2023屆遼寧省丹東市鳳城市一中數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列有關(guān)命題的說法正確的是A．“”是“”的充分不必要條件B．“x=2時(shí)，x2－3x+2=0”的否命題為真命題C．直線：，：，的充要條件是D．命題“若，則”的逆否命題為真命題2．在直角坐標(biāo)系中，以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．或3．已知為拋物線上的不同兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則（）A． B．10 C． D．64．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)為；生產(chǎn)成本（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)為，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．9千臺 B．8千臺 C．7千臺 D．6千臺5．設(shè)x，y滿足約束條件y+2?0，x-2?0，2x-y+1?0，A．-2 B．-32 C．-16．若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值是（）A． B． C．0 D．18．由命題“周長為定值的長方形中，正方形的面積取得最大”可猜想：在表面積為定值的長方體中（）A．正方體的體積取得最大B．正方體的體積取得最小C．正方體的各棱長之和取得最大D．正方體的各棱長之和取得最小9．已知為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的虛部為()A． B．1 C． D．10．觀察下列各式：，則的末尾兩位數(shù)字為（）A．49 B．43 C．07 D．0111．甲、乙、丙三位同學(xué)站成一排照相，則甲、丙相鄰的概率為（）A． B． C． D．12．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中含項(xiàng)的系數(shù)_________．14．請列舉用0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比230大的所有三位偶數(shù)______.15．“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的__________條件．16．已知直線的極坐標(biāo)方程為，為極點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段上的點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f(x)=sin（1）若fx在0,π2（2）若a=1，g(x)=f(x)+ex且gx18．（12分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式有解，求的取值范圍.20．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)寫出直線l經(jīng)過的定點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并求曲線的普通方程；(2)若，求直線的極坐標(biāo)方程，以及直線l與曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)．21．（12分）如圖,五邊形中,四邊形為長方形,為邊長為的正三角形,將沿折起,使得點(diǎn)在平面上的射影恰好在上.（Ⅰ）當(dāng)時(shí),證明:平面平面；（Ⅱ）若,求平面與平面所成二面角的余弦值的絕對值.22．（10分）如圖，是平面的斜線，為斜足平面，為垂足，是平面上的一條直線，于點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）求和平面所成的角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】A選項(xiàng)不正確，由于可得，故“”是“”的必要不充分條件；B選項(xiàng)不正確，“時(shí)，”的逆命題為“當(dāng)時(shí)，”，是假命題，故其否命題也為假；C選項(xiàng)不正確，若兩直線平行，則，解得；D選項(xiàng)正確，角相等時(shí)函數(shù)值一定相等，原命題為真命題，故其逆否命題為真，故選：D．2、D【解析】

先把曲線，的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程和一般方程，若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為直線和半圓有一個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合討論a的范圍即得解.【詳解】因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為即故曲線的直角坐標(biāo)方程為：.消去參數(shù)可得曲線的一般方程為：，由于，故如圖所示，若與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與半圓相切，或者截距當(dāng)直線與半圓相切時(shí)由于為上半圓，故綜上：實(shí)數(shù)的取值范圍是或故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)、參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程、一般方程的互化，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.3、C【解析】

設(shè)，根據(jù)，可求得這些坐標(biāo)間的關(guān)系，再結(jié)合兩點(diǎn)在拋物線上，可求得，而，由此可得結(jié)論．【詳解】設(shè)，則，又，∴，∴，，∴，由，得，∴.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)乘的意義，考查拋物線的焦點(diǎn)弦問題．掌握焦點(diǎn)弦長公式是解題基礎(chǔ)：即對拋物線而言，，是拋物線的過焦點(diǎn)的弦，則．4、B【解析】

根據(jù)題意得到利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)式，再由導(dǎo)數(shù)求得使利潤最大時(shí)的產(chǎn)量，即可求解出答案?！驹斀狻吭O(shè)利潤為萬元，則，，令，得，令，得，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，故為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)8千臺．選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值來解決實(shí)際問題。5、A【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線z=x+y，觀察直線在x軸上取得最大值和最小值時(shí)相應(yīng)的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出z最大值和最小值，于此可得出答案。【詳解】如圖，作出約束條件表示的可行域.由圖可知，當(dāng)直線z=x+y經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)時(shí).當(dāng)直線z=x+y經(jīng)過點(diǎn)B(-32,-2)時(shí)，z取得最小值.故z【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，一般利用平移直線利用直線在坐標(biāo)軸上的截距得出最優(yōu)解，考查計(jì)算能力，屬于中等題。6、A【解析】

由已知可得對任意的恒成立，設(shè)則當(dāng)時(shí)在上恒成立，在上單調(diào)遞增，又在上不合題意；當(dāng)時(shí)，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，要使，在上恒成立，只要，令可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故選A.7、B【解析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，在可行解域內(nèi)，平行移動直線，直至當(dāng)直線在縱軸上的截距最大時(shí)，求出此時(shí)所經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)中求出的最小值.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出可行解域，如下圖：在可行解域內(nèi)，平行移動直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在縱軸上的截距最大，點(diǎn)是直線和直線的交點(diǎn)，解得，，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最小值問題，正確畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】

根據(jù)類比規(guī)律進(jìn)行判定選擇【詳解】根據(jù)平面幾何與立體幾何對應(yīng)類比關(guān)系：周長類比表面積，長方形類比長方體，正方形類比正方體，面積類比體積，因此命題“周長為定值的長方形中，正方形的面積取得最大”，類比猜想得：在表面積為定值的長方體中，正方體的體積取得最大，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查平面幾何與立體幾何對應(yīng)類比，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.9、A【解析】

給兩邊同乘以，化簡求出，然后可得到其虛部【詳解】解：因?yàn)?，所以所以，所以虛部為故選：A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】

通過觀察前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)末尾兩位數(shù)分別為49、43、01、07，以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，由此即可推出的末尾兩位數(shù)字?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，得，發(fā)現(xiàn)的末尾兩位數(shù)為49，的末尾兩位數(shù)為43，的末尾兩位數(shù)為01，的末尾兩位數(shù)為07，（）；由于，所以的末兩位數(shù)字為43；故答案選B【點(diǎn)睛】本題以求的末尾兩位數(shù)的規(guī)律為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和歸納推理的一般方法的知識，屬于基礎(chǔ)題。11、C【解析】分析：通過枚舉法寫出三個(gè)人站成一排的所有情況，再找出其中甲、丙相鄰的情況，由此能求出甲、丙相鄰的概率.詳解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6種，其中甲、丙相鄰有4種，所以，甲、丙相鄰的概率為.故選C.點(diǎn)睛：本題考查古典概型的概率的求法，解題時(shí)要注意枚舉法的合理運(yùn)用.12、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，代入-x檢驗(yàn)即可判斷是奇函數(shù)或偶函數(shù)；根據(jù)基本初等函數(shù)的圖像即可判斷函數(shù)是否為增函數(shù)．【詳解】A．在定義域上既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)；B．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；C．在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；D．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解析】

利用組合的知識，根據(jù)所求項(xiàng)的次數(shù)，可得結(jié)果.【詳解】展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，難點(diǎn)在于展開式中的每一項(xiàng)是用組合的知識計(jì)算得到，屬基礎(chǔ)題.14、310，302，320，312【解析】

根據(jù)題意，分別討論個(gè)位數(shù)字是0和個(gè)數(shù)數(shù)字是2兩種情況，即可得出結(jié)果.【詳解】由0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字所組成的無重復(fù)數(shù)字且比230大的所有三位偶數(shù)有：（1）當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，數(shù)字可以是：310，320；（2）當(dāng)個(gè)數(shù)數(shù)字是2時(shí)，數(shù)字可以是：302，312.故答案為：310，302，320，312.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡單的排列問題，只需按要求列舉即可，屬于基礎(chǔ)題型.15、必要非充分【解析】

結(jié)合直線和雙曲線的位置關(guān)系，先判斷充分條件，再判斷必要條件得解.【詳解】當(dāng)直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線有可能與雙曲線相切，也有可能相交（直線與雙曲線的漸近線平行），所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的非充分條件；直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要條件.所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件．故答案為：必要非充分【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判定，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.16、【解析】

設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線上得出，由，得，得，代入后化簡看得出答案?！驹斀狻吭O(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為.所以,,且.由得，即.故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查動點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，考查相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方程，解本題的關(guān)鍵在于弄清楚主動點(diǎn)與從動點(diǎn)兩點(diǎn)之間極徑與極角之間的關(guān)系，并用這種相互關(guān)系進(jìn)行替換，考查推理能力，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a>0（2）見解析【解析】

（1）求出函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)，對實(shí)數(shù)a分a≤0和a>0兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理以及導(dǎo)數(shù)符號來判斷，于此得出實(shí)數(shù)a（2）利用分析法進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明，構(gòu)造新函數(shù)Fx=g【詳解】（1）已知f'當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)≥0，∴f(x)在0,π2上單調(diào)遞增，此時(shí)不存在極大值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，f''(x)=-sinx-a<0，又f'(0)=1>0，f'π2=-π2a<0，故存在唯一x0此時(shí)，x0是函數(shù)fx綜上可得a>0；（2）依題g(x)=ex+∴g(x)=ex+∵g(0)=1,:x欲證x1+x2<0，等價(jià)證x令F(x)=g(-x)+g(x)-2=e∵F'(x)=e故x>0時(shí)，F(xiàn)'(x)單調(diào)遞增∴F(x)單調(diào)遞增，∴F(x)>F(0)=0，得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及極值點(diǎn)的存在性問題，以及二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)不等式的證明，考查函數(shù)思想，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于難題。18、（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線方程的點(diǎn)斜式可求曲線在處的切線方程為（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，對實(shí)數(shù)分類討論，用導(dǎo)數(shù)法求解.試題解析：（I）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，曲線在處的切線方程為（II）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于設(shè)，則，（i）當(dāng)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，因此；（ii）當(dāng)時(shí)，令得.由和得，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：（1）確定函數(shù)y＝f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間．19、（1）；（2）【解析】

（1）將代入不等式，得到，再通過討論的范圍，即可求出結(jié)果；（2）先根據(jù)不等式有解，可得只需大于等于的最小值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，不等式為，若，則，即，若，則，舍去，若，則，即，綜上，不等式的解集為；（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，題意等價(jià)于，，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及不等式成立的問題，根據(jù)含絕對值不等式的性質(zhì)以及分類討論的思想，即可求解，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）【解析】試題分析：⑴由題意可知當(dāng)時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn)，設(shè)，即可求出曲線的普通方程；⑵將代入直線的參數(shù)方程，可求出直線的普通方程，將代入即可求得直線的極坐標(biāo)方程，然后聯(lián)立曲線：，即可求出直線與曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)解析