電磁矢論第四章、時(shí)變電磁場(chǎng)

電磁矢論第四章、時(shí)變電磁場(chǎng)第1頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.1波動(dòng)方程無源區(qū)的波動(dòng)方程（均勻媒質(zhì)中）：麥克斯韋方程組波動(dòng)方程建立二階矢量微分方程，揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，即波動(dòng)性。一階矢量微分方程組，描述了電場(chǎng)與磁場(chǎng)間的相互作用關(guān)系。電磁波動(dòng)方程第2頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.1波動(dòng)方程推證（無源區(qū)）：同理可得：第3頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.1波動(dòng)方程波動(dòng)方程的解是空間沿一個(gè)特定方向傳播的電磁波，研究電磁波的傳播問題可以歸結(jié)為在給定的邊界條件和初始條件下求解波動(dòng)方程的解。矢量波動(dòng)方程的解法：設(shè)法把矢量波動(dòng)方程分解成標(biāo)量波動(dòng)方程，通過求解標(biāo)量波動(dòng)方程（分離變量法）再求得帶求的矢量函數(shù)。第4頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.1波動(dòng)方程在直角坐標(biāo)系中，波動(dòng)方程可以分解成三個(gè)標(biāo)量波動(dòng)方程：第5頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)1、矢量位和標(biāo)量位定義：上面的式子中稱為電磁場(chǎng)的矢量位，稱為電磁場(chǎng)的標(biāo)量位。注：（在時(shí)變電磁場(chǎng)中用矢量位和標(biāo)量位來表示。)第6頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)就是說對(duì)一給定的時(shí)變電磁場(chǎng)可用不同的位函數(shù)來描述。不確定性滿足下列變換關(guān)系的兩組函數(shù)和能描述同一個(gè)電磁問題。則有：原因：未規(guī)定的散度（亥姆霍茲定理）。第7頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)通過規(guī)定的散度可以得到惟一的和，還可以使時(shí)變電磁問題的求解得到簡(jiǎn)化。在電磁場(chǎng)論中，對(duì)于時(shí)變電磁場(chǎng)通常規(guī)定的散度為：上式稱為洛倫茲規(guī)范。注：電磁場(chǎng)論中另一種常用的規(guī)范是庫(kù)倫規(guī)范，通常在恒定磁場(chǎng)中應(yīng)用。第8頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)2、位函數(shù)的微分方程（達(dá)朗貝爾方程）在線性和各向同性媒質(zhì)中有：第9頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)同理有第10頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)即：是洛倫茲規(guī)范下矢量位和標(biāo)量位所滿足的微分方程，稱為達(dá)朗貝爾方程。第11頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.2電磁場(chǎng)的位函數(shù)說明：應(yīng)用洛侖茲規(guī)范的特點(diǎn)：1）位函數(shù)滿足的方程在形式上是對(duì)稱的，且比較簡(jiǎn)單，易求解；2）矢量位只決定于

，標(biāo)量位只決定于ρ，這對(duì)求解方程特別有利。只需解出

，無需解出就可得到待求的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。電磁位函數(shù)只是簡(jiǎn)化時(shí)變電磁場(chǎng)分析求解的一種輔助函數(shù)，應(yīng)用不同的規(guī)范條件，矢量位

和標(biāo)量位的解也不相同，但最終得到的電磁場(chǎng)矢量是相同的。第12頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）1、電磁場(chǎng)能量主要內(nèi)容：坡印廷矢量和坡印廷定理電磁場(chǎng)能量分為兩部分：電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量電場(chǎng)的能量密度（單位體積內(nèi)所儲(chǔ)存的電場(chǎng)能量）：

磁場(chǎng)的能量密度（單位體積內(nèi)所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量）：

磁場(chǎng)的能量密度：

磁場(chǎng)的能量：

第13頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）隨電磁波的傳播，空間個(gè)點(diǎn)的電磁能量密度也發(fā)生著變化，即伴隨著電磁波的傳播發(fā)生著電磁場(chǎng)能量的流動(dòng)。第14頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）電磁能量流動(dòng)滿足能量守恒

進(jìn)入體積V的能量=體積V內(nèi)變化的能量+體積V內(nèi)損耗的能量

用坡印廷定理來表征電磁能量守恒關(guān)系，定量的描述電磁場(chǎng)能量的運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)移。用能流密度矢量來描述電磁能量流動(dòng)，也稱坡印廷矢量，用表示，單位W/M2方向：電磁能量流動(dòng)的方向大小：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)穿過與能量流動(dòng)方向垂直的單位面積的能量。第15頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）2、坡印廷矢量（能流密度矢量）描述時(shí)變電磁場(chǎng)中電磁能量流動(dòng)的一個(gè)重要物理量。定義：

方向：電磁能量流動(dòng)的方向大?。?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)穿過與能量流動(dòng)方向垂直的單位面積的能量。第16頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）3、坡印廷定理微分形式：

積分形式：

單位時(shí)間內(nèi)通過閉合曲面進(jìn)入體積V的電磁功率（能量）單位時(shí)間內(nèi)體積V中電磁場(chǎng)能量的改變量單位時(shí)間內(nèi)體積V內(nèi)總的損耗功率（能量）物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，通過閉合曲面S進(jìn)入體積V的電磁功率（能量）等于體積V中電磁場(chǎng)能量的改變量與損耗功率（能量）之和。

第17頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）坡印廷定理清楚的說明了電磁場(chǎng)是能量的儲(chǔ)存者和傳遞者。無論是電力傳輸還是電訊傳輸，都必須通過空間電磁波來實(shí)現(xiàn)能量的傳遞。第18頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）推導(dǎo)（由麥克斯韋方程組來推導(dǎo)）：由式（1）-式（2）得：第19頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）在線性和各向同性媒質(zhì)中，當(dāng)參數(shù)不隨時(shí)間發(fā)生變化：將式（4）和式（5）代入式（3）有：第20頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）利用矢量恒等式：即可得到坡印廷定理的微分形式：再在任意閉合曲面S所包圍的體積V上對(duì)上式兩端進(jìn)行積分，并應(yīng)用散度定理，即可得到坡印廷定理的積分形式：第21頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）Eg：同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a、外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設(shè)內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為U，導(dǎo)體中流過的電流為I。（1）在導(dǎo)體為理想導(dǎo)體的情況下，計(jì)算同軸線中傳輸?shù)墓β剩唬?）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，計(jì)算通過內(nèi)導(dǎo)體表面進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率。同軸線第22頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）

解：（1）在理想導(dǎo)體中不存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)，電場(chǎng)和磁場(chǎng)只存在于內(nèi)外導(dǎo)體之間的理想介質(zhì)中。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導(dǎo)體之間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分別為：內(nèi)外導(dǎo)體之間任意橫截面上的坡印廷矢量為：第23頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）電磁能量在內(nèi)外導(dǎo)體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動(dòng)，即由電源流向負(fù)載，如圖所示。穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（理想導(dǎo)體情況）第24頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）（2）當(dāng)導(dǎo)體的電導(dǎo)率σ為有限值時(shí)，導(dǎo)體內(nèi)部存在沿電流方向的電場(chǎng)根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)的切向分量連續(xù)，因此，在內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的電場(chǎng)為內(nèi)磁場(chǎng)則仍為內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量為同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）第25頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.3電磁能量守恒定律（坡印廷定理）同軸線中的電場(chǎng)、磁場(chǎng)和坡印廷矢量（非理想導(dǎo)體情況）由此可見，內(nèi)導(dǎo)體表面外側(cè)的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進(jìn)入每單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的功率為:式中R是單位長(zhǎng)度內(nèi)導(dǎo)體的電阻。由此可見，進(jìn)入內(nèi)導(dǎo)體中功率等于這段導(dǎo)體的焦耳損耗功率。第26頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.4惟一性定理——針對(duì)時(shí)變電磁場(chǎng)中麥克斯韋方程組的解提出來的。時(shí)變電磁場(chǎng)的惟一性問題：麥克斯韋方程組解的惟一性問題。表述：在以閉合面S為邊界的有界區(qū)域V內(nèi)，若給定t=0時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度（邊界條件），且在t≥0時(shí)給定S上的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量和磁場(chǎng)強(qiáng)度切向分量（邊界條件）。那么在t>0時(shí)

區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)可由麥克斯韋方程組惟一確定。意義：指出了獲得惟一解所必須滿足的條件，為電磁問題的求解提供了理論依據(jù)。第27頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）時(shí)諧電磁場(chǎng)：場(chǎng)量隨時(shí)間按正弦規(guī)律變化的電磁場(chǎng)，也稱正弦電磁場(chǎng)。特點(diǎn)：（1）易于激勵(lì)，在工程上應(yīng)用最多的就是時(shí)諧電磁場(chǎng)，廣播、電視和通信的載波等都是時(shí)諧電磁場(chǎng)；（2）在線性和各向同性媒質(zhì)中，任意時(shí)變電磁場(chǎng)在一定條件下均可按傅里葉級(jí)數(shù)展開為不同頻率的時(shí)諧電磁場(chǎng)的疊加。第28頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）1、時(shí)諧電磁場(chǎng)的復(fù)數(shù)表示對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)，其場(chǎng)量和都是以一定的角頻率ω隨時(shí)間t按正弦規(guī)律變化的。在直角坐標(biāo)系中，的瞬時(shí)表達(dá)式（實(shí)數(shù)表達(dá)式）為：與時(shí)間無關(guān)的初相位振幅（僅與空間坐標(biāo)有關(guān)）第29頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）利用三角公式：時(shí)間因子復(fù)數(shù)表示法對(duì)復(fù)數(shù)取實(shí)部空間相位因子復(fù)振幅，或稱分量的復(fù)數(shù)形式其中：各個(gè)分量的復(fù)數(shù)形式。第30頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）有關(guān)說明：（1）復(fù)矢量只是數(shù)學(xué)表達(dá)式，不代表真實(shí)的場(chǎng)；（2）真實(shí)的場(chǎng)是復(fù)矢量的實(shí)部，即與之相對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)表達(dá)式；（3）只有頻率相同的時(shí)諧場(chǎng)之間才能使用復(fù)矢量方法進(jìn)行運(yùn)算。式中：為的復(fù)矢量同理可得：、、第31頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）場(chǎng)量復(fù)數(shù)形式與實(shí)數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)換：復(fù)矢量瞬時(shí)矢量取實(shí)部取實(shí)部取實(shí)部取實(shí)部第32頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）Eg：已知電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量，其中kz和Exm為實(shí)常數(shù)。寫出電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)矢量。解：第33頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）2、時(shí)諧電磁場(chǎng)的麥克斯韋方程組對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)由麥克斯韋方程微分形式可得：第34頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）第35頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）麥克斯韋方程復(fù)數(shù)形式注意：（1）方程組中各場(chǎng)量形式上是實(shí)數(shù)，實(shí)際應(yīng)均為復(fù)數(shù)；（2）方程組中沒有與時(shí)間相關(guān)的因子，因?yàn)闀r(shí)間因子ejωt缺??；（3）麥克斯韋方程組復(fù)數(shù)形式只能適用與時(shí)諧電磁場(chǎng)。第36頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）3、亥姆霍茲方程（時(shí)諧電磁場(chǎng)所滿足的波動(dòng)方程）對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)亥姆霍茲方程第37頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）若令k2=μεω2，則亥姆霍茲方程變?yōu)椋赫f明：亥姆霍茲方程的解為時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）。第38頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）4、時(shí)諧電磁場(chǎng)的位函數(shù)對(duì)于時(shí)諧電磁場(chǎng)第39頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）復(fù)矢量瞬時(shí)矢量位函數(shù)定義洛倫茲規(guī)范達(dá)朗貝爾方程第40頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）5、平均坡印廷矢量坡印廷矢量瞬時(shí)形式：平均坡印廷矢量：在坡印廷矢量的瞬時(shí)表達(dá)式中、均為實(shí)數(shù)，即：推導(dǎo)可得，在時(shí)諧電磁場(chǎng)中評(píng)價(jià)坡印廷矢量為：上式中：、為場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表達(dá)式；

為對(duì)場(chǎng)量的復(fù)數(shù)表達(dá)式取共軛運(yùn)算。第41頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）推導(dǎo)：第42頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）代入的定義式中一般會(huì)將的·省略，即：第43頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期二4.5時(shí)諧電磁場(chǎng)（正弦電磁場(chǎng)）說明：(1)具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場(chǎng)，也適用于其他時(shí)變電磁場(chǎng)；而只適用于時(shí)諧電磁場(chǎng)。(2)在中，和都是實(shí)數(shù)形式且是時(shí)間的函數(shù)，所以也是時(shí)間的函數(shù)，反映的是能流密度在某一個(gè)瞬時(shí)的取值；而