北京九中2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．以下說法中正確個(gè)數(shù)是（）①用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”的反設(shè)是“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角”；②欲證不等式成立，只需證；③用數(shù)學(xué)歸納法證明（，，在驗(yàn)證成立時(shí)，左邊所得項(xiàng)為；④命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是使用了“三段論”，但小前提使用錯(cuò)誤.A． B． C． D．2．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，若，則的值()A．恒為負(fù)值 B．恒等于零C．恒為正值 D．無法確定正負(fù)3．雙曲線和有（）A．相同焦點(diǎn) B．相同漸近線 C．相同頂點(diǎn) D．相等的離心率4．用四個(gè)數(shù)字1,2,3,4能寫成（）個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).A．6 B．12 C．16 D．205．（）A．1 B． C． D．6．函數(shù)的最小正周期為（）A． B． C． D．7．已知，則展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．8．下面是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且的部分過程：“……，假設(shè)當(dāng)時(shí)，＋＋…＋，故當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)?，故＋＋…＋，……”，則橫線處應(yīng)該填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，9．某地氣象臺(tái)預(yù)計(jì)，7月1日該地區(qū)下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)表示下雨，表示刮風(fēng)，則A． B． C． D．10．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立做了15次和20次試驗(yàn)，并且利用線性回歸方法，求得回歸直線為l1和l2，已知在兩人的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值恰好相等，都為s，對(duì)變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值也恰好相等，都為t，那么下列說法正確的是()A．直線l1和直線l2有交點(diǎn)(s，t) B．直線l1和直線l2相交，但交點(diǎn)未必是點(diǎn)(s，t)C．直線l1和直線l2必定重合 D．直線l1和直線l2由于斜率相等，所以必定平行11．外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足，則向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．312．已知n元均值不等式為：，其中均為正數(shù)，已知球的半徑為R，利用n元均值不等式求得球的內(nèi)接正四棱錐的體積的最大值為

A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則AE與所成角的余弦值為____．14．在數(shù)列中，，且．（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.15．高二（1）班有男生18人，女生12人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該班的全體同學(xué)中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則抽取的男生人數(shù)為____.16．在等差數(shù)列中,,則________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（且）．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．18．（12分）已知實(shí)數(shù)為整數(shù)，函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）如果存在，使得成立，試判斷整數(shù)是否有最小值，若有，求出值；若無，請(qǐng)說明理由（注：為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.19．（12分）為了了解創(chuàng)建文明城市過程中學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況，相關(guān)部門對(duì)某中學(xué)的100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．得到如下的統(tǒng)計(jì)表：滿意不滿意合計(jì)男生50女生15合計(jì)100已知在全部100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人對(duì)創(chuàng)建工作滿意的概率為.(1)在上表中相應(yīng)的數(shù)據(jù)依次為；(2)是否有充足的證據(jù)說明學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)？20．（12分）為了了解甲、乙兩校學(xué)生自主招生通過情況，從甲校抽取51人，從乙校抽取41人進(jìn)行分析.通過人數(shù)末通過人數(shù)總計(jì)甲校乙校31總計(jì)51（1）根據(jù)題目條件完成上面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為自主招生通過情況與學(xué)生所在學(xué)校有關(guān)；（2）現(xiàn)已知甲校A，B，C三人在某大學(xué)自主招生中通過的概率分別為，用隨機(jī)變量X表示A，B，C三人在該大學(xué)自主招生中通過的人數(shù)，求X的分布列及期望E（X）．參考公式：.參考數(shù)據(jù)：1．141．111．141．1241．111．1141．1112．1622．6153．8414．1245．5346．86911．82821．（12分）已知直線：（為參數(shù)）和圓的極坐標(biāo)方程：．（1）分別求直線和圓的普通方程并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）已知點(diǎn)，若直線與圓相交于，兩點(diǎn)，求的值．22．（10分）求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)；（2）橢圓的焦距是8，離心率等于．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

①根據(jù)“至多有一個(gè)”的反設(shè)為“至少有兩個(gè)”判斷即可。②不等式兩邊平方，要看正負(fù)號(hào)，同為正不等式不變號(hào)，同為負(fù)不等式變號(hào)。③令代入左式即可判斷。④整數(shù)并不屬于大前提中的“有些有理數(shù)”【詳解】命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”的反設(shè)是“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角”；①錯(cuò)欲證不等式成立，因?yàn)?，故只需證，②錯(cuò)（，，當(dāng)時(shí)，左邊所得項(xiàng)為；③正確命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是使用了“三段論”，小前提使用錯(cuò)誤.④正確綜上所述：①②錯(cuò)③④正確故選B【點(diǎn)睛】本題考查推理論證，屬于基礎(chǔ)題。2、A【解析】

依據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，在上單調(diào)遞減，可以判斷出在上單調(diào)遞減，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性的定義和奇偶性的定義，即可判斷的符號(hào)?！驹斀狻恳?yàn)闀r(shí)，單調(diào)遞減，而且是定義在上的奇函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，由減函數(shù)的定義可得，，即有，故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性應(yīng)用。3、A【解析】

對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：對(duì)于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點(diǎn)都在軸上，它們具有相同焦點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計(jì)算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，屬于排列問題，則一共有種不同的取法.即共有12個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).故選B.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，注意區(qū)分排列、組合、放回式抽取和不放回抽取的不同.5、D【解析】

根據(jù)微積分基本原理計(jì)算得到答案.【詳解】.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、B【解析】

先利用二倍角的余弦公式化簡函數(shù)解析式，然后利用周期公式可求答案．【詳解】函數(shù)的最小正周期為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查二倍角的余弦公式，屬基礎(chǔ)題．7、B【解析】

==﹣1，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=﹣?，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為﹣?=﹣，故選B【點(diǎn)睛】本題考查集合的混合運(yùn)算.8、A【解析】

由歸納假設(shè)，推得的結(jié)論，結(jié)合放縮法，便可以得出結(jié)論．【詳解】假設(shè)當(dāng)時(shí)，＋＋…＋，故當(dāng)時(shí)，＋＋…＋+＜，因?yàn)?，＋＋…＋，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟，以及放縮法的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．9、B【解析】解：因?yàn)?月1日潯陽區(qū)下雨的概率為，刮風(fēng)的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為，設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，則10、A【解析】

根據(jù)回歸直線過樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，并結(jié)合回歸直線的斜率來進(jìn)行判斷。【詳解】由于回歸直線必過樣本的數(shù)據(jù)中心點(diǎn)，則回歸直線和回歸直線都過點(diǎn)，做了兩次試驗(yàn)，兩條回歸直線的斜率沒有必然的聯(lián)系，若斜率不相等，則兩回歸直線必交于點(diǎn)，若斜率相等，則兩回歸直線重合，所以，A選項(xiàng)正確，B、C、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線的性質(zhì)，考查“回歸直線過樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)”這個(gè)結(jié)論，同時(shí)也要抓住回歸直線的斜率來理解，考查分析理解能力，屬于基礎(chǔ)題。11、C【解析】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據(jù)直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據(jù)題意畫出圖像如下圖所示，因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據(jù)直角三角形射影定理得，即.故選C.點(diǎn)睛：本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識(shí).屬于中檔題.12、A【解析】

先根據(jù)球和正四棱錐的內(nèi)接關(guān)系求出半徑與邊長的關(guān)系式，寫出體積公式，利用n元均值不等式可求最大值.【詳解】設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則有，解得；正四棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最大值，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查四棱錐體積的求解和n元均值不等式的應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AE與CD1所成角的余弦值．【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長為2，則A（2，0，0），E（2，2，1），C（0，2，0），D1（0，0，2），（0，2，1），（0，﹣2，2），設(shè)AE與CD1所成角為θ，則cosθ，∴AE與CD1所成角的余弦值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14、（1），，（2）（）．證明見解析【解析】

（1）利用遞推式直接求：（2）猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【詳解】解：（1）∵，且，∴，，．（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因此，左邊=右邊．所以，當(dāng)時(shí)，猜想成立．②假設(shè)（，）時(shí)，猜想成立，即，那么時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，猜想成立．根據(jù)①和②，可知猜想成立．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列中的歸納法思想及證明基本步驟，屬于基礎(chǔ)題．15、3【解析】

根據(jù)分層抽樣的比例求得.【詳解】由分層抽樣得抽取男生的人數(shù)為5×18故得解.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.16、40【解析】

根據(jù)前項(xiàng)和公式，結(jié)合已知條件列式求得的值.【詳解】依題意.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（Ⅱ）k＜0或k【解析】

（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，上不等式成立；當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，設(shè)，進(jìn)而令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，從而可求得的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)f（x），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.（Ⅱ）時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，上不等式成立，滿足題設(shè)條件；②當(dāng)時(shí)，，等價(jià)于，設(shè)，則，設(shè)，則，∴在[1，+∞）上單調(diào)遞減，得，①當(dāng)，即時(shí)，得，∴在上單調(diào)遞減，得，滿足題設(shè)條件；②當(dāng)，即時(shí)，，而，∴，又單調(diào)遞減，∴當(dāng)，得，∴在上單調(diào)遞增，得，不滿足題設(shè)條件．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）的最小值為1【解析】

（1）求導(dǎo)函數(shù)后，注意對(duì)分式分子實(shí)行有理化，注意利用平方差公式，然后分析單調(diào)性；（2）由可得不等式，通過構(gòu)造函數(shù)證明函數(shù)的最值滿足相應(yīng)條件即可；分析函數(shù)時(shí)，注意極值點(diǎn)唯一的情況，其中導(dǎo)函數(shù)等于零的式子要注意代入化簡.【詳解】解：（1）已知，函數(shù)的定義域?yàn)椋虼嗽趨^(qū)間上，在區(qū)間上，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）存在，，使得成立設(shè)，只要滿足即可，易知在上單調(diào)遞增，又，，，所以存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，即，所以.所以，因?yàn)?，所以，則，又.所以的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，難度較難，也是高考必考的考點(diǎn).對(duì)于極值點(diǎn)唯一的情況，一定要注意極值點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)等于零對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，這對(duì)于后面去計(jì)算函數(shù)的最值時(shí)去化簡有直接用途.19、(1)5,30,80,20,55,45；(2)有.【解析】分析：（1）根據(jù)列聯(lián)表得關(guān)系確定數(shù)值，（2）根據(jù)公式求K2，再與參考數(shù)據(jù)比較得可靠性.詳解：(1)填表如下：滿意不滿意合計(jì)男生50555女生301545合計(jì)80201005,30,80,20,55,45(2)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得K2的觀測值k＝≈9.091>7.879，所以有在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)．點(diǎn)睛：本題考查卡方公式，考查基本求解能力.20、（1）填表見解析，有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的自主招生通過情況與所在學(xué)校有關(guān)（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，并計(jì)算出的觀測值，結(jié)合臨界值表找出犯錯(cuò)誤的概率，于此可對(duì)題中的結(jié)論正誤進(jìn)行判斷；（2）列出隨機(jī)變量的可能取值，利用獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出隨機(jī)變量在每個(gè)可能值處的概率，可列出隨機(jī)變量的概率分布列，并由此計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）列聯(lián)表如下：通過人數(shù)未通過人數(shù)總計(jì)甲校214151乙校312141總計(jì)4151111由算得：，所以有99%的把握認(rèn)為學(xué)生的自主招生通過情況與所在學(xué)校有關(guān)；（2）設(shè)自主招生通過分別記為事件，則.∴隨機(jī)變量的可能取值為1，1，2，3.，，，.所以隨機(jī)變量X的分布列為：.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，考查隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望的求解，解題時(shí)要判斷出隨機(jī)變量所服從的分布列，結(jié)合分布列類型利用相關(guān)公式計(jì)算出相應(yīng)的概率，