人教課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版七年級(jí)下冊(cè)平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系名師獲獎(jiǎng)

笛卡兒和它的《幾何學(xué)》讓我們先從笛卡兒生活的時(shí)代特征談起吧！那時(shí)，科學(xué)家關(guān)于自然規(guī)律的研究開始向宗教教條挑戰(zhàn)，教會(huì)本身也有清教徒與天主教徒的激烈爭(zhēng)論．笛卡兒懷疑他在學(xué)校里所得到的一切知識(shí)，反對(duì)經(jīng)院哲學(xué)，主張科學(xué)的革新．這正是這個(gè)時(shí)代精神的體現(xiàn)．笛卡兒和培根一樣，很重視方法論和認(rèn)識(shí)論的問題．他認(rèn)為：傳統(tǒng)的經(jīng)院哲學(xué)的方法不能給人以真正的知識(shí)．培根用經(jīng)驗(yàn)的歸納法來代替經(jīng)院哲學(xué)的方法，而笛卡兒則用理性的演繹法來代替它．笛卡兒認(rèn)為：理性演繹的標(biāo)本就是傳統(tǒng)的幾何學(xué)．這個(gè)方法就是：從幾個(gè)一望而知的、清楚明白的、“不證自明”的公理出發(fā)，一步一步地推演出其他許多命題，以構(gòu)成一個(gè)知識(shí)的系統(tǒng)．——我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到：笛卡兒的這種思想方法，不僅影響其哲學(xué)觀點(diǎn)，而且影響其數(shù)學(xué)的生成和發(fā)展．接著，再來談?wù)勊臄?shù)學(xué)．笛卡兒《方法論》的第三個(gè)附錄《幾何學(xué)》有100頁，它又分為三卷．《幾何學(xué)》第一卷中，闡明用代數(shù)方法解幾何題的原則，但內(nèi)容是超過古代希臘人的．對(duì)希臘人來說，一個(gè)數(shù)相當(dāng)于某個(gè)線段的長(zhǎng)度．兩個(gè)數(shù)的乘積相當(dāng)于某個(gè)矩形的面積，三個(gè)數(shù)的乘積相當(dāng)于某個(gè)長(zhǎng)方體的體積，如此而已．笛卡兒則不把x2看做面積，而看做1∶x＝x∶x2的比例第四項(xiàng)，對(duì)于已知的x，則x2是可作出的．因此，選定一個(gè)單位長(zhǎng)度后，一個(gè)數(shù)的任意次乘冪，或幾個(gè)數(shù)的乘積，都可以用尺規(guī)作圖方法作出來．例如，假定某幾何問題，歸結(jié)到尋求一個(gè)未知長(zhǎng)度x，經(jīng)過代數(shù)運(yùn)算，知道x滿足方程x2＝ax＋b2．其中a與b是已知的長(zhǎng)度．由代數(shù)學(xué)知道：這種問題求的是一個(gè)確定的唯一的長(zhǎng)度，可以稱為確定的作圖問題，實(shí)際上它不是解析幾何．笛卡兒進(jìn)一步考慮的是“不確定的”問題，就是說，它的結(jié)果有許多長(zhǎng)度均可以作為答案．這些長(zhǎng)度的端點(diǎn)構(gòu)成一條線．他說：“也要求發(fā)現(xiàn)并且指出這條包括所有端點(diǎn)的曲線．”笛卡兒用任意長(zhǎng)度x表示未知的長(zhǎng)度y，最后得到一個(gè)不定方程．他說，對(duì)于每一個(gè)(x，y)，滿足一個(gè)確定的方程，因而其曲線是可以畫出來的．笛卡兒在一根軸上記下x的長(zhǎng)度，再在與這軸有一個(gè)固定角的線上標(biāo)出y(圖2)．于是畫出所有的點(diǎn)，它的x，y是滿足已知方程的．例如，我們有關(guān)系式y(tǒng)＝x2，可以按比例求第四項(xiàng)的方法，對(duì)于一個(gè)固定的xi，求得它的對(duì)應(yīng)的yi．這些(xi，yi)就是關(guān)系式y(tǒng)＝x2所表示的曲線上的點(diǎn)．笛卡兒對(duì)于從運(yùn)動(dòng)學(xué)所得到的代數(shù)關(guān)系式的曲線特別感興趣．《幾何學(xué)》中有這樣的例題(如圖3)：已知五條線l1、l2、l3、l4、l5．設(shè)pi表示點(diǎn)p到li(i＝1，2，…5)的距離．取l5、l4為x軸、y軸，使p1p2p3＝ap4p5，求p點(diǎn)的軌跡(這軌跡是個(gè)三次曲線，牛頓稱之為笛卡兒的拋物線，有時(shí)又稱為三叉戟．)一般地，在平面上有m＋n條直線，求所有這樣的點(diǎn)p的軌跡：從點(diǎn)p作直線與m＋n條直線分別交于已知的角(這m＋n個(gè)交角不一定相等)，設(shè)p到它與直線li的交點(diǎn)的長(zhǎng)度是pi，a為常數(shù)，使p1p2…pm＝apm＋1pm＋2…pm＋n這個(gè)問題是古代希臘的帕普斯問題(公元三世紀(jì))的推廣．用上述記號(hào)，帕普斯問題可以表示為p1p2＝ap3p4此軌跡是一條圓錐曲線．笛卡兒說，帕普斯問題的推廣，導(dǎo)致高于二次的曲線．據(jù)說，笛卡兒就是由于想解決這個(gè)一般性問題，而促使他發(fā)明解析幾何的．他的方法可歸結(jié)為：(1)選定一條直線作為基線(如圖3中的l5)．(2)在基線上取一點(diǎn)為原點(diǎn)(如l5上的O)．(3)x的值是基線上的從原點(diǎn)量起的長(zhǎng)度(如OA)．(4)y值是從基線出發(fā)的線段的長(zhǎng)度(如線段AP)．圖3中的l4與l5垂直，就構(gòu)成直角坐標(biāo)系．如果l4與l5的交角不是直角，那么，就構(gòu)成斜角坐標(biāo)系．笛卡兒有了曲線方程的思想以后，進(jìn)一步斷言：(1)坐標(biāo)系的選擇與曲線的次數(shù)無關(guān)．(2)坐標(biāo)系的選擇應(yīng)使所得的曲線方程愈簡(jiǎn)單愈好．(3)同一個(gè)坐標(biāo)系，寫出兩個(gè)不同的曲線方程；聯(lián)立地解這兩個(gè)方程，可以求出這兩條曲線的交點(diǎn)．在《幾何學(xué)》第二卷中，除談?wù)撘环N曲線分類法外，還講了作曲線的切線的有趣方法(如圖4)．設(shè)給定曲線的方程為f(x，y)＝0，而(x1，y1)為我們想要在其上作切線的p點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)坐標(biāo)為(x2，o)的q點(diǎn)為x軸上一點(diǎn)，則以q為圓心過p點(diǎn)的圓的方程為(x－x2)2＋y2＝(x1－x2)2＋y2如果我們將此方程與f(x，y)＝0聯(lián)立消去y，就得到關(guān)于x的一個(gè)變量的方程，由此方程可推出該圓與給定曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．然后，我們確定x2，使得這個(gè)只包含x一個(gè)變量的方程有一對(duì)等于x1的根．曲線在p點(diǎn)上的法線與x軸的交點(diǎn)即q點(diǎn)，因?yàn)檫@時(shí)該圓切給定曲線于p點(diǎn)．一旦作出此圓，我們可以容易地作所求切線．作為這方法的一個(gè)例子，考慮拋物線y2＝4x在點(diǎn)(1，2)上的切線．在這里，我們有(x－x2)2＋y2＝(1－x2)2＋4消去y，給出(x－x2)2＋4x＝(1－x2)2＋4或x2＋2x(2－x2)＋(2x2－5)＝0此二次方程有兩個(gè)相等的根的條件是其判別式為零．即(2－x2)2－(2x2－5)＝0或x2＝3現(xiàn)在能作以(3，0)為圓心、過曲線上的(1，2)點(diǎn)的圓了，并且最后可以作出所求的切線．這個(gè)作切線的方法被笛卡兒應(yīng)用于許多不同的曲線，包括以他的名字命名的四次卵形線．在這里，有一個(gè)一般程序，它確切地告訴我們解這類問題該做些什么．但是必須承認(rèn)：在比較復(fù)雜的情況下，要進(jìn)行的代數(shù)運(yùn)算是極其麻煩的．《幾何學(xué)》的第三卷涉及高于二次的方程的解法．它用到現(xiàn)在所謂的笛卡兒符號(hào)規(guī)則，即確定一個(gè)多項(xiàng)式具有正根和負(fù)根的個(gè)數(shù)的最大限額的規(guī)則．在《幾何學(xué)》中，笛卡兒確立了用字母表中前幾個(gè)字母代表已知數(shù)，用后幾個(gè)字母代表未知數(shù)的習(xí)慣用法．他還引進(jìn)了我們現(xiàn)在的指數(shù)系統(tǒng)(例如，a3，a4，等等)，比起韋達(dá)表示冪的方法有很大改進(jìn)．他還認(rèn)識(shí)到：字母可以表示任何量，正的或負(fù)的．在這里，我們還見到待定系數(shù)法的最初使用．——通觀三卷《幾何學(xué)》，就能看到：笛卡兒的思路確實(shí)是步步深入的．從尺規(guī)作圖到確定的作圖問題，再到曲線方程和曲線與坐標(biāo)的關(guān)系，最后，脫開坐標(biāo)探討解析方程．——雖然從原書中的32個(gè)圖形中找不到一個(gè)明確地?cái)[出了坐標(biāo)軸的圖；但是，《幾何學(xué)》給我們的啟示又豈止是解析幾何．笛卡兒把自己比做建筑師，即：立下計(jì)劃，指明什么是應(yīng)該做的，而把具體的操作留給木工和瓦工．笛卡兒1596年出生于法國圖朗．他八歲進(jìn)拉弗萊什的耶穌會(huì)學(xué)校．在那里，他養(yǎng)成了早上睡懶覺的習(xí)慣．后來，笛卡兒說，他的大部分成果出自早上休息的那段適宜沉思的時(shí)間．1612年．笛卡兒離開了學(xué)校，不久就到了巴黎．他曾在那里和梅森、邁多治一起專門研究數(shù)學(xué)．從1617年起，他在奧朗日的莫里斯親王的軍隊(duì)里當(dāng)了幾年兵．在離開軍隊(duì)之后，他花了四五年工夫外出旅行，到過德國、丹麥、荷蘭、瑞士和意大利