高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題31數(shù)列求和教學(xué)案理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)教學(xué)案

專題31數(shù)列求和1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式；2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法。1．求數(shù)列的前n項和的方法(1)公式法①等差數(shù)列的前n項和公式n（a＋a）n（n－1）S＝＝na＋d．1n22n1②等比數(shù)列的前n項和公式(ⅰ)當(dāng)q＝1時，S＝na；n1a（1－qn）a－aq1－q1－q(ⅱ)當(dāng)q≠1時，S＝＝.1n1n(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解．(3)裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項．(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．(5)錯位相減法主要用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程的推廣．(6)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如a＝n(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，S＝1002－992＋982－972＋…＋2－1＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.22n2．常見的裂項公式111＝－.(1)n（n＋1）nn＋1111＝－.n－12n＋11(2)（2n－1）（2n＋1）221(3)＝n＋1－n.n＋n＋1高頻考點一分組轉(zhuǎn)化法求和112例1、(2016·天津卷)已知{a}是等比數(shù)列，前n項和為S(n∈N)，且－＝，S＝63.aaann＋6123(1)求{a}的通項公式；n(2)若對任意的n∈N，b是loga和loga的等差中項，求數(shù)列{(－1)nb2}的前2n項和.＋n2n2n＋1n【方法規(guī)律】(1)若數(shù)列{c}的通項公式為c＝a±b，且{a}，為等差或等比數(shù)列，可nnnnnn采用分組求和法求數(shù)列{c}的前n項和.na，n為奇數(shù)，(2)若數(shù)列{c}的通項公式為c＝其中數(shù)列{a}，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，b，n為偶數(shù)，nnnnnn可采用分組求和法求{a}的前n項和.n11111【變式探究】(1)數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和S的值等于()248162nn11A.n2＋1－B.2n2－n＋1－22nn11C.n2＋1－D.n2－n＋1－22n－1nnπ(2)數(shù)列{a}的通項公式a＝ncos2，其前n項和為S，則S等于()nnn2016A.1008B.2016C.504D.0【答案】(1)A(2)A高頻考點二錯位相減法求和例2、(2016·山東卷)已知數(shù)列{a}的前n項和S＝3n2＋8n，是等差數(shù)列，且a＝b＋nnnnnb.n＋1(1)求數(shù)列的通項公式；n（a＋1）n＋1(2)令c＝.求數(shù)列{c}的前n項和T.n（b＋2）nnnnn【解析】(1)由題意知，當(dāng)n≥2時，a＝S－S＝6n＋5.nnn－1當(dāng)n＝1時，a＝S＝11，符合上式.11所以a＝6n＋5.設(shè)數(shù)列的公差為d，nna＝b＋b，11＝2b＋d，由112即1a＝b＋b，17＝2b＋3d，2231可解得b＝4，d＝3.所以b＝3n＋1.1n（6n＋6）n＋1(2)由(1)知，c＝＝3(n＋1)·2n＋1..（3n＋3）nn又T＝c＋c＋…＋c.n12n得T＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1].n2T＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2].n兩式作差，得－T＝3×[2×2＋2＋24＋…＋2－(n＋1)×2n＋2]23n＋1n4（1－2）n＝3×4＋－（n＋1）×2＝－3·2n＋2.nn＋21－2所以T＝3n·2n＋2.n【方法規(guī)律】(1)一般地，如果數(shù)列{a}是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列{a·b}的前nnnnn項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差n求解；(2)在寫出“S”與“qS”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出nn“S－qS”的表達式.nn【變式探究】已知{a}是遞增的等差數(shù)列，a，a是方程x2－5x＋6＝0的根.n24(1)求{a}的通項公式；na(2)求數(shù)列2的前n項和.nn高頻考點三裂項相消法求和例3、S為數(shù)列{a}的前n項和.已知a>0，a2＋2a＝4S＋3.nnnnnn(1)求{a}的通項公式；n1(2)設(shè)b＝，求數(shù)列的前n項和.aann＋1nn【方法規(guī)律】(1)利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項.(2)將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等.【變式探究】設(shè)S為等差數(shù)列{a}的前n項和，已知S＝a，a－2a＝3.nn3783(1)求a；n1(2)設(shè)b＝，求數(shù)列的前n項和為T.Snnnn【解析】(1)設(shè)數(shù)列{a}的公差為d，n3a＋3d＝a＋6d，由題意得11（a＋7d）－2（a＋2d）＝3，11解得a＝3，d＝2，1∴a＝a＋(n－1)d＝2n＋1.n1n（n－1）(2)由(1)得S＝na＋d＝n(n＋2)，2n11111n（n＋2）2nn＋2∴b＝＝－.n∴T＝b＋b＋…＋b＋bn12n－1nn－1n＋1nn＋211＋－1131111＝1－＋－＋…＋－2241122111＋－－n＋1n＋2＝3111＝－＋.n＋1n＋242.1n【舉一反三】在數(shù)列{a}中，a＝1，當(dāng)n≥2時，其前n項和S滿足S2＝aS－2n1nnn(1)求S的表達式；nSn(2)設(shè)b＝，求的前n項和T.2n＋1nnn1.【2016高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分）nnb2abb.an已知數(shù)列的前項和S=3+8，是等差數(shù)列，且nn1nnnnb（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；n(a1)n1cnT（Ⅱ）令cn.求數(shù)列的前項和.n(b2)nnnn【答案】（Ⅰ）b3n1；（Ⅱ）Tn3n2n2.n(6n6)n1(3n3)n（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn3(n1)2n1，又Tcccc，n123n(n1)2得T3[223242n1]，234n2T3[223324425(n1)2]，n2n兩式作差，得T3n2n2n所以1{}a【2015江蘇高考，11】數(shù)列{a}滿足a1，且aan1（nN*），則數(shù)列n1n1nn的前10項和為【答案】2011【解析】由題意得：a(aa)(aa)(aa)ann121n(n1)2nnn1n1n221112(11nn1),S2(1n12n,S102011an1)n1所以n【2015高考天津，理18】（本小題滿分13分）已知數(shù)列{a}滿足naqa(q為實數(shù)，且q1)，nN*,a1,a2，且n2n12aa,aa,aa成等差數(shù)列.423345(I)求q的值和{a}的通項公式；nloga2a2n1(II)設(shè)bn2n,nN*，求數(shù)列的前項和.nbnn12,n為奇數(shù),;(II)S4n2【答案】(I)an2.2n1nn22,n為偶數(shù).loga2nn(II)由(I)得bn2b，設(shè)數(shù)列的前項和為，則nSna2n1n2n1S112131n，122122n1n02兩式相減得11121111n2nn22n，22nnS1n1122222n12223nn整理得S4n22n1nn2所以數(shù)列b的前n項和為4,nN*.2nn1【2015高考四川，理16】設(shè)數(shù)列{a}的前n項和S2aa，且a,a1,a成等差數(shù)列.nnn1123（1）求數(shù)列{a}的通項公式；n（2）記數(shù)列{1}的前n項和T，求得|T1|1成立的n的最小值.a1000nnn【答案】（1）a2n；（2）10.n（2）由（1）得11a2n.n1[1(1)]n12111121所以Tn.1122222n2n23由|T1|1|11|11，得，即21000.n100021000nn251210001024210，因為9n10.所以1|T1|于是，使成立的n的最小值為10.1000n【2015高考新課標(biāo)1，理17】.已知n項和S為數(shù)列{a}的前a＞0，a2a=4S3.nnnnnn（Ⅰ）求{a}的通項公式；n1b（Ⅱ）設(shè)aa,求數(shù)列{}的前項和.bnnnnn1164n612n1（Ⅱ）【答案】（Ⅰ）a2a4S34a+3a0，所以n1【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，a2，因為n1=3，1111aaa2a4S34S3n1n2當(dāng)時，4an2=n=，即nnn1n1(aa)(aa)2(aa)a0aa，所以nn1nn1nn1nn1，因為n=2，an所以數(shù)列{}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，2n1；an所以=111(1(2n1)(2n3)22n12n3)，（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=n111[()()(235571111所以數(shù)列前n項和為bbb=2n12n3)]n12n11=64n6.1．（2014·江西卷）已知首項都是1的兩個數(shù)列{a}，(b≠0，n∈N*)滿足nnnab－ab＋2bb＝0.nn＋1n＋1nn＋1nan(1)令c＝，求數(shù)列{c}的通項公式；bnnn(2)若b＝3n－1，求數(shù)列{a}的前n項和S.nnn2．（2014·全國卷）等差數(shù)列{a}的前n項和為S.已知a＝10，a為整數(shù)，且S≤S.nn12n4(1)求{a}的通項公式；n1(2)設(shè)b＝，求數(shù)列的前n項和T.aann＋1nnn3．（2014·山東卷）已知等差數(shù)列{a}的公差為2，前n項和為S，且S，S，S成等比數(shù)nn124列．(1)求數(shù)列{a}的通項公式；n4nn－1aann＋1(2)令b＝(－1)n，求數(shù)列的前n項和T.nn2×1【解析】(1)因為S＝a，S＝2a＋×2＝2a＋2，2112114×3×2＝4a＋12，21S＝4a＋41由題意得(2a＋2)2＝a(4a＋12)，解得a＝1，1111所以a＝2n－1.n(2)由題意可知，4nb＝(－1)n－1aan＋1nn4n（2n－1）（2n＋1）＝(－1)n－112n－12n＋11＋.＝(－1)n－1當(dāng)n為偶數(shù)時，111112n－32n－12n－12n＋111T＝1＋－＋＋…＋＋－＋335n1＝1－2n＋12n＝.2n＋1當(dāng)n為奇數(shù)時，2n－32n－12n－12n＋11111335111T＝1＋－＋＋…－＋＋＋n1＝1＋2n＋12n＋2＝.2n＋1n2＋2，n為奇數(shù)，2n＋12n＋1＋（－1）n－1所以T＝或T＝2n＋1nnnn2，為偶數(shù).2n＋14．（2013·江西卷）正項數(shù)列{a}的前n項和S滿足：S－(n2＋n－1)S－(n2＋n)＝0.2nnnn(1)求數(shù)列{a}的通項公式a；nnn＋1(2)令b＝，數(shù)列的前n項和為T，證明：對于任意的n∈N*，都有T<.（n＋2）a564n22nnnn15．（2013·湖南卷）設(shè)S為數(shù)列{a}的前n項和，S＝(－1)na－，2n∈N*，則nnnnn(1)a＝________；3(2)S＋S＋…＋S＝________．100126．（2013·山東卷）設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項和為S，且S＝4S，a＝2a＋1.2nn42nn(1)求數(shù)列{a}的通項公式；na＋1(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為T，且T＋＝λ(λ為常數(shù))，令c＝b(n∈N*)，求數(shù)列n2nnnnn2n{c}的前n項和R.nn【解析】：(1)設(shè)等差數(shù)列{a}的首項為a，公差為d.1n由S＝4S，a＝2a＋12n42n4a＋6d＝8a＋4d，得11a＋（2n－1）d＝2a＋2（n－1）d＋1，11解得a＝1，d＝2，因此a＝2n－1，n∈N*.n1nnn－1n－2(2)由題意知T＝λ－2，所以n≥2時，b＝T－T＝－＋＝.222nn－1nnn－1n－1n－2n－1n－12n－2故c＝b＝2＝(n－1)1，n∈N*.4n2n2n－10123n－111111所以R＝0×＋1×＋2×＋3×＋…＋(n－1)×，44444n1則4R＝0×＋1×＋2×＋…＋(n－2)×23n－1n111111＋(n－1)×，44444n兩式相減得1234444n－1n1311114R＝＋＋＋…＋－(n－1)×4nn11－n1444＝－(n－1)×11－4n＝－，11＋3n133413n＋1整理得R＝4－.94nn－113n＋1所以數(shù)列{c}的前n項和R＝4－.94n－1nnS1.等差數(shù)列{a}的通項公式為a＝2n＋1，其前n項和為S，則數(shù)列的前10項的和為nnnnn()A.120B.70C.75D.100【答案】CSnS10×9n的前10項和為10×3＋＝275.n【解析】析因為＝n＋2，所以n2.數(shù)列{a}的前n項和為S，已知S＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，則S＝()nnn17A.9B.8C.17D.16【答案】A3.數(shù)列{a}的通項公式為a＝(－1)n－1·(4n－3)，則它的前100項之和S等于()nn100A.200B.－200【答案】BC.400D.－400【解析】析S＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋100(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4.已知數(shù)列5，6，1，－5，…，該數(shù)列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數(shù)列的前16項之和S等于()16A.5B.6C.7D.16【答案】C【解析】析根據(jù)題意這個數(shù)列的前7項分別為5，6，1，－5，－6，－1，5，6，發(fā)現(xiàn)從第7項起，數(shù)且周期為6，前6項和為5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因為16＝2×6＋4，所以這個數(shù)列的前16項之和S＝2×0＋7＝7.故選C.5.已知數(shù)列{a}滿足a＝1，a·a＝2n(n∈N)，則S＝()字重復(fù)出現(xiàn)，所以此數(shù)列為周期數(shù)列，16n1n＋1n＋2016A.22016－1C.3·21008－1【答案】BB.3·21008－3D.3·21007－22a1a·a2n＋1aa·a2n＝2.∴n＋2＝2.∴a，a，a，…成等比數(shù)列；【解析】a＝1，a＝＝2，又＝n＋1n＋2an12135n＋1na，a，a，…成等比數(shù)列，246∴S＝a＋a＋a＋a＋a＋a＋…＋a＋a201620161234562015＝(a＋a＋a＋…＋a)＋(a＋a＋a＋…＋a)135201524620161－210082（1－21008）＝3·21008－3.故選B.1－21－2＝＋6．在等差數(shù)列{a}中，a＞0，a·a＜0，若此數(shù)列的前10項和S＝36，前18項和S＝n11011101812，則數(shù)列{|a|}的前18項和T的值是________．n18【答案】60【解析】析由a＞0，a·a＜0可知d＜0，a＞0，a＜0，110111011∴T＝a＋…＋a－a－…－a181101118＝S－(S－S)＝60.1018107．整數(shù)數(shù)列{a}滿足a＝a－a(n∈N*)，若此數(shù)列的前800項的和是2013，前813項nn＋2n＋1n的和是2000，則其前2015項的和為________．【答案】－1318．已知正項數(shù)列{a}的前n項和為S，?n∈N*,2S＝a2＋a，令b＝，設(shè)aa＋aannnnnnnnn＋1n＋1{b