第三章線性系統(tǒng)時(shí)域分析用

第三章線性系統(tǒng)時(shí)域分析用第1頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三時(shí)域分析法是根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，以拉普拉斯變換作為數(shù)學(xué)工具，直接解出控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)。然后，依據(jù)響應(yīng)的表達(dá)式及其描述曲線來分析系統(tǒng)的控制性能，如穩(wěn)定性、快速性、穩(wěn)態(tài)精度等，并找出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)與這些性能之間的關(guān)系。

時(shí)域分析法是一種直接分析法，還是一種比較準(zhǔn)確的方法，可以提供系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的全部信息。第2頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3.1典型輸入信號(hào)及性能指標(biāo)

一個(gè)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，而且還同系統(tǒng)的初始狀態(tài)以及加在系統(tǒng)上的外作用信號(hào)有關(guān)。為了分析和比較控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，通常對(duì)初始狀態(tài)和外作用信號(hào)做一些典型化處理。初始狀態(tài)：零狀態(tài)外作用：第3頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三一、典型輸入信號(hào)1．階躍函數(shù)其表達(dá)式為當(dāng)a=1時(shí)，稱為單位階躍函數(shù)，記作1(t)，則有

單位階躍函數(shù)的拉氏變換為

第4頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三2．速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）

其表達(dá)式為

當(dāng)a=1時(shí)，r(t)=t，稱為單位速度函數(shù)，其拉氏變換為

第5頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3．加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)）

其表達(dá)式為

當(dāng)a=1/2時(shí)，稱為單位加速度函數(shù)，其拉氏變換為

第6頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三4．脈沖函數(shù)

其表達(dá)式為

單位脈沖函數(shù)δ(t)，其數(shù)學(xué)描述為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為

第7頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三5．正弦函數(shù)

其表達(dá)式為

其拉氏變換為

第8頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三二、階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)

分析時(shí)假定控制系統(tǒng)是單位反饋的、初始條件為零、給定輸入為單位階躍函數(shù)。

控制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，從時(shí)間順序上，可以劃分為過渡過程和穩(wěn)態(tài)過程。過渡過程是指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到接近最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)態(tài)過程是指時(shí)間趨于無窮時(shí)系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。第9頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三第10頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三0.5td①延遲時(shí)間td0.10.9tr②上升時(shí)間tr③峰值時(shí)間tptp④超調(diào)量%%⑤調(diào)節(jié)時(shí)間ts誤差帶ts⑥振蕩次數(shù)N⑦穩(wěn)態(tài)誤差ess控制系統(tǒng)的典型單位階躍響應(yīng)ess=1-h()第11頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三延遲時(shí)間上升時(shí)間峰值時(shí)間調(diào)節(jié)時(shí)間快速性超調(diào)量

振蕩次數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差平穩(wěn)性最終(穩(wěn)態(tài))精度第12頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3.2一階系統(tǒng)分析

由一階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)。

一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

一階系統(tǒng)的微分方程為

其閉環(huán)傳遞函數(shù)為

慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)

第13頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三二、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

單位階躍輸入的拉氏變換為

取C(s)的拉氏變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

第14頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三則

或?qū)懗?/p>

一階系統(tǒng)中的單位階躍響應(yīng)曲線是一條由零開始，按指數(shù)規(guī)律上升并最終趨于1的曲線。響應(yīng)曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應(yīng)。

css=1代表穩(wěn)態(tài)分量

代表動(dòng)態(tài)分量

第15頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三一階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)①?zèng)]有超調(diào)量；②調(diào)節(jié)時(shí)間

ts=3T(5%)

ts=4T(2%)③沒有穩(wěn)態(tài)誤差，即初第16頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例

一階系統(tǒng)如圖所示,試求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts。如果要求ts＝0.1s，試問系統(tǒng)的反饋系數(shù)應(yīng)調(diào)整為何值？解：(1)由結(jié)構(gòu)圖寫出閉環(huán)傳遞函數(shù)第17頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三從(s)的分母多項(xiàng)式看出時(shí)間常數(shù)T=0.1s，故調(diào)節(jié)時(shí)間(2)計(jì)算ts＝0.1s的反饋系數(shù)值設(shè)反饋系數(shù)為Kh，則系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)故第18頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三要求ts=0.1s，代入上式得所以調(diào)節(jié)時(shí)間第19頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三練習(xí)：根據(jù)定義，求一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：

td=?

tr=?第20頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3.3二階系統(tǒng)分析

由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。

一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

位置隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖

第21頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三前向通道的傳遞函數(shù)

折算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和粘性摩擦系數(shù)第22頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三則

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

La很小，La≈0，同時(shí)令與第23頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的特征方程

F稱為實(shí)際阻尼系數(shù)。

當(dāng)

時(shí)，特征方程有一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。

令Fc為臨界阻尼系數(shù)，則

第24頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三閉環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母同除以J

引入兩個(gè)新的參量

n稱為無阻尼自然頻率或固有頻率稱為阻尼比第25頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三閉環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下一般形式

其閉環(huán)特征方程為

方程的特征根為

第26頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三阻尼比的取值不同，二階系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點(diǎn))在s平面上的分布：欠阻尼狀態(tài)臨界阻尼狀態(tài)第27頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三

過阻尼狀態(tài)零阻尼狀態(tài)負(fù)阻尼狀態(tài)第28頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

1.過阻尼>1的情況

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根。

式中

第29頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三于是閉環(huán)傳遞函數(shù)為

因此，過阻尼二階系統(tǒng)可以看成兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。

第30頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)

系統(tǒng)的輸出

取C(s)的拉氏反變換，得到單位階躍響應(yīng)

穩(wěn)態(tài)分量為1，動(dòng)態(tài)分量為兩項(xiàng)指數(shù)項(xiàng)。第31頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線第32頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三過阻尼二階系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間特性取相對(duì)變量ts/T1及T1/T2經(jīng)計(jì)算機(jī)解算后制成曲線。當(dāng)T1=T2(=1的臨界阻尼情況):調(diào)節(jié)時(shí)間ts=4.75T1；當(dāng)T1=4T2(=1.25)時(shí):ts≈3.3T1；當(dāng)T1>4T2(>1.25)時(shí):

ts≈3T1。第33頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三2.臨界阻尼=1的情況

系統(tǒng)具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根s1,2=-n。

所以

取C(s)的拉氏反變換，得臨界阻尼下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

第34頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3.欠阻尼0<<1的情況

欠阻尼二階系統(tǒng)具有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，時(shí)間響應(yīng)呈衰減振蕩特性，故又稱為振蕩環(huán)節(jié)。

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為

特征根為一對(duì)共軛復(fù)根衰減系數(shù)d阻尼振蕩頻率第35頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍作用時(shí)

取C(s)的拉氏變換，得欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

第36頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三或者寫成

式中

或

系統(tǒng)的響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和動(dòng)態(tài)分量兩部分組成，穩(wěn)態(tài)分量的值等于1，動(dòng)態(tài)分量是一個(gè)隨時(shí)間t的增長而衰減的振蕩過程。

第37頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

第38頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三采用無因次時(shí)間nt作為橫坐標(biāo)，則時(shí)間響應(yīng)就僅僅是阻尼比的函數(shù)。阻尼正弦振蕩的滯后角為

第39頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三=0.707時(shí)的單位階躍響應(yīng)曲線

第40頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線

第41頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三平穩(wěn)性：阻尼比越大，超調(diào)量越小，響應(yīng)的振蕩傾向越弱，平穩(wěn)性越好。反之，阻尼比越小，振蕩越強(qiáng)，平穩(wěn)性越差。

當(dāng)=0時(shí)，零阻尼響應(yīng)為

響應(yīng)為具有頻率為n的不衰減(等幅)振蕩。

第42頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三由于

所以,在一定的阻尼比下，n越大，振蕩頻率d也越高，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性越差。

結(jié)論：要使系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的平穩(wěn)性好，就要求阻尼比大，自然頻率n小。

阻尼比和超調(diào)量σ%的關(guān)系曲線

第43頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三快速性：過大，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，調(diào)節(jié)時(shí)間ts長，快速性差；過小，雖然響應(yīng)的起始速度較快，但因?yàn)檎袷帍?qiáng)烈，衰減緩慢，所以調(diào)節(jié)時(shí)間ts也長，快速性差。對(duì)于一定的阻尼比，所對(duì)應(yīng)的無因次時(shí)間的響應(yīng)是一定的。因此，當(dāng)一定時(shí)，n越大，調(diào)節(jié)時(shí)間ts也就越短，即快速性越好。第44頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三穩(wěn)態(tài)精度：瞬態(tài)分量隨時(shí)間t的增長衰減到零，而穩(wěn)態(tài)分量等于1。因此，欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)不存在穩(wěn)態(tài)誤差。第45頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三三、欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo)

1.上升時(shí)間tr：單位階躍響應(yīng)曲線第一次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間就是上升時(shí)間。

因?yàn)榈?6頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三所以所以即第47頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三2.峰值時(shí)間tp：響應(yīng)曲線達(dá)到第一峰值所需的時(shí)間。

對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)并令其為零，可得到峰值時(shí)間。則第48頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三到達(dá)第一個(gè)峰值時(shí)應(yīng)滿足

所以峰值時(shí)間等于阻尼振蕩周期的一半。

第49頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3.超調(diào)量σ%超調(diào)量的定義

將峰值時(shí)間表達(dá)式代入單位階躍響應(yīng)表達(dá)式，得到輸出量的最大值第50頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三所以

超調(diào)量只是阻尼比的函數(shù)。

第51頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三阻尼比和超調(diào)量σ%的關(guān)系曲線

第52頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三4.調(diào)節(jié)時(shí)間ts

無因次調(diào)節(jié)時(shí)間nts與阻尼比之間的關(guān)系曲線:如n一定，則ts先隨的增大而減小,達(dá)到最小值之后，隨的增大而又增大。無因次調(diào)節(jié)時(shí)間nts與阻尼比的關(guān)系曲線

第53頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三曲線的不連續(xù)性解釋：n一定，不同第54頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三第55頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三第56頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三=0.707時(shí)的單位階躍響應(yīng)曲線

由圖看出：實(shí)際響應(yīng)的收斂速度總是比包絡(luò)線要快。

第57頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)調(diào)節(jié)時(shí)間的定義，調(diào)節(jié)時(shí)間滿足下列不等式即而h(t)的穩(wěn)態(tài)值h()=1因此而第58頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三將條件改為解得若取=5%得若取=2%得第59頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)阻尼比<0.8時(shí)，近似取為設(shè)計(jì)二階系統(tǒng)時(shí)，一般?。?.707作為最佳阻尼比。

第60頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三5.振蕩次數(shù)N

振蕩次數(shù)N是在0≤t≤ts時(shí)間間隔內(nèi)，系統(tǒng)的單位階躍曲線h(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值直線h()的次數(shù)之半,即

若取2％誤差帶,,則第61頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三若取5％誤差帶,,則若已知％，因?yàn)?/p>

即則振蕩次數(shù)

第62頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三振蕩次數(shù)N與的關(guān)系

第63頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例設(shè)位置隨動(dòng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

當(dāng)給定位置為單位階躍時(shí)，試計(jì)算放大器增益KA=200時(shí)，輸出位置響應(yīng)特性的性能指標(biāo)：峰值時(shí)間tp、調(diào)節(jié)時(shí)間ts和超調(diào)量％。如果將放大器增益增大到KA=1500或減小到KA=13.5，那么對(duì)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能有何影響？

第64頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三解：由于系統(tǒng)是單位負(fù)反饋，所以閉環(huán)傳遞函數(shù)將KA=200代入上式

對(duì)照標(biāo)準(zhǔn)形式

得到第65頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三故峰值時(shí)間

調(diào)節(jié)時(shí)間

超調(diào)量如果KA增大到KA=1500，同樣可計(jì)算出

則

第66頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)KA減小到13.5時(shí)，可以算出

系統(tǒng)成為過阻尼二階系統(tǒng)，峰值和超調(diào)量不復(fù)存在，而調(diào)節(jié)時(shí)間ts等效為大時(shí)間常數(shù)T1的一階系統(tǒng)來計(jì)算，得到的值為第67頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三不同KA時(shí)的階躍響應(yīng)曲線

第68頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三四、二階系統(tǒng)響應(yīng)性能的改善措施

1．比例－微分控制

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為第69頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中

稱為等效阻尼比。Tds的設(shè)置等效于加大了阻尼比，從而使超調(diào)減弱，改善了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。

第70頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三2．測速反饋控制

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

第71頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

式中稱為等效阻尼比。

第72頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3.4高階系統(tǒng)分析

用高階微分方程描述的系統(tǒng)稱為高階系統(tǒng)。一、二階系統(tǒng)極點(diǎn)分布第73頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3.5穩(wěn)定性及代數(shù)判據(jù)

一、穩(wěn)定性的概念

擺的平衡

小球的穩(wěn)定域第74頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三二、穩(wěn)定性的定義和數(shù)學(xué)條件

如果控制系統(tǒng)在初始條件影響下，其響應(yīng)過程隨時(shí)間的推移而逐漸衰減并趨于零，則稱這樣的系統(tǒng)具有漸進(jìn)穩(wěn)定性，簡稱為具有穩(wěn)定性。在初始條件影響下，若控制系統(tǒng)的響應(yīng)過程隨時(shí)間推移而發(fā)散，則稱這樣的系統(tǒng)具有不穩(wěn)定性。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與初始條件及外作用無關(guān)。第75頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)系統(tǒng)的線性化增量微分方程為

對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換得

或簡寫成

第76頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三式中

是系統(tǒng)的閉環(huán)特征式，也稱輸出端算子式。

稱為輸入端算子式。

R(s)為輸入信號(hào)；C(s)為輸出信號(hào)。

M0(s)是與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)的多項(xiàng)式。第77頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三輸出C(s)可寫成

假定特征方程D(s)=0具有n個(gè)互異特征根si(i=1,2,···,n),則假定R(s)具有l(wèi)個(gè)互異極點(diǎn)srj(j=1,2,···,l)，則

第78頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三輸出可以展成如下部分分式

式中Ai0、Bj、Ci均為待定系數(shù)。

進(jìn)行拉氏反變換，得

式中第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量；第一、三項(xiàng)為動(dòng)態(tài)分量。

第79頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三因此系統(tǒng)要穩(wěn)定，只需式中的動(dòng)態(tài)分量隨時(shí)間的推移漸近為零即可。故穩(wěn)定性定義為

或?qū)懗?/p>

式中Ai=Ai0+Ci為任意常值。

第80頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三所以應(yīng)有

故系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于特征根si的性質(zhì)。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)特征方程的所有根都具有負(fù)實(shí)部，或者說都位于s平面的虛軸之左。

第81頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三三、代數(shù)判據(jù)

1.赫爾維茨(Hurwitz)穩(wěn)定性判據(jù)

系統(tǒng)特征方程的一般形式為

式中首項(xiàng)系數(shù)a0>0。

系統(tǒng)穩(wěn)定的充要必要條件：特征方程的赫爾維茨行列式Dk(k=1，2，3，…，n)全部為正。

第82頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三各階赫爾維茨行列式為

······式中腳注大于n的系數(shù)或負(fù)腳注系數(shù)，均以零代之。

第83頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例系統(tǒng)的特征方程為試用赫爾維茨判據(jù)，判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：

由特征方程知各項(xiàng)系數(shù)為

穩(wěn)定的充分必要條件

由于D2<0，因此不滿足赫爾維茨行列式全部為正的條件，系統(tǒng)屬不穩(wěn)定。第84頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三2．林納得-奇帕特(Lienard-Chipard)判據(jù)

此判據(jù)實(shí)質(zhì)上是赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)的推廣，它可以減少計(jì)算行列式的工作量。

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為

(2)奇數(shù)階或偶數(shù)階的赫爾維茨行列式大于零，即D奇>0或D偶>0。(1)系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)大于零，即ai>0(i=0，1，2，3，…，n)。說明：(1)是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件；如果滿足ai>0，則根據(jù)(2)繼續(xù)計(jì)算。第85頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例系統(tǒng)特征方程為利用林納得-奇帕特判據(jù)，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解：

穩(wěn)定的充分必要條件為

(1)ai>0即a0>0，a1>0，a2>0，a3>0；

(2)事實(shí)上第86頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

試求增益K的穩(wěn)定域。

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

解：

特征方程各項(xiàng)系數(shù)為

第87頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三穩(wěn)定的充分必要條件

(1)ai>0，則要求K>0；

(2)D2>0即

得

K<14所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，增益的穩(wěn)定域?yàn)?/p>

0<K<14第88頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3．勞思(Routh)判據(jù)

若系統(tǒng)的特征方程為

系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：勞思表中第一列所有元素的計(jì)算值均大于零，如果第一列出現(xiàn)小于零的元素，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。并且第一列中數(shù)值符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。第89頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三

第90頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三由勞思表可以看出，勞思判據(jù)和赫爾維茨判據(jù)實(shí)質(zhì)上是相同的，勞思表中第一列各數(shù)值和赫爾維茨行列式之間，存在如下關(guān)系：第91頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例已知系統(tǒng)的特征方程為試用勞思判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定正實(shí)部根的數(shù)目。解：根據(jù)特征方程的系數(shù)列出勞思表：①第一列元素不同號(hào)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。②第一列中數(shù)值符號(hào)改變兩次，所以有兩個(gè)正實(shí)部的根。第92頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三4．勞思穩(wěn)定判據(jù)的特殊情況

(1)勞思表中某行的第一列項(xiàng)為零，而其他各項(xiàng)不為零，或不全為零。

計(jì)算勞思表下一行的第一元素時(shí)，將出現(xiàn)無窮大，使勞思判據(jù)失效。

解決辦法：用很小的正數(shù)代替零元素，計(jì)算勞思表的其他元素，然后通過令0來研究勞思表的第一列元素符號(hào)。

第93頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例如特征方程為列寫勞思表：

①用正數(shù)代替第三行第一列的0元素，繼續(xù)計(jì)算勞思表。②令0研究勞思表的第一列元素符號(hào)。③第一列元素符號(hào):＋－＋改變兩次，系統(tǒng)不穩(wěn)定

。第94頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三(2)勞思表中某行全為零

這種情況表明特征方程中存在一些絕對(duì)值相同但符號(hào)相異的特征根。

解決辦法：用全零行上面一行的系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助方程F(s)=0，并對(duì)其求導(dǎo)，用所得方程的系數(shù)代替全零行的元素，按勞思穩(wěn)定判據(jù)的要求繼續(xù)計(jì)算，直到得出全部勞思表。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同但符號(hào)相反的根數(shù)。所有這些數(shù)值相同、符號(hào)相反的根，均可由輔助方程求出。第95頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三已知一系統(tǒng)的特征方程為

列寫勞思表：

①s1行全為零。由s2行系數(shù)構(gòu)造輔助方程F(s)=21s2+63=0求導(dǎo)得用方程代替原來表中的零行，再繼續(xù)計(jì)算。

②勞思表第一列有兩次符號(hào)變化，因此有兩個(gè)實(shí)部為正的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第96頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三勞思判據(jù)和赫爾維茲主要用于判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定，以及確定系統(tǒng)參數(shù)的允許范圍，但不能給出系統(tǒng)穩(wěn)定的程度，即不能表明特征根距虛軸的遠(yuǎn)近。為了保證系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕度，且具有良好的動(dòng)態(tài)性能，希望特征根在s左半平面且與虛軸有一定的距離，通常稱之為穩(wěn)定度。用新的變量s1=s+a代入原系統(tǒng)的特征方程，即將s平面的虛軸左移一個(gè)常值a，此a值就是要求的特征根與虛軸的距離(即穩(wěn)定度)。第97頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

要求系統(tǒng)的特征根全部位于垂線s=-1的左側(cè)，即穩(wěn)定度a=1，試問增益K的允許范圍？

解：取s1=s+1代入原特征方程得整理上式，得第98頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三由穩(wěn)定的充分必要條件①ai>0，則40K-27>0，得

K>0.675②

D2=a1a2-a0a3，則1115-(40K-27)>0,得

K<4.8所以滿足要求的K值范圍為0.675<K<4.8顯然，比系統(tǒng)原來的穩(wěn)定域0<K<14要小。第99頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三四、結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定及其改進(jìn)措施

僅僅調(diào)整參數(shù)無法穩(wěn)定的系統(tǒng)，稱為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。

液位控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

第100頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三由結(jié)構(gòu)圖可寫出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

令

則

展開后

要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須改變?cè)到y(tǒng)的結(jié)構(gòu)。第101頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三消除結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的措施有兩種：一是改變積分性質(zhì)，另一是引入比例-微分控制，補(bǔ)上特征方程中的缺項(xiàng)。(1)改變積分性質(zhì)

用反饋KH包圍積分環(huán)節(jié)，破壞其積分性質(zhì)。

積分環(huán)節(jié)被KH包圍后的傳遞函數(shù)

第102頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三用反饋KH包圍電動(dòng)機(jī)的傳遞函數(shù)

電動(dòng)機(jī)被包圍后的傳遞函數(shù)第103頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三(2)引入比例-微分控制

其閉環(huán)傳遞函數(shù)是

第104頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三閉環(huán)特征方程

其各項(xiàng)系數(shù)為

穩(wěn)定的充分必要條件：

(1)(2)得

第105頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3.6穩(wěn)態(tài)精度分析

一、誤差與穩(wěn)態(tài)誤差的定義

系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為希望值與實(shí)際值之差。

e(t)=希望值-實(shí)際值

第106頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三誤差的定義有兩種：

e(t)=r(t)-

c(t)希望值實(shí)際值①②e(t)=r(t)-

b(t)希望值實(shí)際值當(dāng)反饋通道H(s)=1,則形式上兩種定義統(tǒng)一為

e(t)=r(t)-

c(t)系統(tǒng)的誤差響應(yīng)

第107頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三穩(wěn)態(tài)誤差的定義：穩(wěn)定系統(tǒng)誤差的終值稱為穩(wěn)態(tài)誤差。

二、穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算

若e(t)的拉氏變換為E(s),且，存在，則有應(yīng)用條件：sE(s)在s右半平面及虛軸上解析，或者說，sE(s)的極點(diǎn)均位于s左半平面。第108頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三利用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差ess歸結(jié)為求誤差e(t)的拉氏變換E(s)。

求出在輸入信號(hào)和干擾同時(shí)作用下誤差的拉氏變換式E(s)，就可以求得系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差ess。

第109頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)第二種定義

式中B(s)為反饋量，其表達(dá)式為

BR(s)為反饋量B(s)對(duì)輸入R(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；

BN(s)為反饋量B(s)對(duì)干擾N(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。第110頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三所以由結(jié)構(gòu)圖求得系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的誤差傳遞函數(shù)

第111頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三系統(tǒng)對(duì)干擾的誤差傳遞函數(shù)

可將E(s)寫成

ER(s)為輸入信號(hào)引起的誤差象函數(shù)；

EN(s)為干擾引起的誤差象函數(shù)。

第112頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=t時(shí)，求系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差ess。

解：穩(wěn)定的系統(tǒng),計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差才有意義。

第一步，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。

系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程

第113頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三由穩(wěn)定性判據(jù)

(1)各項(xiàng)系數(shù)大于零，則K>0，K>-2。

(2)由得

K<6所以穩(wěn)定性條件為 0<K<6第二步，求E(s)。

當(dāng)干擾n(t)=0時(shí)有

第114頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三所以

輸入信號(hào)r(t)=t，所以

則

第115頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三第三步，用終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差ess。

假設(shè)系統(tǒng)滿足穩(wěn)定條件，即0<K<6則

沒有s右半平面及虛軸上的極點(diǎn)，所以滿足終值定理應(yīng)用條件，穩(wěn)態(tài)誤差為

第116頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示。當(dāng)輸入信號(hào)r(t)=1(t)，干擾n(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)總的誤差ess。

解：第一步，判別穩(wěn)定性。

由于是一階系統(tǒng)，所以只要參數(shù)K1、K2大于零，系統(tǒng)就穩(wěn)定。

第117頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三輸入信號(hào)r(t)=1(t)

，干擾n(t)=1(t)，所以

則

第二步，求E(s)。

第118頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三第三步，應(yīng)用終值定理計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差ess。

穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，而且與外作用有關(guān)，同時(shí)也與干擾作用點(diǎn)的位置有關(guān)。

第119頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三三、輸入信號(hào)r(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系

當(dāng)只有輸入作用時(shí)，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

第120頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三將G(s)H(s)寫成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)形式

式中K為開環(huán)增益；為積分環(huán)節(jié)數(shù)目。

因?yàn)镹(s)=0，所以

第121頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三則

由于G(s)H(s)當(dāng)s趨于零時(shí)的極限為K/s

，所以

上式表明：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess除了與外作用R(s)有關(guān)外，還與系統(tǒng)的開環(huán)增益K和積分環(huán)節(jié)數(shù)目有關(guān)。

第122頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三下面分別討論不同輸入信號(hào)r(t)作用下，穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系。1．當(dāng)輸入信號(hào)為階躍作用r(t)=r0·1(t)時(shí)，（r0為表示階躍量大小的常數(shù)），則穩(wěn)態(tài)誤差

第123頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三下面討論積分環(huán)節(jié)數(shù)目對(duì)階躍輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響：

結(jié)論：在階躍輸入下，系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差的條件是≥1，即在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中至少有一個(gè)積分環(huán)節(jié)。

第124頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三2．當(dāng)輸入信號(hào)為斜坡作用r(t)=0t·1(t)時(shí)，（

0表示輸入信號(hào)的速度），則

穩(wěn)態(tài)誤差第125頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三討論積分環(huán)節(jié)數(shù)目對(duì)斜坡輸入下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響：

結(jié)論：在斜坡輸入下，系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差的條件是≥2，即在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中至少有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)。第126頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三3.當(dāng)輸入信號(hào)為等加速度作用r(t)=a0t2/2·1(t)時(shí)，(a

0為加速度)，則

穩(wěn)態(tài)誤差第127頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三討論積分環(huán)節(jié)數(shù)目對(duì)等加速度輸入下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響：

結(jié)論：在等加速度輸入下，系統(tǒng)消除穩(wěn)態(tài)誤差的條件是≥3，即在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中至少有三個(gè)積分環(huán)節(jié)。第128頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三四、系統(tǒng)的型別和靜態(tài)誤差系數(shù)

1．系統(tǒng)的型別

按系統(tǒng)含有的積分環(huán)節(jié)數(shù)目可將系統(tǒng)分為不同的型別:通常，稱=0的系統(tǒng)為0型系統(tǒng)。稱=1的系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng)。稱=2的系統(tǒng)為Ⅱ型系統(tǒng)。以此類推。

系統(tǒng)的型別越高，跟蹤典型輸入信號(hào)的無差能力越強(qiáng)。第129頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三2．靜態(tài)誤差系數(shù)

(1)靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

Kp表示系統(tǒng)在階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)精度，定義為

對(duì)于0型系統(tǒng)，=0，則Kp=K。

在階躍輸入下

對(duì)于Ⅰ型以上系統(tǒng)，=1，則Kp=∞，則

第130頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三(2)靜態(tài)速度誤差系數(shù)K

K表示系統(tǒng)在斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)精度，定義為

對(duì)于0型系統(tǒng)，=0，則K

=0，此時(shí)

對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)，=1，

K

=K，則

第131頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于Ⅱ型以上系統(tǒng)，≥2，則

故

靜態(tài)速度誤差系數(shù)K的大小，反映了系統(tǒng)跟蹤斜坡輸入信號(hào)的能力。K越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，精度越高。

第132頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三(3)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka

Ka表示系統(tǒng)在等加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)精度，定義為

對(duì)于0型或Ⅰ型系統(tǒng)，≤1，故

第133頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)，=2,得，Ka=K,則

對(duì)于Ⅲ型以上系統(tǒng)，≥3，得

Ka的大小反映了系統(tǒng)跟蹤等加速度輸入信號(hào)的能力。Ka越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，精度越高。

第134頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)型別

靜態(tài)誤差系數(shù)

階躍輸入

斜坡輸入

加速度輸入

KpKKa第135頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三例

系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。已知輸入信號(hào)r(t)=1(t)+t+t2/2，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess(誤差定義為e=r-c)。

解：

解：第一步，判別穩(wěn)定性。穩(wěn)定！

第136頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三第二步，求穩(wěn)態(tài)誤差。

開環(huán)傳遞函數(shù)中有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，所以為Ⅰ型系統(tǒng)，且開環(huán)增益K=1，則當(dāng)r(t)=1(t)時(shí)，ess1=0系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差

第137頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三五、干擾n(t)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的關(guān)系

圖3-37例3-10的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

干擾作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

第138頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三求出EN(s)將代入得

結(jié)果表明:系統(tǒng)在干擾作用下穩(wěn)態(tài)誤差與干擾作用點(diǎn)以前的K1有關(guān)，K1越大，穩(wěn)態(tài)誤差essn越小。

第139頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三輸入作用的響應(yīng)曲線第140頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三干擾作用的響應(yīng)曲線第141頁，共156頁，2023年，2月20日，星期三輸入、干擾共同作用的響應(yīng)曲線誤差定義e(t)=r