湖北省隨州市第二高級中學2022-2023學年高二數學第二學期期末檢測試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中，的系數為（）A．15 B．-15 C．60 D．-602．經過橢圓的一個焦點作傾斜角為的直線l，交橢圓于M，N兩點，設O為坐標原點，則等于A． B． C． D．3．若對于任意的實數，有，則的值為（）A． B． C． D．4．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則5．在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于軸對稱，若角是第三象限角，且，則（）A． B． C． D．6．若函數至少有1個零點，則實數的取值范圍是A． B． C． D．7．有位男生，位女生和位老師站在一起照相，要求老師必須站中間，與老師相鄰的不能同時為男生或女生，則這樣的排法種數是（）A． B． C． D．8．已知向量，，且，則等于（）．A． B． C． D．9．某學校有男、女學生各500名.為了解男女學生在學習興趣與業(yè)余愛好方面是否存在顯著差異，擬從全體學生中抽取100名學生進行調查，則宜采用的抽樣方法是（）A．抽簽法 B．隨機數法 C．系統(tǒng)抽樣法 D．分層抽樣法10．設，則A． B． C． D．11．已知函數的最小正周期為4π，則（

）A．函數f（x）的圖象關于原點對稱 B．函數f（x）的圖象關于直線對稱C．函數f（x）圖象上的所有點向右平移個單位長度后，所得的圖象關于原點對稱 D．函數f（x）在區(qū)間（0，π）上單調遞增12．在棱長為的正方體中，如果、分別為和的中點，那么直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設向量a,b,c滿足,,,若,則的值是________14．曲線與直線及軸圍成的圖形的面積為__________．15．有甲、乙、丙三項不同任務，甲需由人承擔，乙、丙各需由人承擔，從人中選派人承擔這三項任務，不同的選法共有__________種．（用數字作答）16．任取兩個小于1的正數x、y，若x、y、1能作為三角形的三條邊長，則它們能構成鈍角三角形三條邊長的概率是________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二階矩陣對應的變換將點變換成，將點變換成.（1）求矩陣的逆矩陣；（2）若向量，計算.18．（12分）已知，．（Ⅰ）求函數f（x）的極值；（Ⅱ）對一切的時，恒成立，求實數a的取值范圍．19．（12分）已知函數.（1）當，求函數的單調區(qū)間；（2）若函數在上是減函數，求的最小值；（3）證明：當時，.20．（12分）在直角坐標系中，曲線（為參數，），曲線（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：，記曲線與的交點為.（Ⅰ）求點的直角坐標；（Ⅱ）當曲線與有且只有一個公共點時，與相較于兩點，求的值.21．（12分）已知函數.（1）若不等式在上有解，求的取值范圍；（2）若對任意的均成立，求的最小值.22．（10分）設函數，.（1）當時，解不等式；（2）若，，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析：依題意有，故系數為.考點：二項式．2、C【解析】

橢圓化標準方程為，求得，設直線方程為，代入橢圓方程，求得交點坐標，由向量坐標運算求得．【詳解】橢圓方程為，，取一個焦點,則直線方程為，代入橢圓方程得，，所以，選C.【點睛】本題綜合考查直線與橢圓相交問題，及向量坐標運算，由于本題坐標好求所以直接求坐標，代入向量坐標運算．一般如果不好求坐標點，都是用韋達定理設而不求．3、B【解析】試題分析：因為，所以，故選擇B.考點：二項式定理.4、D【解析】不正確，因為垂直于同一條直線的兩個平面平行；不正確，垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交；平行于同一條直線的兩個平面平行或相交；正確.5、A【解析】

由單位圓中的三角函數線可得：終邊關于軸對稱的角與角的正弦值相等，所以，再根據同角三角函數的基本關系，結合余弦函數在第四象限的符號，求得.【詳解】角與角終邊關于軸對稱，且是第三象限角，所以為第四象限角，因為，所以，又，解得：，故選A.【點睛】本題考查單位圓中三角函數線的運用、同角三角函數的基本關系，考查基本的運算求解能力.6、C【解析】

令，則函數至少有1個零點等價于函數至少有1個零點，對函數求導，討論和時，函數的單調性，以及最值的情況，即可求出滿足題意的實數的取值范圍?！驹斀狻坑深}可得函數的定義域為；令，則，函數至少有1個零點等價于函數至少有1個零點；；（1）當時，則在上恒成立，即函數在單調遞增，當時，，當時，，由零點定理可得當時，函數在有且只有一個零點，滿足題意；（2）當時，令，解得：，令，解得：，則函數在上單調遞增，在上單調遞減，當時，，所以要使函數至少有1個零點，則，解得：綜上所述：實數的取值范圍是：故答案選C【點睛】本題主要考查利用導數研究函數的零點個數的問題，由導數研究函數的單調區(qū)間以及最值是解題的關鍵，屬于中檔題。7、D【解析】先排與老師相鄰的:,再排剩下的：,所以共有種排法種數，選D.點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.8、B【解析】

由向量垂直可得，求得x，及向量的坐標表示，再利用向量加法的坐標運算和向量模的坐標運算可求得模.【詳解】由，可得，代入坐標運算可得x-4=0，解得x=4,所以，得=5，選B.【點睛】求向量的模的方法：一是利用坐標，二是利用性質，結合向量數量積求解.9、D【解析】試題分析：由于樣本中男生與女生在學習興趣與業(yè)余愛好方面存在差異性，因此所采用的抽樣方法是分層抽樣法，故選D.考點：抽樣方法.10、C【解析】分析：利用復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數，化簡復數，然后求解復數的模.詳解：，則，故選c.點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.11、C【解析】分析：函數的最小正周期為4π，求出，可得的解析式，對各選項進行判斷即可.詳解：函數的最小正周期為4π，，，，由對稱中心橫坐標方程：，可得，A不正確；由對稱軸方程：，可得，B不正確；函數f（x）圖象上的所有點向右平移個單位，可得：，圖象關于原點對稱，C正確；令，可得：，函數f（x）在區(qū)間（0，π）上不是單調遞增，D不正確；故選C.點睛：本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，注意圖象變換時的伸縮、平移總是針對自變量x而言，而不是看角ωx＋φ的變化．12、B【解析】

作出圖形，取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，計算出的三邊邊長，然后利用余弦定理計算出，即可得出異面直線與所成角的大小.【詳解】如下圖所示：取的中點，連接、，、分別為、的中點，則，且，在正方體中，，為的中點，且，則，所以，四邊形為平行四邊形，，則異面直線與所成的角為或其補角.在中，，，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成角的大小為.故選B.【點睛】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用定義法或空間向量法計算，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．∵(a－b)⊥c，∴(a－b)·[－(a＋b)]＝0.即|a|2－|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝1，∵a⊥b，∴a·b＝0，∴|c|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋b2＝1＋0＋1＝2.∴|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.14、【解析】

首先利用定積分表示封閉圖形的面積，然后計算定積分即可．【詳解】由曲線與直線及軸圍成的圖形的面積為即答案為.【點睛】本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積；關鍵是正確利用定積分表示所求面積．15、60【解析】分析：先從5人中選4人（組合），再給4個人分派3項任務，甲需2人，乙、丙各需由人。詳解：先從5人中選4人（組合），再給4個人分派3項任務，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一樣故要排列）。共有60種。點睛：分配問題，先分組（組合）后分派（排列）。16、【解析】

求出這三個邊正好是鈍角三角形的三個邊的等價條件，根據幾何概型的概率公式，即可得到結論【詳解】根據題意可得，三邊可以構成三角形的條件為：.這三個邊正好是鈍角三角形的三個邊，應滿足以下條件：，對應的區(qū)域如圖，由圓面積的為，直線和區(qū)域圍成的三角形面積是，則x、y、1能作為三角形的三條邊長，則它們能構成鈍角三角形三條邊長的概率．故答案為．【點睛】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長度型、角度型、面積型、體積型，求與長度有關的幾何概型問題關鍵是計算問題的總長度以及事件的長度；幾何概型問題還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導致錯誤；（2）基本事件對應的區(qū)域測度把握不準導致錯誤；（3）利用幾何概型的概率公式時,忽視驗證事件是否等可能性導致錯誤.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】分析：（1）利用階矩陣對應的變換的算法解出，再求（2）先計算矩陣的特征向量，再計算詳解：（1），則，，解得，，，，所以，所以；（2）矩陣的特征多項式為，令，解得，，從而求得對應的一個特征向量分別為，.令，求得，，所以.點睛：理解矩陣的計算規(guī)則和相互之間的轉換．18、（Ⅰ）f（x）的極小值是（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）對求導，并判斷其單調性即可得出極值。（Ⅱ）化簡成，轉化成判斷的最值?！驹斀狻拷猓海á瘢?，，，令，解得：，令，解得：，∴在遞減，在遞增，∴的極小值是；（Ⅱ）∵，由題意原不等式等價于在上恒成立，即，可得，設，則，令，得，（舍），當時，，當時，，∴當時，h（x）取得最大值，，∴，即a的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了函數極值的判斷以及函數最值的問題，在解決此類問題時通常需要求二次導數或者構造新的函數再次求導。本題屬于難題。19、(1)函數的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是.(2)的最小值為.(3)證明見解析.【解析】分析：函數的定義域為，（1）函數，據此可知函數的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是（2）由題意可知在上恒成立.據此討論可得的最小值為.（3）問題等價于.構造函數，則取最小值.設，則.由于，據此可知題中的結論成立.詳解：函數的定義域為，（1）函數，當且時，；當時，，所以函數的單調遞減區(qū)間是，單調遞增區(qū)間是（2）因在上為減函數，故在上恒成立.所以當時，，又，故當，即時，.所以，于是，故的最小值為.（3）問題等價于.令，則，當時，取最小值.設，則，知在上單調遞增，在上單調遞減.∴.∵，∴，∴故當時，.點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數形結合思想的應用．20、（Ⅰ）（Ⅱ）1【解析】

試題分析：（1）將轉化為普通方程，解方程組可得的坐標；（2）為圓，當有一個公共點時，可求得參數的值，聯立的普通方程，利用根與系數的關系可得的值．解：（Ⅰ）由曲線可得普通方程.由曲線可得直角坐標方程：.由得，（Ⅱ）曲線（為參數，）消去參數可得普通方程：，圓的圓心半徑為，曲線與有且只有一個公共點，，即，設聯立得4x1x2﹣4（x1+x2）+4＝2×（﹣1）2﹣4×（﹣1）﹣44＝1．.21、（1）；（2）.【解析】

（1）先求的最大值，然后通過不等式尋找的范圍．（2）由（1）知當時，,這樣可得，于是由且，得，可放大為，放縮的目的是為了和可求．因此的范圍可得．【詳解】（1），由定理可知，函數的單調遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.故，由題意可知，當，解得，故；當，由函數的單調性，可知在恒單調增，且恒大于零，故無解；綜上：；(2)當時，,,，且，，，，的最小值為.【點睛】本題考查用導數