第三章材料力學扭轉(zhuǎn)

第三章材料力學扭轉(zhuǎn)第1頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三§3–1概述§3–2傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖§3–3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)§3–4等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應力·強度分析§3–5等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件§3–6等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問題§3–7等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應變能§3–8非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時的應力和變形§3–9開口和閉合薄壁截面在自由扭轉(zhuǎn)時的應力第三章扭轉(zhuǎn)作業(yè)第2頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)§3–1概述軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmmOBA第3頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)角（）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。剪應變（）：直角的改變量。mmOBA第4頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)工程實例第5頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)§3–2傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖一、傳動軸的外力偶矩

傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關系：其中：P—功率，千瓦（kW）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P—功率，馬力（HP）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）1PS=735.5N·m/s,1HP=745.7N·m/s,1kW=1.36PS第6頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三3扭矩的符號規(guī)定：“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。扭轉(zhuǎn)二、扭矩及扭矩圖1扭矩：構件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。

2截面法求扭矩mmmTx第7頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)4扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT第8頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)[例1]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計算外力偶矩第9頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設）第10頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)③繪制扭矩圖BC段為危險截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37––第11頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)§3–3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實驗：1.實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。第12頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)2.實驗后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。第13頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)acddxbdy′′①無正應力②橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應力，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4.與的關系：微小矩形單元體如圖所示：第14頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)二、薄壁圓筒剪應力大小：

A0：平均半徑所作圓的面積。第15頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)三、剪應力互等定理：

上式稱為剪應力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxbdy′′tz第16頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)四、剪切虎克定律：

單元體的四個側(cè)面上只有剪應力而無正應力作用，這種應力狀態(tài)稱為純剪切應力狀態(tài)。第17頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)T=m剪切虎克定律：當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應力與剪應變成正比關系。第18頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三五、剪切變形能由純剪切單元體：扭轉(zhuǎn)第19頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因無量綱，故G的量綱與相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關系（推導詳見后面章節(jié)）：可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。第20頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三五、剪切變形能由純剪切單元體，有第21頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)§3–4等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應力·強度條件等直圓桿橫截面應力①變形幾何方面②物理關系方面③靜力學方面1.橫截面變形后仍為平面；2.軸向無伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：第22頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三第23頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力：1.變形幾何關系：距圓心為任一點處的與到圓心的距離成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。第24頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)Ttmaxtmax2.物理關系：虎克定律：代入上式得：第25頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)3.靜力學關系：TOdA令代入物理關系式得：第26頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)—橫截面上距圓心為處任一點剪應力計算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點到圓心的距離。

Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。第27頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)單位：mm4，m4。③盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對于實心圓截面：DdO第28頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)對于空心圓截面：dDOd第29頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)④應力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，結構輕便，應用廣泛。第30頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)⑤確定最大剪應力：由知：當Wt—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：對于空心圓截面：第31頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應力。第32頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)1.點M的應力單元體如圖(b)：(a)M(b)tt′tt′(c)2.斜截面上的應力；取分離體如圖(d)：(d)t′ttasax第33頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)(d)t′ttasaxnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“–”由平衡方程：解得：第34頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)分析：當=0°時，當=45°時，當=–45°時，當=90°時，tt′smaxsmin45°由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的剪應力為最大值；在方向角=45的斜截面上作用有最大壓應力和最大拉應力。根據(jù)這一結論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。第35頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：對于等截面圓軸：([]

稱為許用剪應力。)強度計算三方面：①校核強度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：第36頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)[例2]功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，

許用剪應力[]=30MPa,試校核其強度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計算并校核剪應力強度③此軸滿足強度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx第37頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)§3–5等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度條件一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式知：長為

l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為第38頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)二、單位扭轉(zhuǎn)角：或三、剛度條件或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。[]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。第39頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)剛度計算的三方面：①校核剛度：②設計截面尺寸：③計算許可載荷：有時，還可依據(jù)此條件進行選材。第40頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)[例3]長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa，許用剪應力[]=30MPa，試設計桿的外徑；若[]=2o/m，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：①設計桿的外徑第41頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)40NmxT代入數(shù)值得：D0.0226m。②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度第42頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)40NmxT③右端面轉(zhuǎn)角為：第43頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三[例4]某傳動軸設計要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率N1=500馬力，輸出功率分別N2=200馬力及N3=300馬力，已知：G=80GPa，[]=70MPa，[]=1o/m，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2？②若全軸選同一直徑，應為多少？③主動輪與從動輪如何安排合理？扭轉(zhuǎn)解：①圖示狀態(tài)下,扭矩如圖，由強度條件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)第44頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)第45頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)

綜上：②全軸選同一直徑時第46頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)

③軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應

該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑才

為75mm。Tx–4.21(kNm)2.814第47頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)§3–6等直圓桿的扭轉(zhuǎn)超靜定問題解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；補充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。①②③④⑤第48頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)[例5]長為L=2m的圓桿受均布力偶m=20Nm/m的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，外徑D=0.0226m，G=80GPa，試求固端反力偶。解：①桿的受力圖如圖示，

這是一次超靜定問題。

平衡方程為：第49頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)②幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程③綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：④由平衡方程和補充方程得：另:此題可由對稱性直接求得結果。第50頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)§3–7等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應變能一、應變能與能密度acddxbdy′′dzzxy單元體微功：應變比能：第51頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)二、圓柱形密圈螺旋彈簧的計算1.應力的計算=+tQtTQT近似值：QTP第52頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)2.彈簧絲的強度條件:精確值：（修正公式，考慮彈簧曲率及剪力的影響）其中：稱為彈簧指數(shù)。稱為曲度系數(shù)。第53頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)3.位移的計算(能量法）外力功：變形能：第54頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)[例6]圓柱形密圈螺旋彈簧的平均直徑為：D=125mm，簧絲直徑為：d=18mm，受拉力P=500N的作用，試求最大剪應力的近似值和精確值；若G=82GPa，欲使彈簧變形等于6mm，問：彈簧至少應有幾圈？解：①最大剪應力的近似值：第55頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)②最大剪應力的精確值：③彈簧圈數(shù)：（圈）第56頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)§3–8非圓截面等直桿在自由扭轉(zhuǎn)時的應力和變形非圓截面等直桿：平面假設不成立。即各截面發(fā)生翹曲不保持平面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應力、變形公式不適用，須由彈性力學方法求解。第57頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)一、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。二、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面的翹曲程度不同。三、矩形桿橫截面上的剪應力:

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max注意！b1.剪應力分布如圖：（角點、形心、長短邊中點）第58頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)2.最大剪應力及單位扭轉(zhuǎn)角h3bht1T

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max注意！b其中：其中：It—相當極慣性矩。第59頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)注意！對于Wt

和It，多數(shù)教材與手冊上有如下定義：查表求和時一定要注意，表中和與那套公式對應。h3bht1T

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max注意！b第60頁，共69頁，2023年，2月20日，星期三扭轉(zhuǎn)[例8]一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h=100mm，