和接觸壓力。如果外力作用面很小，或者說外力作用在某一點上，則這種外力稱為集中力。第4頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一無論那個位置的體力、那一邊界面上的面力，均以正標向為正，且斜面上的面力是以單位斜面面積上的作用力數值來表示。第5頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一內力求解方法：截面法定義：物體本身不同部分之間相互作用的力。第6頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一oxyzPmn矢量方向沿的極限方向量綱：2.應力:內力集度。反映內力分布情況（應力場）沿截面切向和法向分解為和第7頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一

應力的兩種不同分解方法沿坐標軸分解沿截面法向和切向分解除了在推導公式過程中沿坐標軸分解外，通常采用沿截面法向和切向分解的方式，即分解為正應力和切應力，因為與物體形變和材料強度之間相關的是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量。第8頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一oxyztyz

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PABC第9頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一正六面單元體的取法經過物體內任一點如P點取出一個微小的正六面體，它的棱邊分別平行于三個坐標軸而長度分別為：。將每個面上的應力分解為一個正應力和兩個切應力。正應力用表示，切應力用表示。應力下標的含意：作用面的外法線方向力的指向作用面的外法線方向力的指向第10頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一

在受力物體相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對存在，且數值相等；兩者都垂直于兩平面的交線，方向共同指向或背離這一交線。oxyztyx

txy

tzxtxztzytyz彈力規(guī)定材力規(guī)定

切應力互等定理第11頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.形變定義：形狀的改變（長度的改變和角度的改變）線應變（正應變）：線段單位長度的伸縮。記號：正負：伸長為正，壓縮為負切應變(剪應變)：兩方向線段夾角的改變。記號：(以弧而非角度表示)正負：直角變小為正，變大為負第12頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一同一點的應力狀態(tài)情況一樣，可證明，在物體內任意一點，若已知、、、、、，即可求得經過該點的任意截面上（方向余弦已知）的正應變和切應變。故這六個應變分量完全確定了該點的應變狀態(tài)。一點的形變狀態(tài)的概念幾何規(guī)律：過空間一點有無數根直線。力學特點：即使過同一點，不同方向線段的伸長也同；任兩根直線之間夾角的改變也不相同。第13頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一4.位移定義：位置的改變。記號：、、正負：沿坐標軸正向為正，負向為負。分類:與形變有關的位移和與形變無關位移（剛體位移）第14頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一二、彈性力學基本方程彈性力學基本方程描述彈性體內任一點應力、應變、位移以及外力之間的關系，它包括平衡方程、幾何方程和物理方程三類。1.平衡方程（應力和體力之間關系）平衡方程是彈性體內部必須滿足的條件，它說明六個應力分量不是獨立的，它們通過三個平衡方程相互聯系。應力和體力在三個坐標方向上滿足一下平衡方程在X方向有第15頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一2.幾何方程（幾何量位移和應變）第16頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3.物理方程（應力分量與應變分量；與材料的物理特性有關）

從靜力學角度導出了平衡微分方程和靜力邊界條件；從幾何學角度導出了幾何方程和應變協(xié)調條件；在推導過程中并沒有涉及到彈性體本身材料的固有特性，故這些方程適用于一切連續(xù)介質。從物理學的角度分析可知，不同材料的彈性體其應力應變關系即本構關系是不同的，對于對于理想彈性體，在小變形情況下，應力應變關系服從廣義胡克定律第17頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一物理方程的表達形式以應力表示應變以應變表示應力第18頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一為材料的彈性模量；為材料的切變彈性模量為泊松比由上可見，三類基本方程中包括15個方程，含6個應力分量、6個應變分量和3個位移分量共15個未知量。實際求解時并不是同時求出全部未知量，而是先求出一部分（稱為基本未知量），再通過基本方程求出其他未知量。位移法、應力法、混合法——選取基本未知量不同第19頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一1.平面應力問題zyyxo四、平面問題工程中鏈傳動中的鏈片、發(fā)動機中的連桿、內燃機的飛輪、軋機的機架和齒寬較小的直齒圓柱齒輪等第20頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一條件

彈性體是等厚的薄板（沿向等厚度），厚度尺寸遠遠小于截面尺寸，t《L/15；體力、面力和約束都只有平面內的量即,且都不沿向變化；第21頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一應力邊界（面力和約束只作用于板邊，在板面上沒任何面力和約束的作用。應力邊界為：板很薄，外力不沿厚度方向變化，因應力沿厚度方向連續(xù)分布，故可認為所有各點：第22頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一由切應力互等定律得：只有平行于面的平面應力分量——平面應力由于物體形狀、外力和約束沿向均不變化，應力分量和應變分量均只是的函數；從幾何方程積分求位移可知位移與有關。第23頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一平面應力問題——只有平面應力分量、和，且僅為的函數的彈性力學問題第24頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一物理方程幾何方程物理方程式中

稱為平面應力問題的彈性矩陣

第25頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一平面應變問題zoyxxyz工程中滾針軸承的滾針、軋鋼機的軋輥、水壩、受內壓管道、齒寬較大的直齒輪等第26頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一條件彈性體為常截面的很長柱體。體力、面力和約束都只有平面內的量,且都不沿向變化；假想柱體無限長，則任一截面均為對稱面，即，只有平面位移和存在，即平面位移。

由于截面形狀、外力和約束沿向均不變化，位移分量只是的函數.第27頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一假想柱體無限長，則任一截面均為對稱面，即，只有平面位移和存在，即平面位移。

由于截面形狀、外力和約束沿向均不變化，位移分量只是的函數.第28頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一只有平行于面的平面應變分量——平面應變從數學和幾何學角度推導第29頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一由對稱性(對稱結構承受對稱荷載，反對稱力為零)可知：由胡克定律可知：由剪切互等定律可知：從力學角度推導第30頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一平面應變問題——只有平面應變分量、和，且僅為的函數的彈性力學問題第31頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一

可直接由計算得到，故不作為獨立的未知量。

的存在說明了沿向無限長的柱體的假設限制了每一個橫截面的縱向位移。當柱體受到垂直于軸的外力作用時，這些衡截面之間必然產生擠壓應力。物理方程第32頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一物理方程物理方程式中

稱為平面應變問題的彈性矩陣

第33頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一名稱平面應力問題平面應變問題未知量已知量未知量已知量位移應變應力外力體力、面力的作用面平行面，沿板厚均布且只作用于板邊。體力、面力的作用面平行于面，外力沿軸無變化。形狀

向尺寸遠小于板面尺寸（等厚薄平板）向尺寸遠大于平面內的尺寸（等截面長柱體）第34頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3-2平面問題的有限元模型連續(xù)體被分割為只在節(jié)點處連接的單元集合，受力后原來是一體的公共邊可能出現裂縫，原來單元應該均勻變形，這時也可能出現非均勻變形。選擇適當的單元位移插值函數來限制單元的變形，使得連續(xù)體盡管被人為地分割成單元的集合，而且只在有限個節(jié)點處相連，但模型仍然能夠部分滿足連續(xù)性的要求。第35頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一位移插值函數應注意滿足以下幾個條件（1）包括常數項（反映單元發(fā)生的整體移動）（2）包括一次項（反應發(fā)生的常應變）（3）盡量保證位移的連續(xù)性使位移函數滿足上述三個條件的目的就是要滿足有限元解的收斂性，即當單元尺寸逐漸縮小時，有限元解收斂于實際問題的精確解。在單元邊界上其值能由節(jié)點函數值唯一確定。（4）幾何各向同性（單元的位移分布不應與人為選取的坐標方位有關，即位移函數中坐標x,y應該是能夠互換的）第36頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一3-3平面問題的三角形單元求解

第一步：選擇適當的坐標系，寫出單元的位移和節(jié)點力向量mjFxiFyiiuv(x,y)oyx三角形三節(jié)點單元u1v1第37頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一第二步：選擇適當的位移插值函數

多項式項數越多，逼近精度越高。項數的多少應根據單元自由度數確定。三節(jié)點三角形單元有6個自由度，可以確定6個待定系數。

（4－9）第38頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一這一步的目的是求出待定系數。第三步：求單元中任一點位移與節(jié)點位移的關系由于節(jié)點i、j、m在單元上，它們的位移自然也就滿足位移函數式。將三個節(jié)點坐標和位移值分別代入式中，得：第39頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一上式共有6個方程，可以求出6個待定系數。根據Gramer法則，求出各待定系數其中，節(jié)點的坐標值是已知的，令為三角形單元的面積。第40頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一用節(jié)點坐標和節(jié)點位移表示的位移函數為形函數，它們是坐標的函數，與節(jié)點坐標有關，而與節(jié)點位移無關。其中，第41頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一以矩陣表示為

上式就是單元位移的插值表達式，它表明只有知道了節(jié)點位移，就可通過形函數插值求出單元內任意一點的位移。其中，稱為形函數矩陣；為單元節(jié)點位移列陣。第42頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一第四步：求單元應變—單元位移—節(jié)點位移之間的關系第43頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一第五步：求應力—應變—節(jié)點位移之間的關系由物理方程，第44頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一第六步：求節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關系按節(jié)點號疊加單元剛度矩陣元素可得到結構總體剛陣，再引入一定的邊界條件和外載荷就可以求解。最后的計算格式仍然是第45頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一第七步：單元應力與節(jié)點位移的關系第46頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一二、約束條件處理1、置大數法總體剛度矩陣是一個奇異矩陣，施加約束條件后的方程組則是有唯一解的。施加零位移后，將零位移所對應的行和列劃去，使方程組減小。但對改變矩陣階數的方法在編程序時不方便，而且對非零位移的情況無法處理。將該位移分量所對應的主對角元素置為大數，再將載荷列陣{F}中對應的分量置為大數乘以已知的節(jié)點位移，而其余各行保持不變第47頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一2、置1賦0法將總剛度矩陣中給定位移a分量所對應行和列的主對角元素置為1，而其他元素皆變?yōu)?。在節(jié)點載荷列陣中，將零位移分量所對應的節(jié)點載荷也變?yōu)閍

。第48頁，共59頁，2023年，2月20日，星期一六節(jié)點三角形單元三節(jié)點三角形位移插值函數是線性的，單元內的位移是線性變化的。幾何方程、物理方程可知單元內