大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)資料

v1.0可編寫(xiě)可改正第一章隨機(jī)事件及其概率知識(shí)點(diǎn)：概率的性質(zhì)事件運(yùn)算古典概率事件的獨(dú)立性條件概率全概率與貝葉斯公式常用公式(1)P(A)r/nP(A)L(A)/L(S)(2)P(AB)P(A)P(B)P(AB)(加法定理)nnP(Ai)P(Ai)設(shè)An兩兩互斥有限可加性(A1,A2,)i1i1nnP(Ai)1[1P(Ai)](A1,A2,An相互獨(dú)即刻)i1i1(3)P(B/A)P(AB)/P(A)(4)P(AB)P(A)P(B/A)P(B)P(A/B)P(AB)P(A)P(B)(A與B獨(dú)即刻)P(AB)0(A,B互不相容時(shí))(5)P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)(當(dāng)BA時(shí))n(6)P(B)P(Ai)P(B/Ai)(全概率公式)i1(其中A1,A2An為的一個(gè)區(qū)分,且P(Ai0))(7)P(Ai/B)P(Ai)P(B/Ai)(逆概率公式)nP(Ai)P(B/Ai)i11v1.0可編寫(xiě)可改正應(yīng)用舉例1、已知事件A,B知足P(AB)P(AB)，且P(A)0.6，則P(B)（）。2、已知事件A,B相互獨(dú)立，P(A)k,P(B)0.2,P(AB)0.6，則k（）。3、已知事件A,B互不相容，P(A)0.3,P(B)0.5,則P(AB)（）。4、若P(A)0.3,P(B)0.4,P(AB)0.5,P(BAB)（）。5、A,B,C是三個(gè)隨機(jī)事件，CB，事件ACB與A的關(guān)系是（）。6、5張數(shù)字卡片上分別寫(xiě)著1，2，3，4，5，從中任取3張，排成3位數(shù)，則排成3位奇數(shù)的概率是（）。7、某人下午5:00下班。他所積累的資料表示：到家時(shí)間5:30~5:405:40~5:505:50~6:006:00此后乘地鐵乘汽車某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵仍是乘汽車。1）試求他在5:40~5:50到家的概率；2）結(jié)果他是5:47到家的。試求他是乘地鐵回家的概率。解（1）設(shè)A1={他是乘地鐵回家的}，A2={他是乘汽車回家的}，Bi={第i段時(shí)間到家的}，i1,2,3,4分別對(duì)應(yīng)時(shí)間段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00此后則由全概率公式有2v1.0可編寫(xiě)可改正P(B2)P(A1)P(B2|A1)P(A2)P(B2|A2)由上表可知P(B2|A1)0.4，P(B2|A2)0.3，P(A1)P(A2)0.5P(B2)0.50.40.30.50.35（2）由貝葉斯公式P(A1B2)0.50.44P(A1|B2)0.357P(B2)8、盒中12個(gè)新乒乓球，每次比賽從中任取3個(gè)來(lái)用，比賽后仍放回盒中，求：第三次比賽時(shí)取到3個(gè)新球的概率。看作業(yè)習(xí)題1:4,9,11,15,16第二章隨機(jī)變量及其散布知識(shí)點(diǎn)：連續(xù)型（離散型）隨機(jī)變量散布的性質(zhì)連續(xù)型（離散型）隨機(jī)變量散布（包括隨機(jī)變量函數(shù)的散布）常用散布重要內(nèi)容散布函數(shù)的性質(zhì)（1）F(x)單一遞增，即x1x2F(x1)F(x2)（2）F()limF(x)0xF()limF(x)1x（3）F(x)右連續(xù)，即F(x0)F(x)(4)0F（x）1xR2．散布律的性質(zhì)3v1.0可編寫(xiě)可改正1）非負(fù)性2）規(guī)范性

0pi1,(i1,2...)pi1i散布密度函數(shù)的性質(zhì)1）非負(fù)性f(x)0（xR）（2）規(guī)范性f(x)dx1概率計(jì)算P(Xa)F(a)P(x1Xx2)P(Xx2)P(Xx1)P(Xa)F(a)F(a0)X為連續(xù)型隨機(jī)變量：P(Xa)F(a)F(a0)0aP(Xa)f(x)dxP(aX)f(x)dxax2P(x1Xx2)f(x)dxx1常用散布二項(xiàng)散布:P{|4X|1}2(1)168.27%P{|X|2}2(2)195.45%P{|X|3}2(3)199.73%v1.0可編寫(xiě)可改正記為X~B（n,p）或X~b(n,p)P(Xk)Cnkpkqnk,(k0,1,...n)泊松散布X~()或X~P（）kP(Xk)e,(k0,1,...;0)k!kCnkpk(1p)nk泊松定理e,(np)k!條件：ｎ較大且ｐ很小平均散布X~U(a,b)f(x)1,axbba0，其他指數(shù)散布X~E()ex,x0,(0)f(x)0，其他正態(tài)散布X~N(,2)1(x)2f(x)e222,x(,)(1)(0)0.55v1.0可編寫(xiě)可改正(2)(x)1(x)F(x)

xP{|X|1}68.27%P{|X|2}95.45%P{|X|3}99.73應(yīng)用舉例1、設(shè)f(x)ke2x(x0)是某隨機(jī)變量的密度函數(shù)，則k（）。2、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)1cosx,(x2)，則22P(1X0)＝（）。3、設(shè)隨機(jī)變量X的散布函數(shù)為F(x)0,x1,lnx,1xe,則1,xe.P(X2)=（）。4、設(shè)X~N(,2),知足P(X1)P(X1)的參數(shù)（）。5、離散型隨機(jī)變量X的散布律為P(X111,2,3)，則c=k)(kck!（）。6、土地糧食畝產(chǎn)量（單位：kg）X~N(360,602).按畝產(chǎn)量高低將土地分紅等級(jí).若畝產(chǎn)量高于420kg為一級(jí)，在360~420kg間為二級(jí)，在315~360kg間為三等，低于315kg為四級(jí).求6v1.0可編寫(xiě)可改正等級(jí)Y的概率散布。((0)0.5,(1)0.8413,(0.75)0.7734)解1420X2360X420Y315X36034X3157、110在長(zhǎng)度為t的時(shí)間(單位：h)間隔內(nèi)收到的緊迫呼救的次數(shù)X聽(tīng)從參數(shù)為1t的泊松散布,而與時(shí)間間隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān).2求某一天中午12時(shí)至下午3時(shí)起碼收到1次呼救的概率。e2t(t)k解X的散布律為P(Xk)2(k0,1,2,)k!中午12時(shí)到下午3時(shí)，表示t3求P(X1)8、一批產(chǎn)品由8件正品、2件次品組成。若隨機(jī)地從中每次抽取一件產(chǎn)品后，不論抽出的是正品仍是次品總用一件正品放回去，直到取到正品為止，求抽取次數(shù)X的散布律。解X所有可能的取值為1,2,3Ai={第i次取到正品}（i1,2,3）看作業(yè)習(xí)題2:4，7,17，20，24，26,27，287v1.0可編寫(xiě)可改正第三章多維隨機(jī)變量及其散布知識(shí)點(diǎn)：二維連續(xù)型（離散型）隨機(jī)變量散布的性質(zhì)二維連續(xù)型（離散型）隨機(jī)變量的散布（包括邊際散布）隨機(jī)變量的獨(dú)立性二維常用散布內(nèi)容提要概率散布的性質(zhì)離散型非負(fù)性pij0,i,j1,2,歸一性pij1i1j1連續(xù)型歸一性f(x,y)dxdy1二維概率計(jì)算8v1.0可編寫(xiě)可改正P{(X,Y)G}f(x,y)dxdyG邊際密度函數(shù)計(jì)算fX(x)f(x,y)dy;fY(y)f(x,y)dx4.常用散布平均散布f（x，y）1（x，y）DA0其他二維正態(tài)散布(X,Y)~N(1,2,12,22,)X~N(1,12),Y~N(2,22)隨機(jī)變量的獨(dú)立性F(x,y)FX(x)FY(y)pijpipj(i,j1,2,)f(x,y)fX(x)fY(y)正態(tài)散布的可加性設(shè)i~N(i,i2)(i1,2n)且1,2,n相互獨(dú)立,則9nn12n~N(i,i2)i1i1v1.0可編寫(xiě)可改正應(yīng)用舉例1、設(shè)X,Y的密度函數(shù)fx,ykex2y,x0,y0則k=（）。0,其他2、設(shè)離散型隨機(jī)變量(X,Y)的結(jié)合散布律為(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P1/61/91/181/3且X,Y相互獨(dú)立，則（）。3、某箱中有100件產(chǎn)品，其中一、二、三等品分別為70、0其余i1,2,3抽到i等品，1求（1）X1和X2的結(jié)合散布律；（2）并求P(X1X2)。4、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在曲線yx，yx圍成的地區(qū)D里聽(tīng)從平均散布，求結(jié)合概率密度和邊緣概率密度。10v1.0可編寫(xiě)可改正5、設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為21x2yx2y1求P(YX)f(x,y)40其余6、設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X3相互獨(dú)立，并且均聽(tīng)從正態(tài)散布Xi~N(i,i2),i31,2,3，則X(aiXibi)~（）。i1看作業(yè)習(xí)題3：1,2,3,4,5,6,7,9,10，11,12,13,18第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)希望的性質(zhì)與計(jì)算隨機(jī)變量的方差（協(xié)方差、有關(guān)系數(shù)）的性質(zhì)與計(jì)算主要內(nèi)容1、數(shù)學(xué)希望的計(jì)算11v1.0可編寫(xiě)可改正（1）已知X的散布,求E(X).離散型連續(xù)型E(X)xipiE(X)xf(x)dxi（2）已知X的散布,且Yg(X),求E(Y).離散型連續(xù)型E(Y)g(xi)piE(Y)g(x)f(x)dxi（3）已知(X,Y)的結(jié)合散布，且Zg(X,Y),求E(Z).離散型連續(xù)型E(Z)g(xi,yj)pijE(Z)g(x,y)f(x,y)dxdyijR2（4）已知(X,Y)的結(jié)合散布,求E(X)或E(Y).離散型連續(xù)型方法1:E(X)xipijE(X)xf(x,y)dxdyijR2離散型連續(xù)型E(Y)yjpijE(Y)yf(x,y)dxdyjiR2方法2:先求出邊際散布,則離散型連續(xù)型E(X)xipi.E(X)xfX(x)dxi離散型連續(xù)型E(Y)yjp.jE(Y)yfY(y)dy2、性質(zhì)jE(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn)當(dāng)隨機(jī)變量相互獨(dú)即刻12v1.0可編寫(xiě)可改正E(XY)E(X)E(Y);E(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn).3、方差的計(jì)算即D(X)E(XEX)2易證D(X)E(X2)[E(X)]24,、方差性質(zhì)(1)D(c)0(2)D(aXb)a2D(X)特別地,D(aX)a2D(X)(3)D(XY)D(X)D(Y)2E{[XE(X)][YE(Y)]}特別地,當(dāng)X與Y獨(dú)即刻,D(XY)D(X)D(Y)推廣:當(dāng)X1,X2Xn相互獨(dú)即刻,有nnD(Xi)DXi5、協(xié)方差與有關(guān)系數(shù)i1i1協(xié)方差的計(jì)算Cov(X,Y)E[XE(X)][YE(Y)]COV(X,Y)EXYEXEYCOV(X,Y)

XYDXDYCOV(X,Y)有關(guān)系數(shù)的計(jì)算XYDXDY應(yīng)用舉例某農(nóng)產(chǎn)品的需求量X(單位：噸)聽(tīng)從區(qū)間[1200,3000]上的平均散布。若售出這種農(nóng)產(chǎn)品1噸，可賺2萬(wàn)元，但若銷13v1.0可編寫(xiě)可改正售不出去，則每噸需付庫(kù)房保存費(fèi)1萬(wàn)元，問(wèn)每年應(yīng)準(zhǔn)備多少噸產(chǎn)品才可獲得最大平均收益解設(shè)每年準(zhǔn)備該種產(chǎn)品k噸（1200<k<3000）,則收益Y為2kXk（此時(shí)無(wú)庫(kù)存）Yｇ(X)X)Xk（此時(shí)有庫(kù)存）2X(kE(Y)E[g(X)]設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差存在且不等于０，則D(XY)D(X)D(Y)是X和Y（）。A、不有關(guān)的充分條件，但不是必要條件B、獨(dú)立的充分條件C、不有關(guān)的充分必要條件D、獨(dú)立的充分必要條件3.已知D(X)4,D(Y)2，X與Y相互獨(dú)立，則D(aXbYc)=（）。設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X與Y有相同的概率散布，數(shù)學(xué)希望與方差均存在，記2XY，X3Y，求解：因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，則E(XY)EXEYX與Y有相同的概率散布，則EXEY,DXDYCov(,)EEEDDDDE()E(2XY)(X3Y）=E(2X25XY-3EY2)=2EX25EXEY3EY2=EX25(EX)2看作業(yè)習(xí)題414v1.0可編寫(xiě)可改正第五章大數(shù)定律和中心極限定理知識(shí)點(diǎn)：切比雪夫不等式大數(shù)定律和中心極限定理內(nèi)容提要切比雪夫不等式P{|XEX|}DX2P{|XEX|}1DX2獨(dú)立同散布的中心極限定理設(shè)X1,X2X100獨(dú)立同散布，且Xi~U[0,2]，則EXi1,DXi13100100)則（1）Xi~N(100,（近似）中心極限定理i13100Xi-100i1~N(0,1)（2）標(biāo)準(zhǔn)化后1003100Xi-100i1的散布函數(shù)是(x)，100315v1.0可編寫(xiě)可改正100Xi-100即P(i1100x)(x)310100a100Xi100(3)P(aXib)i1b100P(100100)i1100333(b100)(a100)10010033100100100D(Xi)3(4)P(Xi100)1i1122i1（切比雪夫不等式）11001(5)同理XXi~N(1,)（近似）100i13001100Xi-1100i1~N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)化后13001100)11100D(Xi30012)100i1P(Xi1222275100i1（切比雪夫不等式）16v1.0可編寫(xiě)可改正3．定理2設(shè)隨機(jī)變量Xn~B(n,p),(n1,2),則對(duì)隨意xR,有XnnplimP{x}(x)nnp(1p)第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本觀點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：抽樣散布內(nèi)容提要1、基本觀點(diǎn)樣本統(tǒng)計(jì)量（常用統(tǒng)計(jì)量）2、抽樣散布定理（1）設(shè)Xi~N(0,1)(i1,2n),且相互獨(dú)立,稱2222n22X1X2XnXi~（n）特別地：若X~N(0,1),則X2i12(1)~（2）設(shè)X~N(0,1),Y~2(n),且X與Y相互獨(dú)立,則稱TX~t(n)T2~F(1,n)Y/n（3）設(shè)X1~2(n1),Y~2(n2),且X與Y相互獨(dú)立,則稱FX1/n1~F(n,n)1~F(n,n)12Y/n2F2117設(shè)X1,X2,Xn是從正態(tài)總體N(,2)中抽取的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則對(duì)樣本均值X及樣本方差S2,有:v1.0可編寫(xiě)可改正4）X~N(,12)nX~N(0,1)/nX~t(n1)s/n(n1)S22(n1)2~定理3設(shè)X1,X2Xn是來(lái)自N(1,2),1Y,YY是來(lái)自N(2,2)的兩個(gè)獨(dú)立樣本,12n2X,Y分別表示樣本均值,S2,S2表示樣本方差.12(XY)(12)n22)~t(n1(n11)S12(n21)S22(11)n1n22n1n218v1.0可編寫(xiě)可改正2S1~F(n11,n21)S22設(shè)總體X,Y相互獨(dú)立，且都聽(tīng)從N(0,32)，而(X1,X2,,X9)和（Y1,Y2,,Y9分別來(lái)自X和Y的樣本，問(wèn)：）（1）X1X2X9聽(tīng)從什么散布(2)若C(Y12Y22Y92)聽(tīng)從2散布，C?19v1.0可編寫(xiě)可改正解：Xi~N(0,32)i1,29X1X2X9~N(0,92)Y~N(0,32)i1,29iYi~N(0,1)i1,2939Yi)2~2(9)則(c=1/913i第七章參數(shù)估計(jì)知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)估計(jì)區(qū)間估計(jì)估計(jì)量的評(píng)論標(biāo)準(zhǔn)主要內(nèi)容1、矩法20v1.0可編寫(xiě)可改正矩估計(jì)法的詳細(xì)步驟:(1)求出vE(Xr)v(1,2,k)r1,2,krr(2)A1nrr1,2,,kXirni1(3)令vrAr這是一個(gè)包含k個(gè)未知參數(shù)1,2,,k的方程組.(4)解出其中,,,,??