2023年天津市靜海區(qū)瀛海學(xué)校數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．己知，則向量與的夾角為.A．30 B．60 C．120 D．150.2．定積分等于()A． B． C． D．3．已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為y，則實(shí)數(shù)a的值為x23456y3711a21A．16 B．18C．20 D．224．2021年起，新高考科目設(shè)置采用“”模式，普通高中學(xué)生從高一升高二時(shí)將面臨著選擇物理還是歷史的問(wèn)題，某校抽取了部分男、女學(xué)生調(diào)查選科意向，制作出如右圖等高條形圖，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①樣本中的女生更傾向于選歷史；②樣本中的男生更傾向于選物理；③樣本中的男生和女生數(shù)量一樣多；④樣本中意向物理的學(xué)生數(shù)量多于意向歷史的學(xué)生數(shù)量.根據(jù)兩幅條形圖的信息，可以判斷上述結(jié)論正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（）A．1 B．-1 C． D．6．如圖，某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．7．設(shè)奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增8．已知橢圓E:x2a2+y24=1，設(shè)直線l:y=kx+1k∈R交橢圓A．mx+y+m=0 B．mx+y-m=0C．mx-y-1=0 D．mx-y-2=09．給出下列三個(gè)命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知點(diǎn)滿足，則到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．11．已知直線l的參數(shù)方程為x=t+1，y=t-1，（tA．0° B．45° C．9012．以圓：的圓心為圓心，3為半徑的圓的方程為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的準(zhǔn)線方程是________.14．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)______.15．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則________.16．某學(xué)校為了了解住校學(xué)生每天在校平均開(kāi)銷情況，隨機(jī)抽取了名學(xué)生，他們的每天在校平均開(kāi)銷都不低于20元且不超過(guò)60元，其頻率分布直方圖如圖三所示，則其中每天在校平均開(kāi)銷在元的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）甲、乙、丙3人均以游戲的方式?jīng)Q定是否參加學(xué)校音樂(lè)社團(tuán)、美術(shù)社團(tuán)，游戲規(guī)則為：①先將一個(gè)圓8等分（如圖），再將8個(gè)等分點(diǎn)，分別標(biāo)注在8個(gè)相同的小球上，并將這8個(gè)小球放入一個(gè)不透明的盒子里，每個(gè)人從盒內(nèi)隨機(jī)摸出兩個(gè)小球、然后用摸出的兩個(gè)小球上標(biāo)注的分點(diǎn)與圓心構(gòu)造三角形.若能構(gòu)成直角三角形，則兩個(gè)社團(tuán)都參加；若能構(gòu)成銳角三角形，則只參加美術(shù)社團(tuán)；若能構(gòu)成鈍角三角形，則只參加音樂(lè)社團(tuán)；若不能構(gòu)成三角形，則兩個(gè)社團(tuán)都不參加.②前一個(gè)同學(xué)摸出兩個(gè)小球記錄下結(jié)果后，把兩個(gè)小球都放回盒內(nèi)，下一位同學(xué)再?gòu)暮兄须S機(jī)摸取兩個(gè)小球．（1）求甲能參加音樂(lè)社團(tuán)的概率；（2）記甲、乙、丙3人能參加音樂(lè)社團(tuán)的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差18．（12分）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知函數(shù)在上是奇函數(shù)，且在處取得極小值.（1）求的解析式；（2）求過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的切線方程.20．（12分）已知數(shù)列（）的通項(xiàng)公式為（）.（1）分別求的二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和與系數(shù)之和；（2）求的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）記（），求集合的元素個(gè)數(shù)（寫出具體的表達(dá)式）.21．（12分）已知．（1）求和的值；（2）求式子的值．22．（10分）有6本不同的書:(1)全部借給5人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?(2)全部借給3人,每人至少1本,共有多少種不同的借法?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

將數(shù)量積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可計(jì)算，從而可求.【詳解】因?yàn)?、，所以，則、，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的夾角計(jì)算，難度較易.無(wú)論是平面還是空間向量的夾角計(jì)算，都可以借助數(shù)量積公式，對(duì)其進(jìn)行變形，先求夾角余弦值，再求夾角.2、B【解析】

由定積分表示半個(gè)圓的面積，再由圓的面積公式可求結(jié)果?！驹斀狻坑深}意可知定積分表示半徑為的半個(gè)圓的面積，所以，選B.【點(diǎn)睛】1．由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計(jì)算及應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化為定積分的計(jì)算及應(yīng)用，但一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，且當(dāng)圖形的邊界不同時(shí)，要討論解決．(1)畫出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；(4)計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積．2．由函數(shù)求其定積分，能用公式的利用公式計(jì)算，有些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分．有些由函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定積分。3、B【解析】

，代入回歸直線方程得，所以，則，故選擇B.4、B【解析】

分析條形圖，第一幅圖從性別方面看選物理歷史的人數(shù)的多少，第二幅圖從選物理歷史的人數(shù)上觀察男女人數(shù)的多少，【詳解】由圖2知樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量，由圖1有物理意愿的學(xué)生數(shù)量多于有歷史意愿的學(xué)生數(shù)量，樣本中的男生更傾向物理，女生也更傾向物理，所以②④正確，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查條形圖的認(rèn)識(shí)，只要分清楚條形圖中不同的顏色代表的意義即可判別．5、A【解析】

先求解出的共軛復(fù)數(shù)，然后直接判斷出的虛部即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以的虛部?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的實(shí)虛部的認(rèn)識(shí)，難度較易.復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為.6、C【解析】

根據(jù)三視圖知幾何體為上下底面為等腰直角三角形，高為的三棱臺(tái)，計(jì)算體積得到答案.【詳解】根據(jù)三視圖知：幾何體為上下底面為等腰直角三角形，高為的三棱臺(tái)，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖求體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.7、B【解析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根號(hào)函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結(jié)論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當(dāng)時(shí)，即則在單調(diào)遞減，

故選：B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．8、D【解析】

在直線l中取k值，對(duì)應(yīng)地找到選項(xiàng)A、B、C中的m值，使得直線與給出的直線關(guān)于坐標(biāo)軸或原點(diǎn)具有對(duì)稱性得出答案?！驹斀狻慨?dāng)直線l過(guò)點(diǎn)-1,0，取m=-1，直線l和選項(xiàng)A中的直線重合，故排除A；當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)1,0，取m=-1，直線l和選項(xiàng)B中的直線關(guān)于y軸對(duì)稱，被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相同，故排除B；當(dāng)k=0時(shí)，取m=0，直線l和選項(xiàng)C中的直線關(guān)于x軸對(duì)稱，被橢圓E截得的弦長(zhǎng)相同，故排除C；直線l的斜率為k，且過(guò)點(diǎn)0,1，選項(xiàng)D中的直線的斜率為m，且過(guò)點(diǎn)0,-2，這兩條直線不關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對(duì)稱，故被橢圓E所截得的弦長(zhǎng)不可能相等。故選：D?！军c(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，通過(guò)給變量取特殊值，舉反例來(lái)說(shuō)明某個(gè)命題不正確，是一種簡(jiǎn)單有效的方法，屬于中等題。9、B【解析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應(yīng)至少有一個(gè)是真命題，所以②錯(cuò)；③正確．考點(diǎn)：1.四種命題；2.命題的否定．10、B【解析】

作出圖象，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點(diǎn)為中心的邊長(zhǎng)為正方形，到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P圍成的圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，由此利用幾何概型能求出到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P的概率．【詳解】點(diǎn)滿足，

當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，；

當(dāng)，時(shí)，．

作出圖象，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點(diǎn)為中心的邊長(zhǎng)為正方形，

到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P圍成的圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，

到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P的概率為：

．

故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．11、B【解析】

將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得出該直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角?！驹斀狻恐本€l的直角坐標(biāo)方程為x-y-2=0，斜率k=tanα=1,所以α=45【點(diǎn)睛】本題考查利用直線的參數(shù)方程求直線的傾斜角，參數(shù)方程化為普通方程是常用方法，而參數(shù)方程化為普通方程有兩種常見(jiàn)的消參方法：①加減消元法；②代入消元法；③平方消元法。12、A【解析】

先求得圓M的圓心坐標(biāo)，再根據(jù)半徑為3即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題意可得圓M的圓心坐標(biāo)為，以為圓心，以3為半徑的圓的方程為．故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化，圓的方程求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：利用拋物線的準(zhǔn)線方程為，可得拋物線的準(zhǔn)線方程.詳解：因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的準(zhǔn)線方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)，意在考查對(duì)基本性質(zhì)的掌握情況，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

由，求導(dǎo)，再根據(jù)點(diǎn)處的切線與直線平行，有求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)處的切線與直線平行，所以，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

本題先計(jì)算，而后求其模.或直接利用模的性質(zhì)計(jì)算.容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力的考查.【詳解】.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.16、1【解析】分析：由頻率分布直方圖，得每天在校平均開(kāi)銷在[50，60]元的學(xué)生所點(diǎn)的頻率為0.3，由此能求出每天在校平均開(kāi)銷在[50，60]元的學(xué)生人數(shù)．詳解：由頻率分布直方圖，得：每天在校平均開(kāi)銷在[50，60]元的學(xué)生所點(diǎn)的頻率為：1﹣（0.01+0.024+0.036）×10=0.3∴每天在校平均開(kāi)銷在[50，60]元的學(xué)生人數(shù)為500×0.3=1．故答案為1點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查頻數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)；(2)分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望；方差【解析】

（1）先求得基本事件的總數(shù)為，然后計(jì)算出與圓心構(gòu)成直角三角形或鈍角三角形的取法數(shù)之和，再利用古典概型概率計(jì)算公式，求得所求概率.（2）利用二項(xiàng)分布概率計(jì)算公式，計(jì)算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望和方差.【詳解】解：（1）從盒中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，即是從8個(gè)等分點(diǎn)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的分點(diǎn)，共有種，其中與圓心構(gòu)成直角三角形的取法有8種:，與圓心構(gòu)成鈍角三角形的取法有種:.所以甲能參加音樂(lè)社團(tuán)的概率為：.（2）由題意可知：，的可能取值為：0,1,2,3.所以的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望方差【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，考查二項(xiàng)分布分布列、期望和方差的計(jì)算，屬于中檔題.18、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】試題分析：（1）由可得,則數(shù)列為等比數(shù)列且公比為2.可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.并將代入用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將其化簡(jiǎn).再證為常數(shù).（2）數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列乘以一個(gè)等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由已知可得，，2分3分4分為等差數(shù)列，其中．6分（2）①7分②8分①-②得∴12分考點(diǎn)：1等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式;2等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式;3錯(cuò)位想減法求數(shù)列的和.【方法點(diǎn)睛】本題涉及等差數(shù)列，等比數(shù)列，以及求和的方法，屬于基礎(chǔ)題型，數(shù)列求和的方法主要包括：（1）分組求和法，把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列和的形式；（2）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列寫成的形式，包括，，等形式；（3）錯(cuò)位相減法：一個(gè)等差數(shù)列乘以一個(gè)等比數(shù)列的數(shù)列，采用錯(cuò)位相減法求和；（4）倒序相加法求和：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和時(shí)，可采用倒序相加法；（5）其他法，形如型數(shù)列，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律求和,或有些數(shù)列具有周期性，可利用函數(shù)的周期性求和.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知；利用極值點(diǎn)和極值可得到方程組，解方程組求得解析式；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線斜率等于在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，又等于兩點(diǎn)連線斜率來(lái)構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到切線斜率，從而得到切線方程.【詳解】（1）是定義在上的奇函數(shù)則，解得：（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：，則在處切線斜率：又，解得：過(guò)的切線方程為：，即：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)和極值求解函數(shù)解析式、求過(guò)某一點(diǎn)處切線方程的求解問(wèn)題；考查學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)幾何意義的掌握情況，屬于導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)應(yīng)用問(wèn)題.20、（1），0；（2），；（3）.【解析】

（1）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式直接得二項(xiàng)式系數(shù)之和為，利用賦值法求二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)之和；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式得系數(shù)，再列方程組解得系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）先根據(jù)二項(xiàng)式定理將展開(kāi)成整數(shù)與小數(shù)，再根據(jù)奇偶性分類討論元素個(gè)數(shù)，最后根據(jù)符號(hào)數(shù)列合并通項(xiàng).【詳解】（1）二項(xiàng)展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，令得二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)之和為；（2）設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)數(shù)為則因此二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)為，（3）所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)為當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，集合的元素個(gè)數(shù)為綜上，元素個(gè)數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)之和、二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和、二項(xiàng)式