2020學(xué)年冀教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第三十章二次函數(shù)教案冀教版

第三十章二次函數(shù)

30.1二次函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解、掌握二次函數(shù)的概念和-一般形式；（重點(diǎn)）

2.會(huì)利用二次函數(shù)的概念解決問題；（重點(diǎn)）

3.列二次函數(shù)表達(dá)式解決實(shí)際問題.（難點(diǎn)）

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

已知長(zhǎng)方形窗戶的周長(zhǎng)為6m,窗戶面積為ym?,窗戶寬為xm,你能寫出y與x之間

的函數(shù)關(guān)系式嗎？它是什么函數(shù)呢？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念

【類型一】二次函數(shù)的識(shí)別

例1下列函數(shù)中是二次函數(shù)的有（）

①y=x+：；②—3（x—1尸+2；③y=（x+3）2—2北④尸9+乂

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

解析：①④尸土+x的右邊不是整式，故①④不是二次函數(shù)；②y=3Cr-l）2

+2,符合二次函數(shù)的定義；③尸（*+3）2—2/=—/+6丫+9,符合二次函數(shù)的定義.故選

C.

方法總結(jié)：判定一個(gè)函數(shù)是否是二次函數(shù)常有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn):①所表示的函數(shù)關(guān)系式為整式;

②所表示的函數(shù)關(guān)系式有唯一的自變量；③所含自變量的關(guān)系式最高次數(shù)為2,且函數(shù)關(guān)系

式中二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

【類型二】利用二次函數(shù)的概念求字母的值

例2當(dāng)在為何值時(shí)，函數(shù)尸（4-1）x2+/+1為二次函數(shù)？

分析：根據(jù)二次函數(shù)的概念，可得如+"=2且同時(shí)滿足左一1￥0即可解答.

.優(yōu)+4=2,%=1或一2,

解：??,函數(shù)y=a—1）/〃2+4+1為二次函數(shù)，???，1八解得,

[4一1￥0,[21,

:.k=-2.

方法總結(jié)：解答本題要考慮兩方面：一是x的指數(shù)等于2；二是二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.

［類型三］二次函數(shù)相關(guān)量的計(jì)算

例3已知二次函數(shù)X+6%+3,當(dāng)x—2時(shí)，y=3.則x=l時(shí)，y—.

解析：?.?二次函數(shù)y=-f+6x+3,當(dāng)x=2時(shí)，y=3,，3=-22+26+3,解得6=2.

.??這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是尸一V+2x+3.將x=l代入得y=4.故答案為4.

方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是先確定解析式，再代入求值.

【類型四】二次函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系

例4已知函數(shù)y—(m—m)x+(w—1)X+R+1.

(1)若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，求"的值；

(2)若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，則〃的值應(yīng)怎樣？

分析：根據(jù)二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義解答.

解：(1)根據(jù)一次函數(shù)的定義，得必一m=0,解得0=0或加=1.又1#0,即加產(chǎn)1,

當(dāng)勿=0時(shí);這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的定義，得分一mWO,解得如#0或mW1,；.當(dāng)加產(chǎn)0或小羊1時(shí)，這

個(gè)函數(shù)是二次函數(shù).

方法總結(jié)：熟記二次函數(shù)與一次函數(shù)的定義，另外要注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)的系數(shù)不

等于零.

探究點(diǎn)二：從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)解析式

【類型一】從幾何圖形中抽象出二次函數(shù)解析式

墻

DC

菜園

A--------------------------B

例5如圖，用一段長(zhǎng)為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻(墻的長(zhǎng)度不限)的矩形菜園ABCD,

設(shè)46邊長(zhǎng)為x米，則菜園的面積y(單位：米2)與x(單位：米)的函數(shù)關(guān)系式為多少？

分析：根據(jù)已知由45邊長(zhǎng)為x米可以推出比'=330一入)，然后根據(jù)矩形的面積公式即

可求出函數(shù)關(guān)系式.

解：?.38邊長(zhǎng)為x米，而菜園相徵是矩形菜園，.?.a'=330—x),??.菜園的面積

=；(30—x),x,則菜園的面積y與*的函數(shù)關(guān)系式為y=—'1/+15x.

方法總結(jié)：函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化.有些題目是以幾何

知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式.

【類型二】從生活實(shí)際中抽象出二次函數(shù)解析式

例6某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，第1檔次(最低檔次)的產(chǎn)品一天能

生產(chǎn)95件，每件利潤(rùn)6元.每提高一個(gè)檔次，每件利潤(rùn)增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件.

(1)若生產(chǎn)第X檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為y元(其中X為正整數(shù)，且IWXWIO),求出

y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為1120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.

分析：⑴每件的利潤(rùn)為6+2(x—1),生產(chǎn)件數(shù)為95—5(l1),則尸[6+2(x—1)][95

-5U-1)]；(2)由題意可令y=1120,求出x的實(shí)際值即可.

解：(1)；第一檔次的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤(rùn)6元，每提高一個(gè)檔次，每件利

潤(rùn)力口2元，但一天產(chǎn)量減少5件，.?.第x檔次，提高的檔次是(x—1)檔，利潤(rùn)增加了2(x—

1)元..?.尸[6+2(x-l)][95-5(x—l)],即尸一105+180》+400(其中x是正整數(shù),且

1WW10)；

(2)由題意可得一10f+i80x+400=H20,整理得x-18x+72=0,解得汨=6,熱=

12(舍去).

所以，該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次為第6檔.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型.

三、板書設(shè)計(jì)

二次函數(shù)

1.二次函數(shù)的概念

2.從實(shí)際問題中抽象出二次函數(shù)解析式

教學(xué)反思

二次函數(shù)是一種常見的函數(shù)，應(yīng)用非常廣泛，它是客觀地反映現(xiàn)實(shí)世界中變量之間的數(shù)量關(guān)

系和變化規(guī)律的一種非常重要的數(shù)學(xué)模型.許多實(shí)際問題往往可以歸結(jié)為二次函數(shù)加以研

究.本節(jié)課是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的第一節(jié)課，通過實(shí)例引入二次函數(shù)的概念，并學(xué)習(xí)求一些簡(jiǎn)單

的實(shí)際問題中二次函數(shù)的解析式.在教學(xué)中要重視二次函數(shù)概念的形成和建構(gòu)，在概念的學(xué)

習(xí)過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)從問題出發(fā)到列二次函數(shù)解析式的過程，體驗(yàn)用函數(shù)思想去描述、研

究變量之間變化規(guī)律的意義.

30.2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

30.2.1二次函數(shù)y=ax?的圖像和性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)用描點(diǎn)法畫出了=&/的圖像，理解拋物線的概念.

2.掌握形如片=a*的二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

自由落體公式為常量)"與￡之間是什么關(guān)系呢？它是什么函數(shù)？它的圖像

是什么形狀呢？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次函數(shù)了=2丁的圖像

【類型一】圖像的識(shí)別

解析：本題進(jìn)行分類討論：（1）當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=ax?的圖像開口向上，函數(shù)y=ax

圖像經(jīng)過一、三象限，故排除選項(xiàng)B；（2）當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)的圖像開口向下，函數(shù)y

=ax圖像經(jīng)過二、四象限，故排除選項(xiàng)D；又因?yàn)樵谕恢苯亲鴺?biāo)系中，函數(shù)y=ax與y=

a*的圖像必有除原點(diǎn)（0,0）以外的交點(diǎn)，故選擇C.

方法總結(jié)：分a>0與a<0兩種情況加以討論，并且結(jié)合一些特殊點(diǎn)，采取“排除法”.

【類型二】實(shí)際問題中圖像的識(shí)別

例2已知方關(guān)于大的函數(shù)關(guān)系式為力為正常數(shù)，t為時(shí)間），則函數(shù)圖像為（）

解析：根據(jù)為關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為〃其中g(shù)為正常數(shù)，f為時(shí)間，因此函數(shù)分

圖像是受一定實(shí)際范圍限制的，圖像應(yīng)該在第一象限，是拋物線的一部分，故選A.

方法總結(jié)：在識(shí)別二次函數(shù)圖像時(shí)，應(yīng)該注意考慮函數(shù)的實(shí)際意義.

探究點(diǎn)二：二次函數(shù)了=2爐的性質(zhì)

【類型一】利用圖像判斷二次函數(shù)的增減性

例3作出函數(shù)/=一步的圖像，觀察圖像，并利用圖像回答下列問題：

（1）在y軸左側(cè)圖像上任取兩點(diǎn)/（M,%）,B（X2,㈤，使用〈水0,試比較％與質(zhì)的大

?。?/p>

（2）在y軸右側(cè)圖像上任取兩點(diǎn)C（X3,次），。（汨，力）,使自〉用>0,試比較必與％的

大小;

⑶由(1)、(2)你能得出什么結(jié)論？

分析：根據(jù)畫出的函數(shù)圖像來確定有關(guān)數(shù)值的大小，是一種比較常用的方法.

解：(1)圖像如圖所示，由圖像可知(2)由圖像可知必<%；(3)在y軸左側(cè)，y

隨x的增大而增大，在y軸右側(cè)，y隨x的增大而減小.

方法總結(jié)：解有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)問題，最好利用數(shù)形結(jié)合思想，在草稿紙上畫出拋物

線的草圖進(jìn)行觀察和分析以免解題時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤.

【類型二】二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合題

例4已知函數(shù)y—(w+3)W+3ffl-2是關(guān)于x的二次函數(shù).

(1)求加的值；

(2)當(dāng)而為何值時(shí)，該函數(shù)圖像的開口向下？

(3)當(dāng)加為何值時(shí)，該函數(shù)有最小值？

(4)試說明函數(shù)的增減性.

m+3加-2=2,

分析：(1)由二次函數(shù)的定義可得故可求明的值.

“十3￥0,

(2)圖像的開口向下，則勿+3V0；

(3)函數(shù)有最小值，則肝3>0；

(4)函數(shù)的增減性由函數(shù)的開口方向及對(duì)稱軸來確定.

m+'3m—2—2,［的=—4,㈤=1,

解：⑴根據(jù)題意，得，一解得」.當(dāng)勿=-4或0=1時(shí)，

〔加+3W0,吐一3.

原函數(shù)為二次函數(shù).

(2),圖像開口向下，...而+3V0,3,.,.必=—4..,.當(dāng)加=—4時(shí),該函數(shù)圖像的

開口向下.

(3)：函數(shù)有最小值，；.0+3>0,歷>—3,；.m=l,；.當(dāng)m=l時(shí),原函數(shù)有最小值.

(4)當(dāng)勿=-4時(shí)，此函數(shù)為尸一V,開口向下，對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的

增大而增大；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減小.

當(dāng)勿=1時(shí)，此函數(shù)為六=41,開口向上，對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)*<0時(shí)，y隨x的增大而

減小；當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大.

方法總結(jié)：二次函數(shù)的最值是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，當(dāng)a>0時(shí)，開口向上，頂點(diǎn)最低，此時(shí)

縱坐標(biāo)為最小值；當(dāng)a<0時(shí)，開口向下，頂點(diǎn)最高，此時(shí)縱坐標(biāo)為最大值.考慮二次函數(shù)

的增減性要考慮開口方向和對(duì)稱軸兩方面的因素，因此最好畫圖觀察.

探究點(diǎn)三：確定二次函數(shù)尸af的表達(dá)式

【類型一】利用圖像確定尸af的解析式

例5一個(gè)二次函數(shù)尸a/(a#0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)4(2,—2)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)6,求其

關(guān)系式.

分析：坐標(biāo)軸包含x軸和y軸，故點(diǎn)4(2,—2)關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，而是

兩個(gè)點(diǎn).點(diǎn)4(2,-2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)8(2,2),點(diǎn)4(2,-2)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)民(一2,

—2).

解：：點(diǎn)8與點(diǎn)4(2,—2)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，.?.8(2,2),民(一2,-2).當(dāng)尸a，的

圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)時(shí)，2=aX2?,.,.戶看"=%；當(dāng)?shù)膱D像經(jīng)過點(diǎn)瓜(一2,

111

22

—2)時(shí)，-2=aX(—2)1-2-尸2-X二次函數(shù)的關(guān)系式為或2-X

方法總結(jié)：當(dāng)題目給出的條件不止一個(gè)答案時(shí)，應(yīng)運(yùn)用分類討論的方法逐一進(jìn)行討論,

從而求得多個(gè)答案.

【類型二】二次函數(shù)尸af的圖像與幾何圖形的綜合應(yīng)用

例6已知二次函數(shù)y=af(a￥O)與直線y=2x—3相交于點(diǎn)4(1,6),求:

(Da,6的值;

(2)函數(shù)尸af的圖像的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)及直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)6的坐標(biāo).

分析：直線與函數(shù)尸af的圖像交點(diǎn)坐標(biāo)可利用方程求解.

解：(1)：點(diǎn)1(1,⑸是直線與函數(shù)了=&/圖像的交點(diǎn)，點(diǎn)力的坐標(biāo)滿足二次函數(shù)和

b=aXI2,[a=—1,

直線的關(guān)系式,?<

b=2X1—3,IZ?=-1.

(2)由(1)知二次函數(shù)為y=—V,頂點(diǎn)〃(即坐標(biāo)原點(diǎn))的坐標(biāo)為(0,0),由一f=2x—3,

解得M=1,生=-3,=—%=-9,...直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)6的坐標(biāo)為(一3,

-9).

【類型三】二次函數(shù)尸aV的實(shí)際應(yīng)用

例7如圖所示，有一拋物線形狀的橋洞.橋洞離水面最大距離OM為3m,跨度AB=6m.

(1)請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并求出在此坐標(biāo)系下的拋物線的關(guān)系式；

(2)一艘小船上平放著一些長(zhǎng)3m,寬2m且厚度均勻的矩形木板，要使小船能通過此

橋洞，則這些木板最高可堆放多少米？

分析：可令。為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線為X軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則可設(shè)此

拋物線函數(shù)關(guān)

系式為y=aV.由題意可得8點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,-3),由此可求出拋物線的函數(shù)關(guān)系式，

然后利用此拋物線的函數(shù)關(guān)系式去探究其他問題.

解：(1)以。點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于線段48的直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系，設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=af.由題意可得8點(diǎn)坐標(biāo)為(3,—3),.?.-3=aX3、

解得a=-J,.?.拋物線的函數(shù)關(guān)系式為尸一我.

?JO

111O

⑵當(dāng)x=l時(shí)，片=一可乂「'=一,.,.?〃膿=3,???木板最高可堆放3一鼻=鼻(米).

?JOO0

方法總結(jié)：解決實(shí)際問題時(shí)，要善于把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型解決

實(shí)際問題的思想.

三、板書設(shè)計(jì)

教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數(shù)夕=@*2的圖像與性質(zhì),

體會(huì)數(shù)學(xué)建模的數(shù)形結(jié)合的思想方法.

30.2.2二次函數(shù)y=a(x-h)"和y=a(x-h)?+k的圖像和性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)用描點(diǎn)法畫出y=a(x-A)"和y=a(x—的圖像.

2.掌握形如/=2(了一力2和尸a(x—力產(chǎn)+在二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用.

3.理解二次函數(shù)y=a(x-*及y=a(x-而?+%與y=ax?之間的聯(lián)系.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

涵洞是指在公路工程建設(shè)中，為了使公路順利通過水渠不妨礙交通，修筑于路面以下的

排水孔道（過水通道），通過這種結(jié)構(gòu)可以讓水從公路的下面流過.從如圖所示的直角坐標(biāo)系

中，你能得到函數(shù)圖像解析式嗎？

y

II?Ij?r-

--4--

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次函數(shù)了=。6~的圖像和性質(zhì)

【類型一】y=a（x—合2的圖像與性質(zhì)的識(shí)別

例1已知拋物線y=a（x—A）2（a￥0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一2,0）,且圖像經(jīng)過點(diǎn)（一4,2）,

求a,力的值.

解：???拋物線尸a（x—力"aWO）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,.."=-2.又...拋物線y=a（x

+2尸經(jīng)過點(diǎn)（-4,2）,.*.（―4+2）2?a=2,

方法總結(jié)：拋物線尸a（x—血2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為S,0）,對(duì)稱軸是直線x=/z.

【類型二】二次函數(shù)y=a（x-/?）2增減性的判斷

例2對(duì)于二次函數(shù)尸9（x—1”，下列結(jié)論正確的是（）

A.y隨X的增大而增大

B.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大

C.當(dāng)X>一1時(shí)，y隨x的增大而增大

D.當(dāng)尤>1時(shí)，y隨x的增大而增大

解析：由于a=9>0,拋物線開口向上，而人=1,所以當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而增

大.故選D.

【類型三】確定尸a（x—血2與了=2f的關(guān)系

例3能否向左或向右平移函數(shù)的圖像，使得到的新的圖像過點(diǎn)（—9,-8）?

若能，請(qǐng)求出平移的方向和距離；若不能，請(qǐng)說明理由.

解：能，設(shè)平移后的函數(shù)為y^-^x-H）2,將x=—9,y=-8代入得一8=一；（—9

一?,所以方=一5或?yàn)?一13,所以平移后的函數(shù)為y=-T（x+5）2或y=—；（x+13）2.即

拋物線的頂點(diǎn)為（-5,0）或（一13,0）,所以向左平移5或13個(gè)單位.

方法總結(jié)：根據(jù)拋物線平移的規(guī)律，向右平移力個(gè)單位后，a不變，括號(hào)內(nèi)變“減去力”；

若向左平移4個(gè)單位，括號(hào)內(nèi)應(yīng)“加上力”，即“左加右減”.

【類型四】y=a(x—A)2的圖像與幾何圖形的綜合

例4把函數(shù)尸的圖像向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后，其頂點(diǎn)為C,并與直線y=x分別

相交于4、8兩點(diǎn)(點(diǎn)/在點(diǎn)片的左邊)，求△48C的面積.

分析：利用二次函數(shù)平移規(guī)律先確定平移后拋物線解析式，確定。點(diǎn)坐標(biāo)，再解由得到

的二次函數(shù)解析式與尸x組成的方程組，確定從8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，最后求△/外的面積.

1,(x-4)2,

解：平移后的函數(shù)為尸5(x—4)2,頂點(diǎn)c的坐標(biāo)為(4,0),解方程組12

ly=x，

x=2,fx=8,1

得或?.?點(diǎn)力在點(diǎn)8的左邊，：./1(2,2),6(8,8)..?.&戒=&亞一叢郵

[y=2,[y=8.2

1

X8--(76X2=12.

方法總結(jié)：兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與兩個(gè)解析式組成的方程組的解是一致的.

探究點(diǎn)二：二次函數(shù)尸a(x-/?)2+k的圖像和性質(zhì)

【類型一】利用平移確定尸a(x—4口+4的解析式

例5將拋物線向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，所得的拋物線是()

A.尸鼻(x—2尸一1B.y=-(^—2)2+1

JO

C.尸;(x+2)?+lD.尸;(x+2)2—1

OO

解析：由“上加下減”的平移規(guī)律可知，將拋物線尸〈/向下平移1個(gè)單位所得拋物

線的解析式為：由“左加右減”的平移規(guī)律可知，將拋物線了=：￡-1向右平移

2個(gè)單位所得拋物線的解析式為y=1(x-2)2-l,故選A.

O

【類型二】尸且5一力產(chǎn)+4的圖像與幾何圖形的綜合

例6如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/在第二象限，以4為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，與

x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)反對(duì)稱軸為直線x=-2,點(diǎn)C在拋物線上，且位于點(diǎn)4、8之間(61不與

/、8重合).若的周長(zhǎng)為a,則四邊形/敗的周長(zhǎng)為(用含a的式子表示)

解析?：如圖，???對(duì)稱軸為直線入=-2,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8,...仍

=4,?.?由拋物線的對(duì)稱性知4A4”.?.四邊形加比1的周長(zhǎng)為4什/，+9+/=△/比1的

周長(zhǎng)+08=a+4.故答案是：a+4.

方法總結(jié)：二次函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，本題利用拋物線的這一性質(zhì)，將四邊形的

周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到已知的線段上去，在這里注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

三、板書設(shè)計(jì)

教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數(shù)y=a(X—"2與y=a(x

-A)?+在圖像與性質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的數(shù)形結(jié)合思想方法.

30.2.3二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像和性質(zhì)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會(huì)畫二次函數(shù)/=2/+原+。的圖像.

2.熟記二次函數(shù)y^ax+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸公式.

3.用配方法求二次函數(shù)y=@/+取+。的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

火箭被豎直向上發(fā)射時(shí)，它的高度Mm)與時(shí)間f(s)的關(guān)系可以近似用力=-55+1501

+10表示.那么經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，火箭達(dá)到它的最高點(diǎn)？

二、合作探究

探究點(diǎn)一：二次函數(shù)尸af+6x+c的圖像和性質(zhì)

【類型一】二次函數(shù)圖像的位置與系數(shù)符號(hào)互判

例1如圖，二次函數(shù)了=@/+法+。的圖像開口向上，圖像經(jīng)過點(diǎn)(一1,2)和(1,0)且

與尸軸交于負(fù)半軸.

(1)給出四個(gè)結(jié)論：①a>0；②6>0；③c>0；④a+6+c=0.其中正確的結(jié)論的序號(hào)是

(2)給出四個(gè)結(jié)論：①abc<0；②2a+8>0；③a+c=l；④a>l.其中正確的結(jié)論的序

號(hào)是._.

解析：由拋物線開口向上，得a>0；由拋物線y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上，得c<0；由拋

物線的頂點(diǎn)在第四象限，得一我>0,又a>0,所以6<0；由拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

1,得a+6+c=0.因此，第⑴問中正確的結(jié)論是①④.在第⑴問的基礎(chǔ)上，由a>0、b<0、

c<0,可得a6c>0；由一連VI、a>0,可得2a+8>0；由點(diǎn)(一1,2)在拋物線上，可知a

—6+c=2,又a+6+c=0,兩式相加得2a+2c=2,所以a+c=l；由a+c=l,c<0,可

得a>l.因此，第(2)問中正確的結(jié)論是②③④.

方法總結(jié)：觀察拋物線的位置確定符號(hào)的方法：①根據(jù)拋物線的開口方向可以確定a

的符號(hào).開口向上，a>0；開口向下，a<0.②根據(jù)頂點(diǎn)所在象限可以確定8的符號(hào).頂點(diǎn)

在第一、四象限，一上>0,由此得a、6異號(hào)；頂點(diǎn)在第二、三象限，一比<0,由此得a、

2a2a

6同號(hào).再由①中a的符號(hào)，即可確定6的符號(hào).

【類型二】二次函數(shù)尸aV+6x+c的性質(zhì)

例2如圖，已知二次函數(shù)y=-f+2x,當(dāng)一l<x<a時(shí)，y隨x的增大而增大，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.a>\

B.-IVaWl

C.a>0

D.~\<a<2

2

解析：拋物線的對(duì)稱軸為直線X=-N工、=1,,??函數(shù)圖像開口向下，在對(duì)稱軸

ZA1—1)

左側(cè)，y隨x的增大而增大，...aWL...—kaWl,故選擇B.

方法總結(jié)：拋物線的增減性：當(dāng)a>0,開口向上時(shí)，對(duì)稱軸左降右升；當(dāng)a<0,開口

向下時(shí)，對(duì)稱軸左升右降.

［類型三］二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像的綜合識(shí)別

例3已知拋物線尸和直線尸ax+6在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像如圖所示，其中正

確的是()

解析：圖和D圖中直線y=ax+6過一、三、四象限，，a>0,b<0,...拋物線y

=+"的開口向上，對(duì)稱軸x=—?>0,，選項(xiàng)A錯(cuò)，選項(xiàng)D正確；B圖和C圖中直線

y=ax+6過二、三、四象限，???aVO,6V0,???拋物線的開口向下，且對(duì)稱軸x=—;^V0,

選項(xiàng)B,C錯(cuò).故選D.

方法總結(jié)：多種函數(shù)圖像的識(shí)別，一般可以先確定其中一種函數(shù)的圖像(如一次函數(shù))，

再根據(jù)函數(shù)圖像得到該函數(shù)解析式中字母的特點(diǎn)，最后結(jié)合二次函數(shù)圖像的開口方向、對(duì)稱

軸或圖像經(jīng)過的特殊點(diǎn)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一考察，得出結(jié)論.

【類型四】拋物線+原+c的平移

例4在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)y=2f+4x—3的圖像向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，

再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(—3,—6)B.(1,—4)

C.(1?—6)D.(—3,—4)

解析：二次函數(shù)y=2f+4x-3配方得y=2(/+2x)-3=2(/+2x+l-l)-3=2(x+

1尸一5,將拋物線y=2(x+l)z—5向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的解析式為尸2(x+l

-2)2—5=2(入-1)2—5,再將拋物線y=2(x—1/一5向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度所得拋物線的

解析式為了=2(/—1)2—5—1=2(不一1)2—6,此時(shí)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為(1,-6),故選C.

方法總結(jié)：二次函數(shù)的平移規(guī)律：將拋物線y=a/(aW0)向上平移衣(在>0)個(gè)單位所得

的函數(shù)關(guān)系式為y=af+4,向下平移a(Q0)個(gè)單位所得的函數(shù)關(guān)系式為y=a六一〃；向左

平移力6>0)個(gè)單位所得函數(shù)關(guān)系式為尸a(x+//)2；向右平移從小0)個(gè)單位所得函數(shù)關(guān)系式

為y=a(x—力2；這一規(guī)律可簡(jiǎn)記為“上加下減，左加右減”.

【類型五】二次函數(shù)的圖像與幾何圖形的綜合應(yīng)用

例5如圖，已知二次函數(shù)y=-的圖像經(jīng)過4(2,0)、B(0,-6)兩點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

⑵設(shè)該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與X軸交于點(diǎn)C,連接陰、BC,求的面積.

1,f—2+26+c=0,(6=4,

解：⑴把力(2,0)、5(0,-6)代入夕=一六2+原+。得：解得

n[c=-6,[c=—6.

，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為產(chǎn)=-3]+4X一6.

4

(2)?.?該拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-------1=4,.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(4,0).：.AC=

2X(-1)

。。一十=4—2=2,?■.&儂=：X/CXft9=^X2X6=6.

三、板書設(shè)計(jì)

教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函數(shù)/=@/+云+。的圖像

與性質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)建模的數(shù)形結(jié)合思想方法.

30.3由不共線三點(diǎn)的坐標(biāo)確定二次函數(shù)*

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.通過對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的探究，掌握求解析式的方法.

2.會(huì)根據(jù)不同的條件，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，在實(shí)際應(yīng)用中體會(huì)

二次函數(shù)作為一種數(shù)學(xué)模型的作用.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

某廣場(chǎng)中心標(biāo)志性建筑處有高低不同的各種噴泉，其中一支高度為1米的噴水管噴出的

拋物線水柱最大高度為3米，此時(shí)噴水水平距離為3米，你能寫出如圖所示的平面直角坐標(biāo)

系中拋物線水柱的解析式嗎？

二、合作探究

探究點(diǎn)：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

【類型一】用一般式確定二次函數(shù)解析式

例1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（一1,—5）,（0,-4）和（1,1）,求這個(gè)二次函數(shù)的解

析式.

分析：由于題目給出的是拋物線上任意三點(diǎn)，可設(shè)一般式y(tǒng)=af+6x+c（aW0）.

'a—6+c=-5,

解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=af+6x+c（a#0）,依題意得：'c=—4,解

.a+6+c=l,

（a—2,

這個(gè)方程組得：｛。=3,這個(gè)二次函數(shù)的解析式為了=2f+3萬—4.

[c=-4.

方法總結(jié)：當(dāng)題目給出函數(shù)圖象上的三個(gè)點(diǎn)時(shí);設(shè)一般式為了=af+6x+c,轉(zhuǎn)化成一

個(gè)三元一次方程組，以求得a,b,c的值.

【類型二】用頂點(diǎn)式確定二次函數(shù)解析式

例2已知二次函數(shù)的圖象頂點(diǎn)是（一2,3）,且過點(diǎn)（一1,5）,求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.

解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x—分/+左，圖象頂點(diǎn)是（一2,3）,；"=—2,k=3,依

題意得：5=a（-1+2）2+3,解得a=2,y=2（x+2）~+3=2x?+8x+11.

方法總結(jié)：若己知拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸或極值，則設(shè)頂點(diǎn)式為y=a（x—Z/）2+〃.頂點(diǎn)

坐標(biāo)為（/?,心，對(duì)稱軸方程為x=/?,極值為當(dāng)*=力時(shí)，來求出相應(yīng)的數(shù).

【類型三】根據(jù)平移確定二次函數(shù)解析式

例3將拋物線y=2f—4x+l先向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，求

平移后的函數(shù)解析式.

分析：要求拋物線平移的函數(shù)解析式，需要將函數(shù)y=2f—4x+l化成頂點(diǎn)式，然后根

據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的變換求拋物線平移后的解析式.

解：y=2*—4*+l=2(*2—2*+1)—l=2(x—I)?—1,該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(1,—1),

將其向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后，拋物線的形狀，開口方向不變，這

時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1—3,-1-2),即(-2,-3),所以平移后拋物線的解析式為y=2(x+2)2

—3.即_r=2V+8x+5.

方法總結(jié):拋物線y=a(x—⑸,+4的圖象向左平移成粉0)個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移〃(〃〉0)

個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=a(x-/?+R)2+A+〃；向右平移加於0)個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移

〃(〃>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y—a(x—h-ni)~+k—n.

【類型四】根據(jù)軸對(duì)稱確定二次函數(shù)解析式

例4已知二次函數(shù)尸2步-12*+5,求該函數(shù)圖象關(guān)于入軸對(duì)稱的圖象的解析式.

分析：關(guān)于x軸對(duì)稱得到的二次函數(shù)的圖象與原二次函數(shù)的圖象的形狀不變，而開口方

向，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)變化了，開口方向與原圖象的開口方向相反，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)

與原圖象的縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

解：y=2f—12x+5=2(x—3尸一13,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,—13),其圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的頂

點(diǎn)坐標(biāo)為(3,13),所以對(duì)稱后的圖象的解析式為y=-2(x-3)2+13.

2

方法總結(jié)：尸a(x—力'+A的圖象關(guān)于不軸對(duì)稱得到的圖象的解析式為7=一a(x—H)

—k.

【類型五】用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的實(shí)際應(yīng)用

例5科學(xué)家為了推測(cè)最適合某種珍奇植物生長(zhǎng)的溫度，將這種植物分別放在不同溫度的

環(huán)境中，經(jīng)過一定時(shí)間后，測(cè)試出這種植物高度的增長(zhǎng)情況，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

溫度t/℃-4-2014

植物高度增長(zhǎng)量

7/mm4149494625

科學(xué)家經(jīng)過猜想，推測(cè)出/與t之間是二次函數(shù)關(guān)系.由此可以推測(cè)最適合這種植

物生長(zhǎng)的溫度為℃.

解析：設(shè)/與t之間的函數(shù)關(guān)系式為/=a「+〃+c,把(-2,49)、(0,49)、(1,46)

’4a—2Z?+c=49,fa=—1,

分別代入得：＜c=49,解得＜6=—2,A7=-t2-2t+49,即/=一（t+ll+SO,

.a+6+c=46,、c=49.

.?.當(dāng)6=-l時(shí)，/的最大值為50.即當(dāng)溫度為一1七時(shí):最適合這種植物生長(zhǎng).故答案為一

1.

方法總結(jié)：求函數(shù)解析式一般采用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法解題，先要明確解析式中

待定系數(shù)的個(gè)數(shù)，再?gòu)囊阎械玫较鄳?yīng)個(gè)數(shù)的獨(dú)立條件（一般來講，最直接的條件是點(diǎn)的坐

標(biāo)），最后代入求解.

三、板書設(shè)計(jì)

教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式時(shí)，要根據(jù)題目所給條件，合理設(shè)出其形

式，然后求解，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算.

30.4二次函數(shù)的應(yīng)用

30.4.1拋物線形問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握二次函數(shù)模型的建立，會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題.

2.利用二次函數(shù)解決拱橋、涵洞關(guān)問題.

3.能運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行決策.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

某大學(xué)的校門是一拋物線形的水泥建筑物（如圖所示），大門的寬度為8米，兩側(cè)距地面

4米高處各掛有一個(gè)掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，請(qǐng)你確定校門的高度

是多少？

二、合作探究

探究點(diǎn)：拱橋、涵洞問題

例1如圖是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時(shí)，拱頂(拱橋洞的最高點(diǎn))

解析：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)這條拋物線為尸加,把點(diǎn)⑵一2)代入,得一2=aX2,,

a=-：.y=—^x,當(dāng)y=-3時(shí)，―/*=-3,x=±m(xù).故答案為2m.

方法總結(jié)：在解決呈拋物線形狀的實(shí)際問題時(shí)，通常的步驟是：(1)建立合適的平面直

角坐標(biāo)系；(2)將實(shí)際問題中的數(shù)量轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)出拋物線的解析式，并將點(diǎn)的坐

標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)解析式；(4)利用函數(shù)關(guān)系式解決實(shí)際問題.

例2如圖，某隧道橫截面的上下輪廓線分別由拋物線對(duì)稱的一部分和矩形的一部分構(gòu)

成，最大高度為6米，底部寬度為12米.現(xiàn)以。點(diǎn)為原點(diǎn)，的/所在直線為x軸建立直角坐

標(biāo)系.

OABMx

(1)直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”使C、〃點(diǎn)在拋物線上，4、6點(diǎn)在地面

“V上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？

分析：解決問題的思路是首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，挖掘條件確定圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)材(12,

0)和拋物線頂點(diǎn)"(6,6)；已知頂點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為尸a(x—6)2+6,可利用

待定系數(shù)法求出二次函數(shù)關(guān)系式；再利用二次函數(shù)上某些點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出有關(guān)“支撐架”

總長(zhǎng)4斗"C+"二次函數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，從而解決問題.

解：(1)根據(jù)題意，分別求出"(12,0),最大高度為6米，點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為6,底部寬

度為12米，所以點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為6,即尸(6,6).

(2)設(shè)此函數(shù)關(guān)系式為尸a(x—6尸+6.因?yàn)楹瘮?shù)y=a(x—6尸+6經(jīng)過點(diǎn)(0,3),所以3

=a(0—6尸+6,即a=一七.所以此函數(shù)關(guān)系式為y=一紜(了-6尸+6=一+/+矛+3.

(3)設(shè)力(m，0),則6(12—例0),<7(12-/77,一擊病+葉3),1)5,一擊/+0+3).即

"支撐架"總長(zhǎng)4?+〃C+a?=(一誦分+/+3)+(12—2/?)+(——/?+?+3)=-7?+18.因

為此二次函數(shù)的圖象開口向下.所以當(dāng)勿=0時(shí)，4升ZT+⑦有最大值為18.

三、板書設(shè)計(jì)

建立二次函數(shù)模型：(1)拱橋問題；(2)涵洞問題.

教學(xué)反思

教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)生自主探索和合作交流，經(jīng)歷將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，建立二次函

數(shù)模型，解決生活中的實(shí)際問題.

30.4.2實(shí)際問題中二次函數(shù)的最值問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的基本過程，能分析實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.

2.會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最大值或最小值.

3.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決圖形最大面積、利潤(rùn)最大問題.

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

孫大爺要圍成一個(gè)矩形花圃.花圃的一邊利用足夠長(zhǎng)的墻，另三邊用總長(zhǎng)為32米的籬

笆恰好圍成.圍成的花圃是如圖所示的矩形/成〃設(shè)邊的長(zhǎng)為x米，矩形/時(shí)的面積為

S平方米.當(dāng)x為何值時(shí)，S有最大值？并求出最大值.

//.///////////////.//

4D

花圃

---------------'C

二、合作探究

探究點(diǎn)一：最大面積問題

【類型一】利用二次函數(shù)求最大面積

例1小李想用籬笆圍成一個(gè)周長(zhǎng)為60米的矩形場(chǎng)地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩

形一邊長(zhǎng)x(單位：米)的變化而變化.

(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)*是多少時(shí)，矩形場(chǎng)地面積S最大？最大面積是多少？

60—2x

分析：利用矩形面積公式就可確定二次函數(shù).(1)矩形一邊長(zhǎng)為X,則另一邊長(zhǎng)為

從而表示出面積；(2)利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo).

解：(1)根據(jù)題意，得5=——?入=一/+30乂自變量x的取值范圍是0<x<30.

⑵S=-t+30x=-0-15)2+225,?.?a=-lV0,；.S有最大值，即當(dāng)x=15(米)時(shí),

S如他=225平方米.

方法總結(jié)：二次函數(shù)與日常生活的例子還有很多，體現(xiàn)了二次函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的

廣泛性.解決這類問題關(guān)鍵是在不同背景下學(xué)會(huì)從所給信息中提取有效信息，建立實(shí)際問題

中變量間的二次函數(shù)關(guān)系.

【類型二】最大面積方案設(shè)計(jì)

例2施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米,寬度0M為12米.現(xiàn)

以〃點(diǎn)為原點(diǎn)，行/所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖所示).

(1)直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

(2)求出這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(3)施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”CDAB,使/、〃點(diǎn)在拋物線上，B、C

點(diǎn)在地面〃V上.為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿46、AD,勿的長(zhǎng)度之和的最大

(2)設(shè)這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a(x—6)?+6,因?yàn)閽佄锞€過(2(0,0),所以a(0

一6尸+6=0,解得，a—*,所以這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-1(x-6)2+6,即尸

—《V+2x.

6

⑶設(shè)勿=/〃米，則點(diǎn)力的坐標(biāo)為(勿，+2/77),所以/〃=〃。=—!勿2+2%.根據(jù)拋物

線的軸對(duì)稱，可得0B=CM=",所以a=12—2加，EPAD=\2-2m,所以/=/5+49+仇?=一

.2+2/+12—2/一52+2〃/=—4/〃2+2R+I2=-J(/〃-3尸+15.所以當(dāng)勿=3,即加=3米時(shí)，

6633

三根木桿長(zhǎng)度之和1的最大值為15米.

探究點(diǎn)二：最大利潤(rùn)問題

【類型一】利用解析式確定獲利最大的條件

例3為了推進(jìn)知識(shí)和技術(shù)創(chuàng)新、節(jié)能降耗，使我國(guó)的經(jīng)濟(jì)能夠保持可持續(xù)發(fā)展.某工廠

經(jīng)過技術(shù)攻關(guān)后，產(chǎn)品質(zhì)量不斷提高，該產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，生產(chǎn)第一檔次（即最低

檔）的新產(chǎn)品一天生產(chǎn)76件，每件利潤(rùn)10元，每提高一個(gè)檔次，每件可節(jié)約能源消耗2元，

但一天產(chǎn)量減少4件.生產(chǎn)該產(chǎn)品的檔次越高，每件產(chǎn)品節(jié)約的能源就越多，是否獲得的利

潤(rùn)就越大？請(qǐng)你為該工廠的生產(chǎn)提出建議.

分析：在這個(gè)工業(yè)生產(chǎn)的實(shí)際問題中，隨著生產(chǎn)產(chǎn)品檔次的變化，所獲利潤(rùn)也在不斷的

變化，于是可建立函數(shù)模型；找出題中的數(shù)量關(guān)系：一天的總利潤(rùn)=一天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)X

每件產(chǎn)品的利潤(rùn)；其中，“每件可節(jié)約能源消耗2元”的意思是利潤(rùn)增加2元；利用二次函

數(shù)確定最大利潤(rùn)，再據(jù)此提出自己認(rèn)為合理的建議.

解：設(shè)該廠生產(chǎn)第x檔的產(chǎn)品一天的總利潤(rùn)為y元，則有y=[10+2（x-l）][76—4（x

-1）]=-8/+128%+640=-8（入-8）2+1152.當(dāng)x=8時(shí)，yH?=1152.由此可見，并不是

生產(chǎn)該產(chǎn)品的檔次越高，獲得的利潤(rùn)就越大.建議：若想獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)生產(chǎn)第8檔次的

產(chǎn)品.（其他建議，只要合理即可）

【類型二】利用圖象解析式確定最大利潤(rùn)

例4某水果店銷售某種水果，由歷年市場(chǎng)行情可知，從第1月至第12月，這種水果每

千克售價(jià)%（元）與銷售時(shí)間第x月之間存在如圖①所示（一條線段）的變化趨勢(shì)，每千克成本

度（元）與銷售時(shí)間第x月滿足函數(shù)關(guān)系式及=/加一8m其變化趨勢(shì)如圖②所示.

（1）求姓的解析式；

（2）第幾月銷售這種水果，每千克所獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

9〃?—24/〃+）=6,

解：（1）由題意可得，函數(shù)理的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)（3,6）,（7,7）,Jm=解

[49R一56/力+〃=7,

f1

m=q，

816?

得〈J角的解析式為次.

63bb

[4A+Z?=11,

⑵設(shè)%=府+6,,??函數(shù)%的圖象過兩點(diǎn)(4,11),(8,10),???一解得

[8k+6=10,

k=—7,1

J4??