巧用化歸思想解決中考復(fù)習(xí)疑難問(wèn)題 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選巧用化歸思想，解決中考復(fù)習(xí)疑難問(wèn)題——以中考復(fù)習(xí)課《利用軸對(duì)稱解幾何中的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題》為例摘要：本文通過(guò)中考復(fù)習(xí)課《利用軸對(duì)稱解幾何中的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題》為例，強(qiáng)調(diào)了化歸思想在解決此類問(wèn)題中的應(yīng)用，達(dá)到了化繁為簡(jiǎn)、舉一反三的作用。并結(jié)合新課標(biāo)提出的核心素養(yǎng)培養(yǎng)目標(biāo)進(jìn)行思考，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要高度重視對(duì)化歸思想的潛移默化，通過(guò)不斷的滲透和積累，讓學(xué)生日漸內(nèi)化為自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，最終形成解決問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí)。關(guān)鍵詞：化歸思想，幾何，動(dòng)點(diǎn)，最值，核心素養(yǎng)一、問(wèn)題的提出。我們?cè)诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，通常會(huì)將困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易的問(wèn)題、生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，這就是化歸思想，又稱轉(zhuǎn)化思想。它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中處理新問(wèn)題、獲得新知識(shí)的重要思想。其它許多重要的數(shù)學(xué)思維，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程與函數(shù)思想等都體現(xiàn)化歸的過(guò)程?？梢哉f(shuō)，化歸思想是數(shù)學(xué)思想的靈魂之一。對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，中考復(fù)習(xí)階段是形成化歸數(shù)學(xué)思想不可或缺的的重要環(huán)節(jié)，它是教師引導(dǎo)學(xué)生將零散的知識(shí)和片段性數(shù)學(xué)思維匯總形成整體的過(guò)程；是由量變到質(zhì)變的必經(jīng)歷程。鑒于此，筆者為提高中考復(fù)習(xí)的效率，復(fù)習(xí)教學(xué)中就非常注重化歸思想的應(yīng)用。本文試以中考復(fù)習(xí)課《利用軸對(duì)稱解幾何中的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題》中的教學(xué)片斷為例，管中窺豹，談?wù)勗鯓永没瘹w思想，將相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的幾種數(shù)學(xué)模型，以解決中考復(fù)習(xí)中的疑難問(wèn)題。二、復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)背景。以幾何背景的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，一般可以看成是運(yùn)動(dòng)變化的圖形在特殊位置時(shí)，與圖形有關(guān)的幾何量達(dá)到最大值或最小值。涉及相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)有：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱”，“三角形兩邊之和大于第三邊”、“線段的平移”等。12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選這類問(wèn)題相關(guān)的試題，內(nèi)容豐富，知識(shí)點(diǎn)多，涉及面廣，解法靈活多樣，而且往往具有一定的難度． 解題的關(guān)鍵是要結(jié)合題意，借助相關(guān)的概念、圖形的性質(zhì)，將最值問(wèn)題化歸為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型(線段公理、三角形三邊關(guān)系等)，然后再進(jìn)行分析與突破.如何在復(fù)雜條件變化中發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的路徑，核心問(wèn)題是通過(guò)例題和訓(xùn)練在題目中尋找不變的已知元素，從這些已知的不變?cè)?，運(yùn)用“兩點(diǎn)間線段最短”、“垂線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊”等知識(shí)源，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與解決。在問(wèn)題轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，軸對(duì)稱是最常用的手段之一。因此，筆者在中考復(fù)習(xí)中設(shè)計(jì)了《利用軸對(duì)稱解幾何中的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題》。希望通過(guò)教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)和探究，掌握解決此類問(wèn)題的一般方法；提高復(fù)習(xí)效率，同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的核心素養(yǎng)。三、復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)主要內(nèi)容：教師展示本課復(fù)習(xí)主題，拋出問(wèn)題；教師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)。強(qiáng)調(diào)幾種利用軸對(duì)稱性質(zhì)，求幾何中動(dòng)點(diǎn)最值的基本數(shù)學(xué)模型；并將模型進(jìn)行變式拓展，變成新的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考。1.模型一：兩定一動(dòng)+直線求最值 此模型又可分兩類：

（1）異側(cè)和：兩定點(diǎn)A、B位于直線l

的異側(cè)，在直線上找動(dòng)點(diǎn)P，使PA+PB的值

最小。（如圖1）

方法解讀：基本依據(jù)是“兩點(diǎn)之間線段最

短”，故P點(diǎn)與A、B共線時(shí)，PA+PB值最小。 （2）同側(cè)和：兩定點(diǎn)A、B位于直線l的同側(cè)，在直線上找動(dòng)點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。（如圖2）

方法解讀：同側(cè)轉(zhuǎn)異側(cè)?；疽罁?jù)還是“兩點(diǎn)之間線段最短”，但是要將同側(cè)和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)和問(wèn)題，化折為直，再解決問(wèn)題。提示：過(guò)點(diǎn)A作直線l垂線，找到點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'，這樣，l為AA'的22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選垂直平分線，PA=PA'，故P點(diǎn)與A'、B共線時(shí)，PA+PB值最小。 （3）問(wèn)題拓展：

如圖3：在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別為AD、DC邊上的點(diǎn)，且EF=2；點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PG的最小值為（）

D.5A.3B.4C.25 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：

①在RT△DEF中：

∵EF=2；G為EF中點(diǎn)；EF=2，

1

∴DG=EF=1

2

②G雖為動(dòng)點(diǎn)，但G的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律：是在以D為圓心，半徑為DG=1的圓上運(yùn)動(dòng)，我們稱之為“動(dòng)中有靜”。③我們根據(jù)前面的“同側(cè)和”模型，通過(guò)軸對(duì)稱將PA+PG轉(zhuǎn)化為PA'+PG。因此，要使PA+PG值最小，即PA'+PG最小，須滿足D、G、P共線。在RT△DAA'中，用勾股定理先求得PA+PD=5；再求得PA+PG=4，故選B。此題難度較大，要多次運(yùn)用化歸思想，方可化繁為簡(jiǎn)。2.模型二：一定點(diǎn)與兩條直線上的兩動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題 如圖4，動(dòng)點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，在OA上找一點(diǎn)C，在OB上找一點(diǎn)D，使得△PCD周長(zhǎng)最小。方法解讀：化折為直。 作輔助線，使OA為PP1的垂直平分線，使OB為PP2的垂直平分線.∴P1C=PC，P2D=PD，

PC+CD+PD=P1C+CD+P2D

∴當(dāng)P1、C、D、P2共線時(shí)，周長(zhǎng)最小。問(wèn)題拓展：32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選 如圖5，在RT△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8.D、E分別是AB和BC邊上的動(dòng)點(diǎn)。連接CD、DE，則CD+DE的最小值為（） 85A.8B.5 165C.5 32

D.5 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：

本題中，C為定點(diǎn)，D、E為動(dòng)點(diǎn)，如按上面模型，須作點(diǎn)C關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線AB、BC的對(duì)稱點(diǎn)。但由于C已在BC上，因此只能作出C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'?！郈D+DE=C'D+DE

應(yīng)滿足C'、D、E共線；

再根據(jù)“點(diǎn)到直線距離垂線段最短”，

過(guò)C'作C'E⊥BC于E點(diǎn)，

此時(shí)，C'E為最小值3.模型三：兩定點(diǎn)與兩條直線上的兩動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例題：如圖6，動(dòng)點(diǎn)P、Q是在∠AOB內(nèi)部的定點(diǎn)，在OA上找一點(diǎn)C，在OB上找一點(diǎn)D，使得四邊形PQDC周長(zhǎng)最小。方法解讀：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模型2即可求解。分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于射線OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P1、Q1。連接P1Q1，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D。此時(shí)點(diǎn)C、D即為所求周長(zhǎng)最小值的位置。 利用化折為直思想，PC+CD+DQ的最小值為線段P1Q1。而P、Q為定點(diǎn)，所以PQ長(zhǎng)度為定值。故四邊形PQDC周長(zhǎng)最小值為P1Q1+PQ的值 問(wèn)題拓展：

如圖7，∠AOB=30°，定點(diǎn)M、N分別在邊OA、上，且OM=1，ON=3；

動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在邊OB、OA上，則MP+PQ+QN42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選的最小值是： 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：

先找到定點(diǎn)M、N；

因?yàn)镻、Q在射線OA、OB上運(yùn)動(dòng)，所以作M關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)M1，N關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)N1。連接M1N1，交OA于Q點(diǎn)，交OB于P點(diǎn)。則折線MP+PQ+QN的值轉(zhuǎn)化為線段M1N1的值。在RT△OM1N1中，利用勾股定理求出M1N1的值為 10.課堂練習(xí)（略）。四、問(wèn)題的研討與幾點(diǎn)思考1.問(wèn)題的研討：線段和的最小值問(wèn)題是課本著名原題“泵站問(wèn)題”的變形與應(yīng)用（又名“將軍飲馬”問(wèn)題），即為同一平面內(nèi)線段和最短問(wèn)題，其基本圖形正如圖2所示。不管在什么背景圖中，有關(guān)線段之和的最短問(wèn)題，?；瘹w為線段公理“兩點(diǎn)之間線段最短”，而化歸的方法都是借助于“軸對(duì)稱點(diǎn)”。然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的原理，構(gòu)造直角三角形，并運(yùn)用勾股定理計(jì)算最小值來(lái)解決問(wèn)題。由于這類幾何中的動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題具有很強(qiáng)的探索性，解題時(shí)需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、模型思想、特殊與一般相結(jié)合和化歸思想、分類討論思想等等，要引導(dǎo)學(xué)生從變化中尋找不變的數(shù)學(xué)思想方法。解這類試題關(guān)鍵是要結(jié)合題意，借助相關(guān)的概念、圖形的性質(zhì)，將最值問(wèn)題化歸為相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析與突破。因此，巧用化歸思想，是解決此類問(wèn)題的通用方法，可以達(dá)到舉一反三、事半功倍的良好效果。2.幾點(diǎn)思考：（1）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）中提出的核心素養(yǎng)之一是“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”，并進(jìn)一步指出：“數(shù)學(xué)為人們提供一種理解與解釋現(xiàn)實(shí)世界的思考方式。能夠根據(jù)已知事實(shí)或原理，合乎邏輯地推出結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)的邏輯體系”。新課標(biāo)針對(duì)初中學(xué)段的目標(biāo)提出如下要求：“探索在不同的情境中，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)，從不同的角度尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法，能運(yùn)用幾何直觀、邏輯推理等方法解決問(wèn)題，形成模型觀念和數(shù)據(jù)觀念”。52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評(píng)選 教師在日常教學(xué)中要怎么順利達(dá)成以上目標(biāo)呢？我想，關(guān)鍵還是要教會(huì)學(xué)生思考和解決問(wèn)題的辦法，授之于漁。（2）關(guān)于創(chuàng)新意識(shí)。課程標(biāo)準(zhǔn)要求：“初步學(xué)會(huì)通過(guò)具體的實(shí)例，運(yùn)用歸納和類比，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)系與規(guī)律，提出數(shù)學(xué)命題猜想并加以驗(yàn)證。勇于探索一些開(kāi)放性的、非常規(guī)的實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題”。也就是說(shuō)，新課標(biāo)提倡學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題要挖掘的深一些，不能僅僅停留在較淺的層次。鑒于此，我們?cè)谌粘＝虒W(xué)，尤其在中考復(fù)習(xí)中，要引導(dǎo)學(xué)生挖掘知識(shí)。（3）現(xiàn)在使用的教材中蘊(yùn)含著很多存在化歸思想的知識(shí)點(diǎn)。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要高度重視對(duì)化歸思想的潛移默化，通過(guò)不斷的滲透和積累，讓學(xué)生日漸內(nèi)化為自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，最終形成解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的自覺(jué)意識(shí)。綜上所述，化歸思想是學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的核心思想之一，它幾乎無(wú)處不在。掌握和靈活運(yùn)用化歸思想與方法，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一種重要途徑。本