第五章一元函數(shù)積分學(xué)xd54換三修改版

二、定積分的換元法第四節(jié)一、不定積分的換元法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束換元積分法第五章不定積分換元積分法定積分換元積分法二、定積分的換元法

定理1.

設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿(mǎn)足:1)2)在上證:

所證等式兩邊被積函數(shù)都連續(xù),因此積分都存在,且它們的原函數(shù)也存在.是的原函數(shù),因此有則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則說(shuō)明:2)當(dāng)<,即區(qū)間換為定理1仍成立；3)

必需注意換積分變量必?fù)Q限

,原函數(shù)中的變量不必代回；4)換元公式也可反過(guò)來(lái)使用,即或湊微分不換積分變量就不換限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

計(jì)算解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

計(jì)算解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

設(shè)解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

計(jì)算解:

令則∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且例5.

計(jì)算解:

令則∴原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且例6.設(shè)證:

令則∴機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束且例7.解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.解:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證:

令則∴且1.奇、偶函數(shù)證:(1)若(2)若偶倍奇零機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、兩類(lèi)函數(shù)的積分性質(zhì)

例.

計(jì)算解:

原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2、周期函數(shù)

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例10.

證明

證：是以為周期的函數(shù).是以為周期的周期函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)基本積分法換元積分法分部積分法換元必?fù)Q限配元不換限邊積邊代限機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.提示:

令則2.

設(shè)解法1解法2對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo),思考:若改題為提示:

兩邊求導(dǎo),得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束得3.下述做法是否正確？提示:

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束4.解:

機(jī)