圓的對稱性-知識講解(基礎(chǔ))

圓的對稱性—知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解圓的對稱性；并能運(yùn)用其特有的性質(zhì)推出在同一個圓中,圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，能運(yùn)用這弧等與圓有關(guān)的概念，理解概念之間的區(qū)別和聯(lián)系；弦三者之間的關(guān)系；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、圓的對稱性圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸，有無數(shù)條對稱軸．圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．要點(diǎn)詮釋：圓具有旋轉(zhuǎn)不變的特性．即一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合．要點(diǎn)二、與圓有關(guān)的概念弦弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.要點(diǎn)詮釋：直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O中任意一條弦，求證：AB≥CD.證明：連結(jié)OC、OD弧

∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(當(dāng)且僅當(dāng)CD過圓心O時，取“=”號)∴直徑AB是⊙O中最長的弦.弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧簡稱.以AB為端點(diǎn)的弧記作 讀“圓弧“弧半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.要點(diǎn)詮釋：- 1①半圓是弧，而弧不一定是半圓；②無特殊說明時，弧指的是劣弧.等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.要點(diǎn)詮釋：①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；②圓中兩平行弦所夾的弧相等.要點(diǎn)三、垂徑定理1.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.要點(diǎn)詮釋：垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即要點(diǎn)四垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。灰c(diǎn)詮釋：在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，（分的弦不能是直徑）要點(diǎn)五、弧、弦、圓心角的關(guān)系圓心角與弧的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．圓心角、弧、弦的關(guān)系：量都分別相等．要點(diǎn)詮釋：(2- 2【典型例題】類型一、應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計算與證明（巴中模擬）BOCE是弧CE交弦AC于點(diǎn)D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的長．【答案與解析】解：∵E為弧AC的中點(diǎn)，∴OE⊥AC，∴AD= AC=4cm，∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，∴OD=OE﹣DE=3cm．主要是解由半徑、弦的一半和弦心距（圓心到弦的垂線段的長度）舉一反三：【變式】如圖，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圓心O到弦CD距離。【答案】1cm．如圖所示，直線與兩個同心圓分別交于圖示的各點(diǎn)，則正確的是（ ）A．MP與RN的大小關(guān)系不定 B．MP＝RN 【答案】B；【解析】比較線段MP與RN的大小關(guān)系，首先可通過測量猜測MP與RN相等，而證明兩條線段相等通常利用全等三角形，即證△OMP≌△ONR，- 3如果聯(lián)想到垂徑定理，可過OOE⊥MNEME＝NE，PE＝RE，∴ ME－PE＝NE－RE，即MP＝RN．【總結(jié)升華】在圓中，解有關(guān)弦的問題時，常常需要作“垂直于弦的直徑”.舉一反三：變式AC與圓O交于點(diǎn)BCAD過圓心O.若圓O的半徑是5DAC30，AD=13.求弦BC【答案】6.類型二、垂徑定理的綜合應(yīng)用如圖某公園的一座石拱橋是圓弧劣弧其跨度為拱的半徑為則拱高（ ）A．5m C．7m 5 3m徑定理（推論）【答案】B；【解析】如圖2，- 4AB表示橋拱，弦AB的長表示橋的跨度，C為AB的中點(diǎn)，CD⊥ABD，CDABC、DOOCAB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，則OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴OD＝5，∴CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高為8m．的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的已知條件和問題．4（蓬溪縣校級模擬）如圖是一個半圓形橋洞截面示意圖，圓心為，直徑B是河底線，弦ABAB=26m，OE⊥CD于點(diǎn)ECD的長；現(xiàn)汛期來臨，水面要以每小時4m的速度上升，則經(jīng)過多長時間橋洞會剛剛被灌滿？【答案與解析】1∵直徑，∴OD= ，∵OE⊥CD，∴ ，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴設(shè)OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延長OE交圓O于點(diǎn)F，∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，- 5∴ 2小時橋洞會剛剛被灌滿．面積來解決．舉一反三：變式】有一石拱橋的橋拱是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬AB=60m，水面到拱頂距離當(dāng)洪水泛濫時，水面距拱頂不超過3m時拱橋就有危險，現(xiàn)在水面寬MN=32m【答案】不需要采取緊急措施設(shè)OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2，R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).連接OM，設(shè)DE=x，在Rt△MOE中342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x4，x=641 2∴DE=4m＞3m，∴不需采取緊急措施．類型三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系及應(yīng)用5.如圖，AB是⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，求∠BCD的度數(shù).- 6【思路點(diǎn)撥】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圓，從而不難求得∠BCD的度數(shù)．【答案與解析】解：由題意知，弦BC、CD、DA三等分半圓，BCCDDA60°，∴∠BCD=120°．【總結(jié)升華】本題利用了弧、弦與圓心角的關(guān)系求解，注意半圓對的圓心角為180°．舉一反三：變式】如圖所示， 中弦AB=CD，求證