山東省日照市高二下學(xué)期期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第20頁(yè)/共20頁(yè)高二下學(xué)期期中校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列，，，…，，…的第10項(xiàng)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由觀察可得數(shù)列規(guī)律，即可得答案.【詳解】由題可得數(shù)列第n項(xiàng)為，則數(shù)列第10項(xiàng)為.故選：A2.已知函數(shù)，則（）A.0 B.1 C. D.4【答案】C【解析】【分析】直接求導(dǎo)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得：故選：C3.已知，，則a，b的等差中項(xiàng)為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先求解可得，然后根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】由已知可得，.設(shè)a，b的等差中項(xiàng)為，根據(jù)等差中項(xiàng)的定義，有.故選：B.4.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意得，令，解得或，故其單調(diào)增區(qū)間為，故選：A.5.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》書中提出高階等差數(shù)列前后兩項(xiàng)之差不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別是1，6，13，24，41，66，則該數(shù)列的第7項(xiàng)為（）A.91 B.99 C.101 D.113【答案】C【解析】【分析】根據(jù)高階等差數(shù)列的定義，逐項(xiàng)作差，可推得為等差數(shù)列，且，反向求解可得，.【詳解】由已知可設(shè)，，，，，.設(shè)，則，，，，.設(shè)，則，，，，根據(jù)高階等差數(shù)列的定義以及的前4項(xiàng)可知，為等差數(shù)列，所以，即，所以，即，所以.故選：C.6.已知過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)切線切點(diǎn)為，后由切線幾何意義可得切線方程，代入，可得，則過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，等價(jià)于關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，即可得答案.【詳解】設(shè)切線切點(diǎn)為，因，則切線方程為：，代入，得，因，則.因過(guò)點(diǎn)作曲線的切線有且僅有兩條，則有且僅有兩個(gè)不等實(shí)根，則或.則符合題意.故選：D7.對(duì)于函數(shù)，部分x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x123456789y375961824數(shù)列滿足：，且對(duì)于任意，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，則（）A7569 B.7576 C.7579 D.7584【答案】D【解析】【分析】利用題設(shè)中的數(shù)據(jù)，分別列舉數(shù)列中的前幾項(xiàng)，找出規(guī)律，得到數(shù)列的周期性，然后利用周期性求和，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列滿足，且點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，可得，，，，則數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，即數(shù)列滿足，則.故選：D.8.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出、的大小關(guān)系，由、的大小關(guān)系可得出、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，由可得；由可得.所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，即，即，故，因?yàn)?，所以，，即，所以，，即，所以，，所以，，因此?故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答比較函數(shù)值大小問(wèn)題，常見(jiàn)的思路有兩個(gè)：（1）判斷各個(gè)數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問(wèn)題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知是等差數(shù)列，其公差為，前項(xiàng)和為，，.則（）A. B.C.數(shù)列為遞減數(shù)列 D.數(shù)列是等差數(shù)列【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，可判斷ABC選項(xiàng)，利用等差數(shù)列的定義可判斷D選項(xiàng).【詳解】由題意可得，解得，AB均對(duì)，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，C錯(cuò)，不是常數(shù)，故數(shù)列不是等差數(shù)列，D錯(cuò).故選：AB.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增 B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.為的極小值點(diǎn) D.2為的極大值點(diǎn)【答案】BD【解析】【分析】由圖象可得出導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，然后得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而判斷，即可得出答案.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，取得極大值，所以2為的極大值點(diǎn)，故D項(xiàng)正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的（）A.在上單調(diào)遞增B.恰有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值C.當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)解D.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)實(shí)數(shù)解【答案】BCD【解析】【分析】按絕對(duì)值的定義分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)后，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值，在確定方程的根的個(gè)數(shù)時(shí)，注意函數(shù)值的變化趨勢(shì)．【詳解】對(duì)于A，時(shí)，，，時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由上討論知是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，，時(shí)，，所以時(shí)，無(wú)實(shí)數(shù)解，C正確；對(duì)于D，時(shí)，，由以上討論知當(dāng)時(shí)，.而，，如圖可知，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，所以有3個(gè)實(shí)數(shù)解，D正確．故選：BCD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，可利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性、極值，從而確定函數(shù)的變化趨勢(shì)，然后結(jié)合函數(shù)圖象，把根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．12.設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為、、，的面積為，若，，，，，則（）A. B.數(shù)列是遞增數(shù)列C.為遞增數(shù)列 D.為遞減數(shù)列【答案】AC【解析】【分析】由已知可得出，，，兩個(gè)等式相加可判斷A選項(xiàng)；求出的通項(xiàng)公式，結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)；求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)；利用海倫公式可得出的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，則，，，所以，，又因?yàn)椋?，，A對(duì)；因?yàn)?，且，所以，?shù)列為等比數(shù)列，且其首項(xiàng)為，公比為，所以，，且，所以，數(shù)列為遞減數(shù)列，B錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由可得，，因?yàn)?，所以，?shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，D錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，的半周長(zhǎng)為，由海倫公式可得，所以，為遞增數(shù)列，C對(duì).故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列單調(diào)性的判斷，解題的關(guān)鍵在于利用等式，相加或相減構(gòu)造出等比數(shù)列來(lái)進(jìn)行判斷，另外在求的通項(xiàng)公式時(shí)，注意到的周長(zhǎng)為定值，可通過(guò)海倫公式求出的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性來(lái)加以判斷.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.在等差數(shù)列中，已知，那么________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可推得，即可得出答案.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，，所以.故答案為：3.14.函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為15，則實(shí)數(shù)的值為____________.【答案】1【解析】【分析】由已知可得，再由函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為15，得，從而可求出實(shí)數(shù)的值【詳解】由區(qū)間可知，可得，又由，解得.故答案為：115.設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為a，，其長(zhǎng)邊在半徑為R的半圓的直徑所在的直線上，另兩個(gè)頂點(diǎn)正好在半圓的圓周上，則此矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，________.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意分析可得，設(shè)，結(jié)合輔助角公式整理可得，結(jié)合三角函數(shù)分析運(yùn)算即可.【詳解】如圖所示，設(shè)，可知圓心為的中點(diǎn)，連接，則，可得，即，設(shè)，則矩形的周長(zhǎng)為，其中，∵，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，可得，故矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，則，所以.故答案為：4.16.設(shè)，若時(shí)，均，則________.【答案】【解析】【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為可得恒成立，分和時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，即對(duì)于時(shí)，對(duì)于時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，可得，因?yàn)?，可得，所以，不符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)楹愠闪?，又由，即，即，可得，解得，將代入可得，即，解?所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于時(shí)，恒成立.故答案為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知是等差數(shù)列，其中，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的值.【答案】（1）（2）-50【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的基本量的運(yùn)算即得；（2）利用等差數(shù)列的求和公式即得．【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)?，所以，所以，，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，是首項(xiàng)為，公差為等差數(shù)列，共有10項(xiàng)，.18.設(shè)與是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).（1）試確定常數(shù)a和b的值；（2）設(shè)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零，聯(lián)立方程組即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用直線的點(diǎn)斜式方程及直線的截距式方程，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)榕c是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，即解得，.經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)，時(shí)，符合題意.所以,.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以所以曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為所以切線方程是，即，所以因?yàn)榍芯€在軸上的截距是1，軸上的截距是;所以三角形面積是.19.將正奇數(shù)數(shù)列1，3，5，7，9，…的各項(xiàng)按照上小下大、左小右大的原則寫成如圖的三角形數(shù)表.（1）設(shè)數(shù)表中每行的最后一個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)表可得為第個(gè)奇數(shù)，后由第n個(gè)奇數(shù)為可得數(shù)列通項(xiàng)；（2）由（1）可得，后由裂項(xiàng)相消法可得答案.【小問(wèn)1詳解】由數(shù)表知，為第個(gè)奇數(shù)，又第n個(gè)奇數(shù)為，則，；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得.則.20.有一矩形硬紙板材料（厚度忽略不計(jì)），一邊長(zhǎng)為分米，另一邊足夠長(zhǎng).現(xiàn)從中截取矩形（如圖甲所示），再剪去圖中陰影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一個(gè)底面是弓形的柱體包裝盒（如圖乙所示，重疊部分忽略不計(jì)），其中是以為圓心、的扇形，且弧、分別與邊、相切于點(diǎn)、.（1）當(dāng)長(zhǎng)為分米時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)是多少分米時(shí)，折卷成的包裝盒的容積最大？并求容積的最大值【答案】（1）分米（2）當(dāng)分米時(shí)，折卷成的包裝盒容積最大，最大值為立方分米【解析】【分析】（1）在圖甲中，連接交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)可求得的值，再利用的長(zhǎng)度等于的長(zhǎng)度可求得的長(zhǎng)；（2）設(shè)，則，其中，利用柱體的體積公式可得出包裝盒的容積關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)可求得該包裝盒的容積的最大值.【小問(wèn)1詳解】解：在圖甲中，連接交于點(diǎn)，設(shè)，圖甲在中，易知為的中點(diǎn)，則，則，所以，，所以，則.，，等于的長(zhǎng)度，所以，，則，因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)長(zhǎng)為分米時(shí)，的長(zhǎng)為分米.【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)，則，則所得柱體的底面積.又所得柱體的高，所以，其中.令，，則由，解得，列表如下：x增極大值減所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，并且.所以當(dāng)分米時(shí)，折卷成的包裝盒容積最大，最大值為立方分米.21.在數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且數(shù)列滿足，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由可得，進(jìn)而得到數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求得通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求得，再分奇偶轉(zhuǎn)化為求最小值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闀r(shí)，，，.所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以.所以數(shù)列通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由題意知：，令①則②①-②得，所以恒成立.令，則，所以數(shù)列是遞增數(shù)列.若n為偶數(shù)，，則恒成立，∴；若n為奇數(shù)，，則恒成立，，綜上.22.設(shè)函數(shù).（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1），沒(méi)有零點(diǎn)；時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求出，分，和討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可得出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可推得在時(shí)，取得最小值.由，即，兩