第四章數(shù)據(jù)分布特征的測度

第四章數(shù)據(jù)分布特征的測度第1頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

教學重點與難點：重點為各種平均指標和變異指標的概念、特點、應用條件、應用范圍和計算方法。難點是不同條件下平均指標和變異指標的計算。第2頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三統(tǒng)計數(shù)據(jù)經(jīng)過整理和顯示后，對數(shù)據(jù)分布的形狀和特征就可以有一個大致的了解。為進一步掌握數(shù)據(jù)分布的特征和規(guī)律，進行更深入的分析，還需要找到反映數(shù)據(jù)分布特征的各個代表值。第3頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三對一組數(shù)據(jù)分布的特征，可以從三個方面進行測度和描述：一是分布的集中趨勢，反映各數(shù)據(jù)向其中心值靠攏和聚集的程度；二是分布的離散程度，反映各數(shù)據(jù)遠離中心值的趨勢；三是分布偏態(tài)和峰態(tài)，反映數(shù)據(jù)分布的形狀。這三個方面分別反映了數(shù)據(jù)分布特征的不同側(cè)面。第4頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三第一節(jié)集中趨勢的測度

集中趨勢是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點的位置所在。測度集中趨勢也就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。低層次數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值適用于高層次的測量數(shù)據(jù)，反過來，高層次數(shù)據(jù)的集中趨勢測度值并不適用于低層次的測量數(shù)據(jù)。因此，選用哪一個測度值來反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，要根據(jù)所掌握的數(shù)據(jù)的類型和特點來確定。第5頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三一、分類數(shù)據(jù)：眾數(shù)（Mo）

眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。

?出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值

?不受極端值的影響

?一組數(shù)據(jù)可能沒有眾數(shù)或有幾個眾數(shù)

?主要用于分類數(shù)據(jù)，也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù)

第6頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三無眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):10591268一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):659855多于一個眾數(shù)

原始數(shù)據(jù):252828364242從分布的角度看，眾數(shù)是具有明顯集中趨勢點的數(shù)值，一組數(shù)據(jù)分布的最高峰點所對應的數(shù)值即為眾數(shù)。當然，如果數(shù)據(jù)的分布沒有明顯的集中趨勢或最高峰點，眾數(shù)也可能不存在；如果有兩個最高峰點，也可以有兩個眾數(shù)，見P78圖4-1。

第7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

二、順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)（Me）和分位數(shù)（一）中位數(shù)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)排序后，處于中間位置上的變量值。中位數(shù)是一個位置代表值，它主要用于測度順序數(shù)據(jù)的集中趨勢，當然也適用于作為數(shù)值型數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于分類數(shù)據(jù)。

第8頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)未分組數(shù)據(jù)計算中位數(shù)時，要先對數(shù)據(jù)進行排序，然后確定中位數(shù)的位置，其公式為：中位數(shù)位置＝第9頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三對于分類型數(shù)據(jù)，中位數(shù)的位置為：中位數(shù)位置＝若項數(shù)為奇數(shù)，則居于中間位置的那個標志值即為中位數(shù)。若項數(shù)為偶數(shù)，則居于中間位置的兩項數(shù)值的平均數(shù)即為中位數(shù)。

第10頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:123456789位置=(n+1)／2=(9+1)／2=5中位數(shù)=1080【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排

序:660

75078085096010801250150016302000位

置:12345678910位置=(n+1)／2=(10+1)／2=5.5中位數(shù)=（960+1080）／2=1020對于數(shù)值型數(shù)據(jù)，也可以計算中位數(shù)：第11頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（二）分位數(shù)

四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)分別是用3個點、9個點和99個點將數(shù)據(jù)4等分、10等分和100等分后各分位點上的值。四分位數(shù)，“四分位點”，是通過三個點將全部數(shù)據(jù)等分為四部分，其中每部分包含25％的數(shù)據(jù)，處在分位點上的數(shù)值就是四分位數(shù)。

25%25%25%25%QMQUQL

下四分位數(shù)

中位數(shù)

上四分位數(shù)

第12頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三對于分類數(shù)據(jù)，各四分位數(shù)的位置分別為：

當四分位數(shù)的位置不在某一個數(shù)值上時，可根據(jù)四分位數(shù)的位置，按比例分攤四分位數(shù)位置兩側(cè)數(shù)值的差值。

第13頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三【例】：9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排

序:75078085096010801250150016302000位

置:123456789QLQLQLQLQUQUQUQU【例】：10個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排

序:660

75078085096010801250150016302000位

置:1234

5678910

第14頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

三、數(shù)值型數(shù)據(jù)：均值

均值也稱為算術(shù)平均數(shù)，是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均。均值在統(tǒng)計學中具有重要的地位，是集中趨勢的最主要測度值，它主要適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，而不適用于分類和順序數(shù)據(jù)。根據(jù)所掌握數(shù)據(jù)的不同，均值有不同的計算形式和計算公式。第15頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

（一）算術(shù)平均數(shù)的基本形式

算術(shù)平均數(shù)＝第16頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

（二）簡單算術(shù)平均數(shù)

當掌握的資料是未分組的總體各單位的標志值時，則將各單位的標志值簡單相加得出標志總量，然后各單位的標志值簡單相加得出標志總量，然后在除以總體單位數(shù)之和，這種計算平均數(shù)的方法稱為簡單算術(shù)平均數(shù)。第17頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三其公式為：第18頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

（三）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)當掌握的資料已經(jīng)分組，且各組出現(xiàn)的次數(shù)不同時，則采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。各組的組中值為：M1，M2，…，Mk第19頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

例：某企業(yè)某車間工人每天生產(chǎn)產(chǎn)品資料如表4-1：表4-1按每人生產(chǎn)件數(shù)分組工人數(shù)（人）產(chǎn)品數(shù)（件）xfxf18192021221013382415180247760504330合計1002021根據(jù)上表資料，計算平均每人生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)：

第20頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三簡單算術(shù)平均數(shù)的數(shù)值大小只與變量值的大小有關(guān)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的數(shù)值大小不僅受各組組中值大小的影響，而且受各組變量值出現(xiàn)的頻數(shù)及權(quán)數(shù)大小的影響。如果某一組的權(quán)數(shù)較大，說明該組的數(shù)據(jù)較多，那么該組數(shù)據(jù)的大小對均值的影響就越大，反之則越小。

第21頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三加權(quán)算術(shù)平均數(shù)應注意幾個問題：

1、加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的權(quán)數(shù)可以是絕對數(shù)，亦可以是比重；上例的權(quán)數(shù)為絕對數(shù)?，F(xiàn)舉例說明比重權(quán)數(shù)，例如下表資料：

第22頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三表4-2按每人生產(chǎn)件數(shù)分組x工人比重（％）181920212210133824151.802.477.605.043.30合計10020.21平均每人生產(chǎn)產(chǎn)品件數(shù)=第23頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

2、根據(jù)組距數(shù)列計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

例某企業(yè)某車間工人生產(chǎn)產(chǎn)品資料如表4-3：表4-3按每人生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量分組（公斤）工人數(shù)f組中值xxf20-3030-4040-5050以上2070803025354555500245036001650合計200－8200

第24頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

用組中值計算出來的平均數(shù)，只能是平均數(shù)的近似值，而不是平均數(shù)的真值。第25頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

3、若各組單位數(shù)相等，即f1=f2=……

＝fn，則加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算公式與簡單算術(shù)平均數(shù)存在下面關(guān)系：可見，簡單算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的一個特例。

第26頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（四）算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學性質(zhì)均值在統(tǒng)計學中具有重要的地位，它是進行統(tǒng)計分析和統(tǒng)計推斷的基礎(chǔ)。首先，從統(tǒng)計思想上看，均值是一組數(shù)據(jù)的重心所在，是數(shù)據(jù)誤差相互抵消后的必然性結(jié)果。比如對同一事物進行多次測量，若所得結(jié)果不一致，可能是由于測量誤差所致，也可能是其他因素的偶然影響，利用均值作為其代表值，則可以使誤差相互抵消，反映出事物必然性的數(shù)量特征。其次，均值具有下面一些重要的數(shù)學性質(zhì)，這些數(shù)學性質(zhì)在實際中有著廣泛的應用，體現(xiàn)了均值的統(tǒng)計思想。第27頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三算術(shù)平均數(shù)最重要的兩個數(shù)學性質(zhì)是：

1.

各變量值與平均數(shù)的離差之和等于零，即：簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：

第28頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

2.

各變量值與平均數(shù)的離差的平方和為最小值，即：簡單算術(shù)平均數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)：證明見P84。第29頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（五）均值的另一種表現(xiàn)形式：調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，用表示。在實際工作中，由于所獲得的數(shù)據(jù)的不同，有時不能直接采用均值的計算公式來計算平均數(shù)，這就需要使用調(diào)和平均數(shù)的形式進行計算，二者實質(zhì)上是相同的，而僅有形式上的區(qū)別。第30頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三其計算公式為：

需要注意的是，當數(shù)據(jù)中出現(xiàn)“0”時不宜計算調(diào)和平均數(shù)。第31頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三例如，某企業(yè)工人月獎金額如表4-4：表4-4按月獎金等級分組獎金額（元/人）(x)獎金總額（元）(m)工人數(shù)（人）（m/x）一等二等三等220180100220007560028000100420280合計——125600800第32頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（六）一種特殊的均值：幾何平均數(shù)統(tǒng)計幾何平均數(shù)指標，是指社會經(jīng)濟現(xiàn)象的同質(zhì)總體在時間上變動速度的平均數(shù)。是具有經(jīng)濟意義同質(zhì)總體的n個環(huán)比發(fā)展速度連乘積的n次方根。統(tǒng)計幾何平均數(shù)屬于動態(tài)平均數(shù)。

第33頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三幾何平均數(shù)是適用于特殊數(shù)據(jù)的一種平均數(shù)，它主要用于計算比率的平均。當所掌握的變量值本身是比率的形式，這時就應采用幾何平均法計算平均比率。在實際應用中，幾何平均數(shù)主要用于計算社會經(jīng)濟現(xiàn)象的年平均增長率。

第34頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)開始的數(shù)值為，逐年增長率為，則第n年的數(shù)值為：從到用n年，每年的增長率都相同，則增長率G就是平均增長率，有

第35頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三【例某水泥生產(chǎn)企業(yè)1999年的水泥產(chǎn)量為100萬噸，2000年與1999年相比增長率為9%，2001年與2000年相比增長率為16%，2002年與2001年相比增長率為20%。求各年的年平均增長率。年平均增長率＝114.91%-1=14.91%

幾何平均數(shù)的對數(shù)是各變量值對數(shù)的算術(shù)平均。需要注意的是，當數(shù)據(jù)中出現(xiàn)零值和負值是不宜計算幾何平均數(shù)。第36頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三四、眾數(shù)、中位數(shù)和均值的比較眾數(shù)、中位數(shù)和均值是集中趨勢的三個主要測度值，它們具有不同的特點和應用場合。

（一）眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系從分布的角度看，眾數(shù)始終是一組數(shù)據(jù)分布的最高峰值，中位數(shù)是處于一組數(shù)據(jù)中間位置上的值，而均值則是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均。第37頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

因此，對于具有單峰分布的大多數(shù)數(shù)據(jù)而言，眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間有以下關(guān)系：（1）當總體內(nèi)部次數(shù)分配呈正態(tài)狀時，三者合而為一，即三者相等：（2）當總體內(nèi)部次數(shù)分配呈非正態(tài)狀且右偏時，則（3）當總體內(nèi)部次數(shù)分配呈非正態(tài)狀且左偏時，則

第38頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（二）眾數(shù)、中位數(shù)和均值的特點和應用場合

1.

眾數(shù)

n

不受極端值影響

n

具有不唯一性

n

數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應用第39頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三2.

中位數(shù)n

不受極端值影響n

數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應用3.

均值n

易受極端值影響n

數(shù)學性質(zhì)優(yōu)良n

數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應用第40頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三第二節(jié)離散程度的測度集中趨勢只是數(shù)據(jù)分布的一個特征，它所反映的是各變量值向其中心值聚集的程度。數(shù)據(jù)的分散程度是數(shù)據(jù)分布的另一個重要特征，它所反映的是各變量值遠離其中心值的程度。集中趨勢的各測度值是對數(shù)據(jù)一般水平的一個概括性度量，它對一組數(shù)據(jù)的代表程度取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢的測度值對該組數(shù)據(jù)的代表性越差，離散程度越小，其代表性就越好。第41頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三一、分類數(shù)據(jù)：異眾比率異眾比率，“離異比率或變差比”，是指非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率，計算公式為：式中，為異眾比率；為變量值的總頻數(shù)；為眾數(shù)組的頻數(shù)。

第42頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三異眾比率的作用是衡量眾數(shù)對一組數(shù)據(jù)的代表程度。異眾比率越大，說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越大，眾數(shù)的代表性就越差；異眾比率越小，說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越小，眾數(shù)的代表性越好。主要用于測度分類數(shù)據(jù)的離散程度，當然，順序數(shù)據(jù)以及數(shù)值型數(shù)據(jù)也可以計算異眾比率。例題見P90例4.11。第43頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三二、順序數(shù)據(jù)：四分位差“內(nèi)距或四分間距”，計算公式為：QD=QU

–QL四分位差反映了中間50％數(shù)據(jù)的離散程度，其數(shù)值越小，說明中間的數(shù)據(jù)越集中；數(shù)值越大，說明中間的數(shù)據(jù)越分散。四分位差不受極值的影響，此外，由于中位數(shù)處于數(shù)據(jù)的中間位置，因此四分位差的大小在一定程度上也說明了中位數(shù)對一組數(shù)據(jù)的代表程度。四分位差主要用于測度順序數(shù)據(jù)的離散程度，當然對于數(shù)值型數(shù)據(jù)也可以計算四分位差，但不適合于分類數(shù)據(jù)。例題見P90例4.12。第44頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

三、數(shù)值型數(shù)據(jù)：方差及標準差測度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的方法主要有極差、平均差、方差和標準差，其中最常用的方法是方差和標準差。

第45頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（一）極差“全距”，它是總體中各單位標志的最大標志值與最小標志值之差。全距（R）＝最大標志值—最小標志值

極差是描述數(shù)據(jù)離散程度的最簡單測度值，計算簡單，易于理解，但它容易受極端值的影響。由于極差只是利用了一組數(shù)據(jù)兩端的信息，不能反映出中間數(shù)據(jù)的分散狀況，因而不能準確描述出數(shù)據(jù)的分散程度。第46頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（二）平均差“平均離差”，是各個標志值對算術(shù)平均數(shù)的離差的平均數(shù)。1．對于未分組數(shù)據(jù)：2．對于分組數(shù)據(jù)：例題見P91例4.13。第47頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

平均差以均值為中心，反映了每個數(shù)據(jù)與均值的平均差異程度，它能全面準確地反映一組數(shù)據(jù)的離散狀況。平均差越大說明數(shù)據(jù)的離散程度越大，反之則說明數(shù)據(jù)的離散程度越小。為了避免離差之和等于零而無法計算平均差這一問題，平均差在計算時對離差取絕對值，以離差的絕對值來表示總離差，這就給計算帶來不便。同時平均差在數(shù)學性質(zhì)上也不是最優(yōu)的，因此實際中應用較少。第48頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（三）方差和標準差方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)，是測度數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的最主要方法。樣本方差未分組數(shù)據(jù)：分組數(shù)據(jù)：第49頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三2.標準差：方差的平方根即為標準差。未分組數(shù)據(jù)：組距分組數(shù)據(jù)：第50頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三與方差不同的是，標準差是具有量綱的，它與變量值的計量單位相同，其實際意義要比方差清楚。因此在對實際問題進行分析時，更多使用標準差。例題見P93例4.14。

第51頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三方差或標準差也是根據(jù)全部數(shù)據(jù)計算的，它反映了每個數(shù)據(jù)與其均值相比平均相差的數(shù)值，因此它能準確反映出數(shù)據(jù)的離散程度。與平均差相比，方差在數(shù)學處理上是通過平方消去離差的正負號，更便于數(shù)學上的處理。因此，方差和標準差是實際中應用最廣泛的離散程度測度值。第52頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

四、相對位置的測量：標準分數(shù)

有了均值和標準差之后，可以計算一組數(shù)據(jù)中各個數(shù)值的標準分數(shù)，并可以用它來判斷一組數(shù)據(jù)中某個數(shù)據(jù)的相對位置。第53頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（一）標準分數(shù)“標準化值或z分數(shù)”，它是變量值與其平均數(shù)的離差除以標準差后的值，是對每個數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中相對位置的測量。

是常用的統(tǒng)計標準化公式，在對多個具有不同量綱的變量進行處理時，需要對各變量數(shù)值進行標準化處理。見P94例4.15。第54頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三標準分數(shù)具有均值為0、標準差為1的特性：

標準分數(shù)只是對原始數(shù)據(jù)進行了線性變化，它沒有改變一個數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中的位置，也沒有改變該組數(shù)據(jù)分布的形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標準差為1。

第55頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三

（二）經(jīng)驗法則經(jīng)驗法則表明：當一組數(shù)據(jù)對稱分布時

?

約有68%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減1個標準差的范圍之內(nèi)

?

約有95%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減2個標準差的范圍之內(nèi)

?

約有99%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)加減3個標準差的范圍之內(nèi)

第56頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三利用標準分數(shù)可以判斷一組數(shù)據(jù)中是否存在離群點或離群數(shù)據(jù)。如果一組數(shù)據(jù)中某個觀察值與其余觀察值相比大得反常或小得反常，這個觀察值就成為離群點或離群數(shù)據(jù)。

第57頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三離群點的產(chǎn)生可能是由于下述原因：

?

該觀測值被錯誤測量、記錄或輸入計算機

?該觀測值可能來自另一個總體

?該觀測值是正確的，不過它代表一個偶然事件。

第58頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三（三）切比雪夫不等式如果一組數(shù)據(jù)不是對稱分布，經(jīng)驗法則就不再使用，這時可使用切比雪夫不等式，它對任何分布形狀的數(shù)據(jù)都適用，提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”，對于任意分布形態(tài)的數(shù)據(jù)，根據(jù)切比雪夫不等式，至少有的數(shù)據(jù)落在k個標準差之內(nèi)。其中k是大于1的任意值，但不一定是整數(shù)。第59頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三對于k=2，3，4，該不等式的含義是至少有75%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減2個標準差的范圍之內(nèi)至少有89%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減3個標準差的范圍之內(nèi)至少有94%的數(shù)據(jù)落在平均數(shù)加減4個標準差的范圍之內(nèi)

第60頁，共66頁，2023年，2月20日，星期三五、相對離散程度：離散系數(shù)上面介紹的極差、平均差、方差和標準差等都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕