第四章彈塑性波的相互作用

第四章彈塑性波的相互作用1第1頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四一種彈塑性加載波的相互作用;二種：卸載波的相互作用;第四章彈塑性波的相互作用2第2頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4.1彈塑性加載波的相互作用4.1.1強(qiáng)間斷塑性波的迎面加載問題:長為L的均勻等截面桿,原先處于靜止的自然狀態(tài).兩端突然受到突加恒速沖擊載荷,右端X=L處v3>0,在左端v4<0.討論桿中的彈塑性波的傳播.

第四章彈塑性波的相互作用3第3頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四分析:桿中波的傳播：撞擊面開始,從桿的左端向右傳播彈塑性強(qiáng)間斷拉伸波,同時(shí)從桿的右端向左傳播彈塑性強(qiáng)間斷拉伸波,但由于初始沖擊速度不同,引起應(yīng)力擾動幅度不同。兩波相遇之前,和前面討論的半無限長桿中的彈塑性簡單波完全相同.線彈性材料中,彈性波波速和塑性波波速均為常數(shù);第四章彈塑性波的相互作用4第4頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四0區(qū)：恒值區(qū);1，2區(qū)：兩彈性波迎面?zhèn)鞑ズ唵尾▍^(qū)第四章彈塑性波的相互作用5第5頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四3，4區(qū)：塑性波:右行波:第四章彈塑性波的相互作用6第6頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四5區(qū)：兩彈性波相遇，發(fā)生內(nèi)撞擊.兩彈性波的應(yīng)力幅值等于彈性極限Y,相互作用后的反射加載波就必為塑性波.波陣面動量守恒條件,在兩波相遇界面的兩側(cè)有:右側(cè):左側(cè):第四章彈塑性波的相互作用7第7頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四第四章彈塑性波的相互作用在界面上滿足質(zhì)點(diǎn)速度相等和應(yīng)力相等條件,即有:

由上述方程聯(lián)立求解得:

此后,右行內(nèi)反射塑性波ab與左行入射塑性波lb相遇于b點(diǎn),左行內(nèi)反射塑性波與右行入射塑性波oc相遇于c點(diǎn).由此產(chǎn)生的二次內(nèi)反射塑性波bd和cd相遇于d點(diǎn).8第8頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四6區(qū)：兩塑性波的內(nèi)撞擊區(qū)，有或可直接寫出第四章彈塑性波的相互作用9第9頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四7區(qū)：兩塑性波的內(nèi)撞擊區(qū)，有8區(qū)：兩塑性波的內(nèi)撞擊區(qū)，有第四章彈塑性波的相互作用10第10頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四作出,由于引入了,非線性的特征相容關(guān)系線性化.第四章彈塑性波的相互作用11第11頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四X－t圖、圖φ-v圖第四章彈塑性波的相互作用12第12頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4.1.2弱間斷彈塑性波的迎面加載對于遞減硬化材料，其塑性波速不再是恒值，塑性波將以連續(xù)波的形式傳播。把連續(xù)波看作是一系列間斷的增量波，則連續(xù)彈塑性加載波的相互作用可以轉(zhuǎn)化成一系列間斷的增量波相繼的相互作用。每兩個加載增量波相遇時(shí)發(fā)生內(nèi)反射加載，而波速隨之減小。因此，在X-t圖上兩連續(xù)簡單波相互作用后的特征線是斜率的絕對值逐漸減小的曲線。第四章彈塑性波的相互作用13第13頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四例:長為l的均勻等截面一維長桿，桿為遞減硬化材料，其初始狀態(tài)對應(yīng)于va,σa（>0）狀態(tài)，桿兩端分別受到漸加載荷到vc和vb后均保持恒值，有vY<vc<va<vb。分析波的傳播規(guī)律.連續(xù)波的動量守恒條件:代替強(qiáng)間斷的動量守恒條件:X第四章彈塑性波的相互作用14第14頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四第四章彈塑性波的相互作用桿中迎面?zhèn)鞑扇蹰g斷彈塑性拉伸波的相互作用15第15頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四桿中迎面?zhèn)鞑墒蹰g斷彈塑性拉伸波,在相遇前是已知的簡單波,且有式中:在波陣面上:第四章彈塑性波的相互作用(4-1-1)16第16頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四兩束波最早在a點(diǎn)相遇，而最后于d點(diǎn)相互作用完畢，這中間可看成是一系列間斷增量波一個接一個地相繼相互作用過程。作用完畢狀態(tài)對應(yīng)的解可由于下式求得：(4-1-2)可以根據(jù)(4-1-1)式和(4-1-2)來求解vb、vc、vd、φb、φc、φd。第四章彈塑性波的相互作用17第17頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四(1)(2)(3)(4)第四章彈塑性波的相互作用18第18頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四這實(shí)際上體現(xiàn)了引入Riemann積分后，v-φ的線性化關(guān)系，此時(shí)塑性加載波的相互作用就可應(yīng)用疊加原理。第四章彈塑性波的相互作用19第19頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四彈塑性波傳播問題中，經(jīng)過（X，t）平面上任一點(diǎn)的特征線的切線斜率（特征方向）是該點(diǎn)狀態(tài)的函數(shù)特征線bd和cd上各點(diǎn)的狀態(tài)尚未確定，則特征線本身的位置就無法確定。把特征線ab和ac分別分成m段和n段，根據(jù)分割點(diǎn)做出相應(yīng)的特征線將相互作用區(qū)域分成許多小網(wǎng)格，近似認(rèn)為網(wǎng)格內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)速度、應(yīng)力等參量值是相等的。第四章彈塑性波的相互作用20第20頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四于是特征線段Qs的斜率可近似按Q點(diǎn)的狀態(tài)來確定，特征線段Rs的斜率可近似按R點(diǎn)的狀態(tài)來確定。

依此類推，可確定全部網(wǎng)格點(diǎn)的位置和狀態(tài)。第四章彈塑性波的相互作用S點(diǎn)的位置：S點(diǎn)的狀態(tài)：21第21頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4.2卸載波及其控制方程彈塑波和彈性波的差別主要體現(xiàn)在卸載上，因此在處理既有加載又有卸載的彈塑性波的傳播問題時(shí)，必須區(qū)分不同的質(zhì)點(diǎn)在不同的時(shí)刻是處于加載過程還是卸載過程?；蛘哒f，在X－t圖中必須要區(qū)分出是塑性加載區(qū)還是卸載區(qū)，找出隨著應(yīng)力波的傳播和相互作用時(shí)這兩區(qū)邊界的變化或傳播情況，而這兩個區(qū)又分別遵循不同的控制方程。為此，我們先要建立卸載波的控制方程。第四章彈塑性波的相互作用22第22頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四彈性卸載假定：從卸載塑性變形所達(dá)到的應(yīng)力和應(yīng)變卸載時(shí)，不論卸載后重新加載，而應(yīng)力不再超過，則應(yīng)力應(yīng)變間有線性關(guān)系，且斜率等于加載曲線彈性部分的初始斜率，即遵循于彈性加載時(shí)相同的定律。

第四章彈塑性波的相互作用23第23頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四卸載開始的應(yīng)力值σm在桿中不同截面處不一定是相同的。但是卸載開始后，只要不重新進(jìn)入塑性加載，該值就不隨時(shí)間發(fā)生改變與t無關(guān)），而僅僅是X的函數(shù)。第四章彈塑性波的相互作用24第24頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四消去得和為未知函數(shù)的一階偏微分方程組

或者寫成控制方程第四章彈塑性波的相互作用25第25頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四用特征線求解可得:消去得到已和為未知函數(shù)的一階齊次線性偏微分方程組特征線方法求解卸載波以彈性波速C0傳播.第四章彈塑性波的相互作用26第26頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四卸載擾動本身的傳播和塑性加載-彈性卸載區(qū)邊界的區(qū)別:(1)卸載擾動本身的傳播即為卸載波,沿著特征線傳播,在彈性卸載假定的基礎(chǔ)上波速為C0.(2)彈-塑性邊界(塑性加載-彈性卸載區(qū)邊界),其傳播軌跡由彈性卸載擾動與塑性加載擾動相互作用后的結(jié)果決定,一般不沿特征線傳播,傳播速度在求解過程中由具體情況確定.(3)在特殊情況下兩者重合.表示卸載過程中的彈塑性邊界,這一邊界的傳播速度為第四章彈塑性波的相互作用27第27頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四彈塑性加載和彈性卸載的情況下,問題歸結(jié)為:若初始條件和邊條件給定,聯(lián)立解彈塑性加載區(qū)的偏微分方程和彈性卸載區(qū)的偏微分方程,而在兩區(qū)的邊界上滿足連續(xù)條件和動量守恒條件.第四章彈塑性波的相互作用28第28頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4.3.1線性硬化桿中強(qiáng)間斷波的突然卸載分析:t<t12）t=t1,有卸載波以C0追趕塑性波C1,3區(qū)狀態(tài)為:應(yīng)力卸載到零,但仍有殘余變形和殘余質(zhì)點(diǎn)速度.本構(gòu)模型4.3強(qiáng)間斷卸載擾動的追趕卸載第四章彈塑性波的相互作用29第29頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四3)時(shí),卸載波追趕上塑性加載波.則有,塑性變形區(qū)的長度為:第四章彈塑性波的相互作用30第30頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4)當(dāng)時(shí),卸載波追趕上塑性波,卸載波通過后應(yīng)力卸載為零,質(zhì)點(diǎn)速度不為零.左端殘余質(zhì)點(diǎn)速度為,右端卸載波與彈性加載波相互作用后應(yīng)力為零,速度為零.這樣在界面兩側(cè)有速度差,即發(fā)生內(nèi)撞擊,引起二次應(yīng)力波的傳播.若,二次應(yīng)力波的幅值小于屈服極限Y.,則二次應(yīng)力波中包含塑性波.先假設(shè):在處第四章彈塑性波的相互作用31第31頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四從上式可以看出,在的兩側(cè)應(yīng)變發(fā)生間斷,這一應(yīng)變間斷面除以后重新發(fā)生二次塑性加載的情況下可能變化外,將保留在處不動.這樣的間斷面稱為駐定間斷面.駐定間斷面兩側(cè):1)應(yīng)變歷史不同,材料的力學(xué)性質(zhì)不同(屈服強(qiáng)度不再相同);2)桿不再是勻質(zhì)桿;3)彈性波阻抗相同.如果重新加載的應(yīng)力波的幅值為,則兩側(cè)將發(fā)生反射和透射.若則對應(yīng)力波的傳播沒有影響.第四章彈塑性波的相互作用32第32頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四在M點(diǎn)兩側(cè)有兩彈性波傳播,左邊為強(qiáng)間斷加載彈性波,傳播到自由面時(shí)發(fā)生反射;右邊為強(qiáng)間斷彈性壓縮脈沖,脈沖長度為左側(cè)加載歷史:0-1-2-3-4;右側(cè)加載歷史:0-1-4;第四章彈塑性波的相互作用33第33頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四在M點(diǎn)左側(cè)有二次彈性波傳播,右側(cè)為一次強(qiáng)間斷加載彈性波傳播;第四章彈塑性波的相互作用34第34頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四在M點(diǎn)左側(cè)有二次彈性波傳播,右側(cè)為強(qiáng)間斷塑性加載波傳播;卸載波追趕上塑性加載擾動相互作用后塑性波被削弱,應(yīng)力幅值減弱.左邊的二次彈性加載波達(dá)到自由面后被再次反射,形成二次卸載擾動.第四章彈塑性波的相互作用35第35頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四第二個駐定間斷面形成時(shí)間：其中：代入得：第二個駐定間斷面位置：第四章彈塑性波的相互作用36第36頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四第二個間斷面左側(cè)達(dá)到的最大應(yīng)力：代入上述各區(qū)狀態(tài)值，可得第四章彈塑性波的相互作用37第37頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)這一卸載擾動在某處追趕上被削弱了的塑性加載波時(shí),形成第二個應(yīng)變駐定間斷面,使塑性加載波再次削弱.由此類推,每一次的循環(huán)卸載中,就相應(yīng)地形成一個駐定應(yīng)變間斷面,塑性波就被削弱一次,直到塑性波被削弱到完全消失.引入則第（n+1)個駐定間斷面位置的長度是第n個駐定間斷面位置的倍。第四章彈塑性波的相互作用38第38頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四每一卸載循環(huán)形成一駐定應(yīng)變間斷面時(shí)，最大應(yīng)力降為原來的。相應(yīng)的最大應(yīng)力分布長度增至倍。有第四章彈塑性波的相互作用殘余變形沿桿的分布曲線；殘余變形集中在撞擊端附近，階梯狀分布（局域化的非均勻應(yīng)變分布。39第39頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四40第40頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4.3.2線性硬化桿中連續(xù)波的突然卸載例:線性硬化半無限長桿中受漸加載荷,t=T0突然卸載.討論桿中的卸載波.

分析:卸載擾動是強(qiáng)間斷,塑性加載擾動是弱間斷(連續(xù)波).可以把連續(xù)波看作一系列微小的強(qiáng)間斷增量波.于是,上述強(qiáng)間斷卸載擾動與弱間斷加載擾動的相互作用可以看作一強(qiáng)間斷的卸載擾動與一系列相繼的微小強(qiáng)間斷塑性加載擾動的相互作用問題.第四章彈塑性波的相互作用41第41頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四t=T0時(shí)強(qiáng)間斷卸載擾動在5區(qū)中傳播,卸載波經(jīng)過后,應(yīng)力從卸載到零,而質(zhì)點(diǎn)速度從卸載到殘余質(zhì)點(diǎn)速度,第四章彈塑性波的相互作用42第42頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四t=T1時(shí)刻,卸載擾動在X=L1處追趕上前方的第一個微小強(qiáng)間斷塑性波而相互作用.由于微小強(qiáng)間斷波陣面兩側(cè)存在質(zhì)點(diǎn)速度差和應(yīng)力差,若應(yīng)力卸載到零,就有殘余質(zhì)點(diǎn)速度差,由于速度差,發(fā)生內(nèi)撞擊.由此產(chǎn)生的應(yīng)力突躍第四章彈塑性波的相互作用43第43頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四在一次內(nèi)撞擊后,塑性波的幅值從降到了另一方面,卸載波的強(qiáng)度也削弱,強(qiáng)度從降到了即強(qiáng)間斷卸載擾動的強(qiáng)度減小了當(dāng)t=T2時(shí),卸載擾動追趕上了第二個微小強(qiáng)間斷塑性波而發(fā)生第二次內(nèi)撞擊,第四章彈塑性波的相互作用44第44頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四第二次內(nèi)撞擊后,應(yīng)力強(qiáng)度從提高到而塑性波強(qiáng)度從降到,因而強(qiáng)間斷卸載擾動的強(qiáng)度被削弱到比初始強(qiáng)度減小了第四章彈塑性波的相互作用45第45頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四依次類推,當(dāng)強(qiáng)間斷卸載擾動追趕上第i個微小塑性波而發(fā)生第i次內(nèi)撞擊時(shí),殘余質(zhì)點(diǎn)速度差為而造成相應(yīng)的應(yīng)力突躍為使得卸載區(qū)重新加載到第四章彈塑性波的相互作用46第46頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四而強(qiáng)間斷卸載擾動的強(qiáng)度減小了第四章彈塑性波的相互作用47第47頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四平面上,二次應(yīng)力波強(qiáng)度隨著相繼的內(nèi)撞擊的發(fā)生而提高,6,7,8點(diǎn).若滿足卸載強(qiáng)間斷消失.圖中點(diǎn)6對應(yīng)于初始?xì)堄噘|(zhì)點(diǎn)速度情況,即卸載擾動與全部塑性加載相互作用后,仍能保持強(qiáng)間斷.(點(diǎn)9).卸載邊界傳播軌跡與卸載擾動本身重合.第四章彈塑性波的相互作用48第48頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四強(qiáng)間斷卸載擾動在與某一部分塑性加載擾動相互作用后,強(qiáng)度減小到零,即它在塑性區(qū)的某處被”吸收”而消失,不能全部通過塑性區(qū).第一階段結(jié)束.當(dāng)卸載第一階段中內(nèi)撞擊引起的左行內(nèi)反射波從桿端(X=0)處再次被反射為右行”二次卸載擾動”,并追趕上來相互作用時(shí),才會被進(jìn)一步卸載.第四章彈塑性波的相互作用49第49頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4.3.3塑性中心波的突然卸載遞減硬化材料半無限長桿中,強(qiáng)間斷卸載擾動對弱間斷塑性加載擾動的追趕卸載問題.例:初始靜止自然狀態(tài)的桿,端點(diǎn)(X=0)處t=0時(shí)受一突加恒值沖擊載荷,在t=T時(shí)刻突然卸載到零.見右圖.第四章彈塑性波的相互作用50第50頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn):卸載開始,強(qiáng)間斷卸載波以波速傳播,追趕塑性波,塑性波波速為.若卸載波在與塑性波相互作用后保持強(qiáng)間斷,則擾動本身的軌跡也為卸載邊界的傳播速度(彈塑性邊界)的傳播軌跡A0A2可確定.第四章彈塑性波的相互作用51第51頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四2)右側(cè)加載為塑性中心波,該側(cè)的狀態(tài)量可確定,整個塑性區(qū)的簡單波關(guān)系式:彈塑性左側(cè)邊界的卸載區(qū)未知?卸載側(cè)滿足強(qiáng)間斷波動量守恒條件:此邊界的卸載側(cè)與卸載區(qū)經(jīng)過A0點(diǎn)的右行特征線重合,滿足相容條件:第四章彈塑性波的相互作用52第52頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四A0點(diǎn)卸載前后狀態(tài)滿足(強(qiáng)間斷波陣面上的守恒條件):卸載后應(yīng)力為零,即因此,速度為可得:和聯(lián)立求解得第四章彈塑性波的相互作用53第53頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四沿卸載邊界的應(yīng)力間斷值為:(3)彈塑性邊界的塑性加載側(cè)最低應(yīng)力幅值為Y.若應(yīng)力幅值,仍有,則強(qiáng)間斷卸載擾動可通過整個塑性區(qū)而不消失.卸載波若在A2點(diǎn)處消失,則應(yīng)有,或有由此,確定A2點(diǎn)的位置.第一階段卸載邊界可完全確定.第四章彈塑性波的相互作用54第54頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4)卸載區(qū)沿特征線A0A2上的已知,左側(cè)桿端邊條件,對于,整個卸載區(qū)邊界可歸結(jié)為解一個定解的混合問題(Picard問題).若,三角形區(qū)內(nèi)歸結(jié)為解一個定解的混合問題,沿左行特征線傳播的是卸載擾動與塑性加載擾動相互作用后的內(nèi)反射擾動的影響,沿右行特征線傳播的桿端邊界的影響.t軸上任一點(diǎn)E的速度,可由沿左行特征線上的相容條件得:并有第四章彈塑性波的相互作用55第55頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四5)若卸載強(qiáng)間斷在A2點(diǎn)消失,則此后的彈塑性邊界為弱間斷的連續(xù)卸載邊界,在此邊界上塑性加載側(cè)的應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度與卸載側(cè)的保持連續(xù).有,困難:此邊界的傳播軌跡并不知道.塑性加載區(qū)沿左行特征線BG上的相容條件有:卸載區(qū),右行特征線BE上述四個方程可解出第四章彈塑性波的相互作用56第56頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四共軛關(guān)系:第二段卸載邊界上任一點(diǎn)可由第一卸載邊界上相應(yīng)的點(diǎn)確定,A,B共軛點(diǎn).由共軛關(guān)系可求得整個卸載邊界.邊界上的狀態(tài)求出,桿端邊條件給定,因此,整個卸載區(qū)的解可化為各類定解的邊值問題,如混合問題,特征邊值問題等,整個問題可求.是一個混合問題.第四章彈塑性波的相互作用57第57頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四

總結(jié):材料的本構(gòu)關(guān)系已知,初邊值條件確定,卸載在一開始是強(qiáng)間斷(突然卸載),塑性加載擾動不論是強(qiáng)間斷或弱間斷,半無限長桿中的卸載擾動對塑性加載擾動的追趕卸載都可以求解.特點(diǎn):由于初始卸載擾動的強(qiáng)間斷性,邊界的開始一段是強(qiáng)間斷邊界,和強(qiáng)間斷卸載擾動本身的傳播軌跡相重合,因而是可以確定的.隨后的邊界可通過共軛關(guān)系可以確定卸載邊界.第四章彈塑性波的相互作用58第58頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四[回顧]:問題:若一有限長的彈性桿,原來處于靜止的自然狀態(tài),桿的左端受到?jīng)_擊載荷v1>0,v2>0,取坐標(biāo)軸向如圖.分析:桿中從左端有向右傳播的強(qiáng)間斷壓縮波,從右端向左傳播的強(qiáng)間斷拉伸波.兩波相遇,其相互作用相當(dāng)與迎面卸載.如果從桿左端卸載：右端卸載(應(yīng)力波的幅值)：

4.4迎面卸載X59第59頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四上兩式不同之處（應(yīng)力卸載為0，但兩種卸載方式中質(zhì)點(diǎn)速度不相同）,兩者速度差為若桿的初始狀態(tài)對應(yīng)于上的2點(diǎn)(塑性狀態(tài)).從桿左端彈性卸載到應(yīng)力為零時(shí)，右行卸載波的狀態(tài)對應(yīng)于圖中點(diǎn),殘余質(zhì)點(diǎn)速度第四章彈塑性波的相互作用60第60頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四從桿的右端卸載到應(yīng)力為零時(shí)，此左行卸載波的狀態(tài)按左行強(qiáng)間斷波陣面上的動力學(xué)相容條件,對應(yīng)于圖中R點(diǎn),卸載后質(zhì)點(diǎn)速度為兩種卸載的速度差為第四章彈塑性波的相互作用61第61頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四問題:線性硬化材料的有限長桿,原來處于靜止的自然狀態(tài),桿的左端受到?jīng)_擊載荷v1>0,v2>0,取坐標(biāo)軸向如圖.分析:左端向右傳播的彈塑性壓縮波,在X-t圖上的1,2區(qū).右端向左傳播的彈塑性拉伸波,在X-t圖上的3,4區(qū).第四章彈塑性波的相互作用62第62頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四1）兩彈性前驅(qū)波相遇a點(diǎn)，應(yīng)力幅值Y相等，符號相反，相互作用后應(yīng)力卸載到0，而速度;2）左行內(nèi)反射卸載波ab與右行塑性加載波ob相遇于b點(diǎn).如果b點(diǎn)左側(cè)在卸載波通過后應(yīng)力卸載到零時(shí),質(zhì)點(diǎn)速度則為這樣,在b點(diǎn)兩側(cè)存在質(zhì)點(diǎn)速度差,發(fā)生內(nèi)撞擊.第四章彈塑性波的相互作用63第63頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四右行內(nèi)反射波bd和左行內(nèi)反射波cd在d點(diǎn)相遇于點(diǎn)10,在平面內(nèi)落在彈性應(yīng)力范圍內(nèi),因此從d點(diǎn)出發(fā)的兩個波都是彈性波,至此,兩異號的彈塑性應(yīng)力波的相互作用結(jié)束.1)若內(nèi)撞擊產(chǎn)生的兩個應(yīng)力波均為彈性波,6點(diǎn),8點(diǎn).第四章彈塑性波的相互作用64第64頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四2)內(nèi)撞擊后所產(chǎn)生的內(nèi)反射波將仍然包含塑性波，但強(qiáng)度減弱。第四章彈塑性波的相互作用65第65頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四第四章彈塑性波的相互作用平頭彈射擊靶板上,相當(dāng)于有限長桿在剛性座上的高速撞擊問題,利用該實(shí)驗(yàn)可以測量材料的動態(tài)力學(xué)性能.(Talyor,GI;WhiffenAC;等)子彈以向左飛行,撞擊到靜止的剛性靶板時(shí),撞擊端速度突降為零,將向另一端右行傳播彈塑性波.在坐標(biāo)系中,問題可化為原來處于靜止和自然狀態(tài)的有限長桿,一端受突加恒速載荷,另一端為自由端的情況.4.5有限長桿在剛砧上的高速撞擊66第66頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四應(yīng)力幅值為的右行彈塑性波在自由端反射時(shí),自由面質(zhì)點(diǎn)速度為:彈性波,則有;2)塑性波,有,因此;即彈塑性波在自由端反射后達(dá)不到入射波質(zhì)點(diǎn)速度的兩倍;3)入射波中的塑性部分達(dá)不到自由端;達(dá)到自由端之前,被從自由端反射回來的彈性卸載波削弱,直至消失.塑性波有殘余變形,而自由端應(yīng)力一直保持為零,不可能產(chǎn)生塑性變形.第四章彈塑性波的相互作用67第67頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四線性硬化桿的撞擊第四章彈塑性波的相互作用68第68頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四分析:1)在彈性波到達(dá)自由端之前,和半無限長桿中一樣,0,1,2,區(qū)狀態(tài):0區(qū):1區(qū):2區(qū):第四章彈塑性波的相互作用69第69頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四時(shí),卸載區(qū)3中有,2)第四章彈塑性波的相互作用70第70頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四

反射卸載波AB與塑性加載波OB相遇,發(fā)生迎面卸載.假設(shè)B點(diǎn)左側(cè)卸載到應(yīng)力為零,質(zhì)點(diǎn)速度為,與右側(cè)質(zhì)點(diǎn)速度之差引起內(nèi)撞擊而產(chǎn)生內(nèi)反射波BC,BD,后方狀態(tài)為4區(qū).71第71頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4區(qū)兩側(cè)應(yīng)變不同,右側(cè)為:左側(cè)為:在X=XB處有一應(yīng)變駐定間斷面,第四章彈塑性波的相互作用72第72頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四內(nèi)反射波BC是卸載波,使2區(qū)卸載到4”,BD是削弱了的加載波,使3區(qū)加載到4’.若4’區(qū)仍在彈性范圍內(nèi),即

上式為在桿中只產(chǎn)生一個塑性區(qū),一個應(yīng)變間斷面的條件.BD達(dá)到自由端的反射和彈性波的相同.BC到達(dá)撞擊端X=0的情況與有關(guān).73第73頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)撞擊還在繼續(xù),桿沒有從靶上跳開,則6區(qū)的狀態(tài)速度應(yīng)滿足邊條件,即,應(yīng)力通過動量守恒可得第四章彈塑性波的相互作用74第74頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四則有,而撞擊界面不能承受拉應(yīng)力,因此反射波BC過后,應(yīng)力只能卸載到零(),撞擊端變成自由端,因此,桿從靶面跳開.撞擊持續(xù)時(shí)間此后,一彈性應(yīng)力脈沖在兩端均為自由面的桿中來回傳播和反射.在B截面處始終保持應(yīng)變間斷,右側(cè)4’-7’;左側(cè)4”-7”間變化.分析討論:1)第四章彈塑性波的相互作用75第75頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四7區(qū)狀態(tài):其中,6,5區(qū)的狀態(tài)從前面的分析中可得代入可得根據(jù)上述分析,計(jì)算7區(qū)的應(yīng)力狀態(tài).拉伸?壓縮?第四章彈塑性波的相互作用76第76頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四6區(qū)將承受壓應(yīng)力(),因而撞擊還將繼續(xù),但,和上述類似,撞擊將在F點(diǎn)處結(jié)束,撞擊持續(xù)時(shí)間為.桿中仍然只有一個塑性變形區(qū).2)77第77頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四當(dāng)時(shí),若再大,則在B點(diǎn)產(chǎn)生的應(yīng)力幅值超過屈服極限,從B點(diǎn)傳播一個強(qiáng)度被削弱的塑性波BB1和一前驅(qū)彈性波BD.此后有兩種可能:(1)右行彈性前驅(qū)波BD從桿的右端反射成左行卸載波DB1.與塑性波BB1迎面相遇而發(fā)生迎面卸載;第四章彈塑性波的相互作用78第78頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四(2):左行卸載波BC從桿的左端反射成右行卸載波CB2后，趕上塑性波BB2發(fā)生追趕卸載.上述兩種情況與彈性波與塑性波速之比有關(guān).若B1和B2兩點(diǎn)重合則是臨界狀態(tài).第(1)種;第(2)種;第四章彈塑性波的相互作用79第79頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四塑性波在B1點(diǎn)處消失,從B1點(diǎn)向兩端傳播的內(nèi)反射波都是彈性波.則撞擊速度滿足的條件為8區(qū)的狀態(tài)

若滿足上述條件,則應(yīng)有:(1)第四章彈塑性波的相互作用80第80頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四第二個駐定應(yīng)變間斷面的位置撞擊在F點(diǎn)結(jié)束,結(jié)束時(shí)間第四章彈塑性波的相互作用81第81頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四時(shí),塑性波在B2點(diǎn)消失,并且不會在F點(diǎn)處反射塑性波(9區(qū)為彈性波).撞擊在G點(diǎn)結(jié)束,持續(xù)時(shí)間第二個駐定應(yīng)變間斷面的位置:上述討論中可以看到,對于受壓縮沖擊載荷的桿,當(dāng)兩卸載波迎面相遇時(shí)將產(chǎn)生拉應(yīng)力.在一定條件下,還可能導(dǎo)致拉伸屈服,即相對原先發(fā)生的壓縮屈服而言的反向屈服.(2)第四章彈塑性波的相互作用82第82頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四4.5半無限長桿中的卸載邊界的傳播特性一般情況下彈塑性邊界與應(yīng)力擾動\應(yīng)變擾動或質(zhì)點(diǎn)速度擾動本身的傳播軌跡并不相同.其位置經(jīng)常隨時(shí)間在變化,傳播速度一般隨彈塑性波的相互作用過程的進(jìn)行而不斷地變化.加載邊界:彈性區(qū)發(fā)展到塑性區(qū)的邊界;卸載邊界:塑性區(qū)卸載到彈性區(qū)的邊界;本節(jié)主要討論邊界的傳播速度與哪些因素相關(guān).第四章彈塑性波的相互作用83第83頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四沿特征線MM1的相容條件:沿特征線MM2的相容條件:

上兩式中消去,同時(shí)在半無限長桿中有簡單波關(guān)系式,則得(5-5-1)第四章彈塑性波的相互作用84第84頁，共94頁，2023年，2月20日，星期四