有限元分析及應(yīng)用演示文稿

有限元分析及應(yīng)用演示文稿目前一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點第一章有限元法簡介2目前二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點有限元法介紹有限元法的基本思想是將結(jié)構(gòu)離散化，用有限個容易分析的單元來表示復(fù)雜的對象，單元之間通過有限個結(jié)點相互連接，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件綜合求解。由于單元的數(shù)目是有限的，結(jié)點的數(shù)目也是有限的，所以稱為有限元法(FEM，F(xiàn)initeElementMethod)。3目前三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點有限元法是最重要的工程分析技術(shù)之一。它廣泛應(yīng)用于彈塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域。有限元法是60年代以來發(fā)展起來的新的數(shù)值計算方法，是計算機時代的產(chǎn)物。雖然有限元的概念早在40年代就有人提出，但由于當(dāng)時計算機尚未出現(xiàn)，它并未受到人們的重視。4目前四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，有限元法在各個工程領(lǐng)域中不斷得到深入應(yīng)用，現(xiàn)已遍及宇航工業(yè)、核工業(yè)、機電、化工、建筑、海洋等工業(yè)，是機械產(chǎn)品動、靜、熱特性分析的重要手段。早在70年代初期就有人給出結(jié)論：有限元法在產(chǎn)品結(jié)構(gòu)設(shè)計中的應(yīng)用，使機電產(chǎn)品設(shè)計產(chǎn)生革命性的變化，理論設(shè)計代替了經(jīng)驗類比設(shè)計。5目前五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展牛頓(Newton)萊布尼茨(LeibnizG.W.)6目前六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點大約在300年前，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運算具有整體對局部的可加性。雖然，積分運算與有限元技術(shù)對定義域的劃分是不同的，前者進行無限劃分而后者進行有限劃分，但積分運算為實現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了一個理論基礎(chǔ)。7目前七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在牛頓之后約一百年，著名數(shù)學(xué)家高斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法。這兩項成果的前者被用來將微分方程改寫為積分表達式，后者被用來求解有限元法所得出的代數(shù)方程組。高斯(Gauss)8目前八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在18世紀(jì)，另一位數(shù)學(xué)家拉格朗日提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達式的另一途徑。拉格朗日(LagrangeJ.)9目前九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在19世紀(jì)末及20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家瑞利和里茲（RayleighRitz）首先提出可對全定義域運用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。瑞利(Rayleigh)10目前十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點1915年，數(shù)學(xué)家伽遼金(Galerkin)提出了選擇展開函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法，該方法被廣泛地用于有限元。1943年，數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用展開函數(shù)來表達其上的未知函數(shù)。這實際上就是有限元的做法。11目前十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點12（對象、變量、方程、求解途徑）各力學(xué)學(xué)科分支的關(guān)系目前十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點13目前十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(1)橋梁隧道問題14任意變形體力學(xué)分析的基本變量及方程研究對象：任意形狀的變形體幾種典型的對象目前十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點圓形隧道三維模型15目前十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(2)中華和鐘(3)礦山機械16目前十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(4)壓力容器的成形17目前十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點變形體及受力情況的描述18目前十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點求解方法19目前十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點有限元方法的思路及發(fā)展過程思路：以計算機為工具，分析任意變形體以獲得所有力學(xué)信息，并使得該方法能夠普及、簡單、高效、方便，一般人員可以使用。實現(xiàn)辦法：20目前二十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點技術(shù)路線：21目前二十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點發(fā)展過程：如何處理對象的離散化過程22目前二十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點......常用單元的形狀點(質(zhì)量)線(彈簧，梁，桿，間隙)面(薄殼,二維實體,軸對稱實體)二次體(三維實體)線性二次..線性..............................23目前二十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點點單元線單元一維波傳導(dǎo)問題24目前二十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點點單元線單元25目前二十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點面單元28目前二十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點29目前二十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點30目前二十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點受垂直載荷的托架31目前二十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點線性單元/二次單元更高階的單元模擬曲面的精度就越高。低階單元更高階單元體單元32目前三十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點

有限元分析的作用復(fù)雜問題的建模簡化與特征等效軟件的操作技巧（單元、網(wǎng)格、算法參數(shù)控制）計算結(jié)果的評判二次開發(fā)工程問題的研究誤差控制36目前三十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點第二章有限元分析的力學(xué)基礎(chǔ)目前三十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點2.1變形體的描述與變量定義(1)變形體

變形體：即物體內(nèi)任意兩點之間可發(fā)生相對移動。有限元方法所處理的對象：任意變形體38目前三十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(2)基本變量的定義可以用以下各類變量作為任意變形體的描述因此，在材料確定的情況下，基本的力學(xué)變量應(yīng)該有：位移、應(yīng)變、應(yīng)力量39目前三十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點目的：對彈性體中的位移、應(yīng)力、應(yīng)變進行定義和表達，進而建立平衡方程、幾何方程和材料物理方程(3)研究的基本技巧采用微小體積元dxdydz的分析方法（針對任意變形體）40目前三十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點2.2彈性體的基本假設(shè)為突出所處理的問題的實質(zhì)，并使問題簡單化和抽象化，在彈性力學(xué)中，特提出以下幾個基本假定。物質(zhì)連續(xù)性假定：物質(zhì)無空隙，可用連續(xù)函數(shù)來描述；物質(zhì)均勻性假定：物體內(nèi)各個位置的物質(zhì)具有相同特性；物質(zhì)(力學(xué))特性各向同性假定：物體內(nèi)同一位置的物質(zhì)在各個方向上具有相同特性；線性彈性假定：物體的變形與外來作用的關(guān)系是線性的，外力去除后，物體可恢復(fù)原狀；小變形假定：物體變形遠小于物體的幾何尺寸，在建立方程時，可以高階小量（二階以上）。以上基本假定將作為問題簡化的出發(fā)點。41目前三十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點2.3基本變量的指標(biāo)表達指標(biāo)記法的約定：自由指標(biāo)：在每項中只有一個下標(biāo)出現(xiàn)，如，i，j為自由指標(biāo)，它們可以自由變化；在三維問題中，分別取為1，2，3；在直角坐標(biāo)系中，可表示三個坐標(biāo)軸x,y,z。啞指標(biāo)：在每項中有重復(fù)下標(biāo)出現(xiàn)，如：，j為啞指標(biāo)。在三維問題中其變化的范圍為1,2,342目前三十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點Einstein求和約定：啞指標(biāo)意味著求和指標(biāo)記法的應(yīng)用：對于方程組按一般的寫法，可寫為若用指標(biāo)記法：(2-3)式與(2-2)式等價，因為j為啞指標(biāo)，意味著求和（2-1）（2-2）（2-3）43目前三十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點克羅內(nèi)克符號在笛卡爾直角坐標(biāo)系下，由表示的Kronecker(克羅內(nèi)克)符號定義為亦即44目前三十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點那么，矩陣=

是單位矩陣。根據(jù)上述定義，可以推出下列關(guān)系45目前四十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點彈性力學(xué)里假想把物體分成無限多微小六面體，稱為微元體?？紤]任一微元體的平衡（或運動），可寫出一組平衡（或運動）微分方程及邊界條件。但未知應(yīng)力的數(shù)目總是超過微分方程的數(shù)目，所以彈性力學(xué)問題都是超靜定的，必須同時考慮微元體的變形條件以及應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系，它們在彈性力學(xué)中相應(yīng)的稱為幾何方程和物理方程。平衡（或運動）方程、幾何方程和物理方程以及邊界條件，稱為彈性力學(xué)的基本方程。2.4彈性力學(xué)的基本方法46目前四十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點從取微元體入手，綜合考慮靜力（或運動）、幾何、物理三方面條件，得出其基本微分方程，再進行求解，最后利用邊界（表面）條件確定解中的常數(shù)，這就是求解彈性力學(xué)問題的基本方法。47目前四十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點2.5空間問題的基本方程dydxdz48目前四十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點3D情形下的力學(xué)基本變量將正應(yīng)力和正應(yīng)變簡寫成49目前四十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點a’bb’aa’dd’cc’xyxyyxyxyzyzzyzyzxzxxzxz50目前四十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由力平衡條件有：化簡得到平衡微分方程51目前四十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點平衡微分方程的矩陣形式為其中，是微分算子

式中，b是體積力向量，

52目前四十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由力矩平衡條件有：全式除以dxdydz，合并相同的項，得略去微量項，得剪切力互等定律53目前四十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點二維問題：平衡微分方程剪切力互等定律54目前四十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點應(yīng)力邊界條件四面微分體Mabc

55目前五十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點斜微分面abc為其邊界面的一部分，其外法線N與各坐標(biāo)軸夾角的余弦為cos(N，x)=l，cos(N，y)=m，cos(N，z)=n。從M點到斜微分面abc的垂直距離dh（圖中未標(biāo)出），是四面微分體的高。56目前五十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點四面微分體的體積為假定斜微分面abc上作用的面力在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為體積力分量為X、Y、Z。

設(shè)斜微分面的面積為dA，則其它三個微分面的面積為Mac=dA×l，Mab=dA×m，Mcb=dA×n。

57目前五十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點考慮將上式除以dA，并注意到體積力項當(dāng)令dh→0取極限時，體積力一項趨于零。由此得到考慮考慮應(yīng)力邊界條件58目前五十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點二維問題：應(yīng)力邊界條件59目前五十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點圣維南原理（局部影響原理）物體表面某一小面積上作用的外力，如果為一靜力等效的力系所代替，只能產(chǎn)生局部應(yīng)力的改變，而在離這一面積稍遠處，其影響可以忽略不計。60目前五十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點61目前五十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點62目前五十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點均勻分布載荷作用下的平板，應(yīng)力分布是均勻的。材料力學(xué)中的拉伸應(yīng)力計算公式就是圣維南原理應(yīng)用的結(jié)論。63目前五十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點一對集中力F/2作用點區(qū)域仍然有比較大的應(yīng)力梯度變化，但是比等效力系F作用的變化小。遠離力的作用點區(qū)域，應(yīng)力分布仍然均勻。而且均勻區(qū)域更大。64目前五十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點幾何方程：位移與應(yīng)變的關(guān)系B1A1θ1θ265目前六十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點設(shè)P點的位移分量為u和v，由于坐標(biāo)x有一增量dx，A點的位移較P點的位移也有一相應(yīng)的增量，從而A點的位移分量為：。

同理，B點的位移分量為：66目前六十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在小變形的前提下，∠A’P’A1很小，可以認(rèn)為，線段PA位移后的絕對伸長，可以用線段兩端點沿x軸的位移之差來表示，即：。

從而線段PA的正應(yīng)變?yōu)椋骸?/p>

同理線段PB的正應(yīng)變?yōu)椋骸?/p>

67目前六十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點對于三維情況的微分體，可以得到：因此，可以總結(jié)為：68目前六十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點下面，研究線段PA與PB間所夾直角的變化，即剪應(yīng)變γ

xy。這個剪應(yīng)變由兩部分組成，一部分是與x軸相平行的PA向y軸方向的轉(zhuǎn)角θ1；另一部分是與y軸平行的線段PB向x軸方向的轉(zhuǎn)角θ2

。在小變形情況下69目前六十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點上式分母中的，可以略去。從而上式可簡寫為：同樣可得：線段PA與PB間的剪應(yīng)變γ

xy等于θ1與θ2

之和：70目前六十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點至此，我們得到了六個應(yīng)變分量與三個位移分量間的全部關(guān)系式：稱為幾何方程71目前六十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點幾何方程式的矩陣形式為為微分算子其中的轉(zhuǎn)置

72目前六十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點變形連續(xù)方程由幾何方程可知，六個應(yīng)變分量完全由三個位移分量u，v，w對x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)所確定。因此，六個應(yīng)變分量不會是互不相關(guān)的x，y，z的函數(shù)，相互之間必存在一定的關(guān)系。

73目前六十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點從物理意義方面講，物體在變形前是連續(xù)的，而在變形后仍是連續(xù)的。若六個應(yīng)變分量互不相關(guān)，則每個微分體的變形是任意的，從而將使變形后的各微分體間出現(xiàn)“撕裂”或“重疊”，這顯然與實際情況不符。要使物體變形后仍為連續(xù)的，六個應(yīng)變分量間必滿足一定的關(guān)系。下面推導(dǎo)這些關(guān)系。74目前六十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點六個應(yīng)變分量間的關(guān)系，可以分為兩組。第一組分別求對y，x的二階導(dǎo)數(shù)，得將上兩式相加，得這就是應(yīng)變分量間的一個關(guān)系式。75目前七十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將x，y，z循環(huán)替換，可以得到與組成了第一組的三個關(guān)系式。76目前七十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點第二組分別求對z，x，y的導(dǎo)數(shù)，得77目前七十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將第二和第三式相加，減去第一式，得再求上式對z的導(dǎo)數(shù)：78目前七十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將x，y，z循環(huán)替換，可以得到與組成了第二組的三個關(guān)系式。上述六個微分關(guān)系式稱為變形連續(xù)方程。79目前七十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點對于二維問題，由于幾何方程簡化為：由于只存在以上三個應(yīng)變分量，且都僅為x和y的函數(shù)，則變形連續(xù)方程僅剩有

80目前七十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點物理方程前邊對物體的應(yīng)力和變形分別進行了討論。這種分析適用于任何變形體，即所得出的一些結(jié)論和公式與物體的物理性質(zhì)無關(guān)。但僅有應(yīng)力和應(yīng)變的分析還不能解決問題，還必須進一步研究應(yīng)力和應(yīng)變間的物理關(guān)系。81目前七十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由簡單的軸向拉伸試驗可知，在單向應(yīng)力狀態(tài)下，處于彈性階段時，應(yīng)力應(yīng)變呈線性關(guān)系，即σx=Eεx其中E為材料的彈性模量。這就是虎克定律。

彈塑性范圍斜率,E彈性范圍應(yīng)力應(yīng)變82目前七十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點工程上，一般將應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系表示為稱它們?yōu)槲锢矸匠蹋◤V義虎克定律）。83目前七十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點式中，E為彈性模量，

μ為泊松比，G為剪切彈性模量，而且三者之間有如下的關(guān)系：這些彈性常數(shù)不隨應(yīng)力的大小而改變，不隨位置坐標(biāo)而改變，也不隨方向而改變。因為我們曾假設(shè)物體是完全彈性的、均勻的，而且是各向同性的。84目前七十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點物理方程用六個應(yīng)力分量表示六個應(yīng)變分量。當(dāng)然也可以用應(yīng)變分量來表示應(yīng)力分量。由上頁的關(guān)系式及物理方程可以推出：85目前八十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點若令代表應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣，則應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可寫成矩陣形式86目前八十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中稱為彈性矩陣，由彈性常數(shù)E和

μ決定。87目前八十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由廣義虎克定律，有二維平面應(yīng)力情況下的物理方程：物理方程逆形式88目前八十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點彈性問題中的能量表示彈性問題中的自然能量包括兩類：

外力功

應(yīng)變能（以位移為基本變量的表達）或應(yīng)變余能（以應(yīng)力為基本變量的表達）出于研究的需要，還要定義一些由自然能量所組合的物理量，如勢能（以位移為基本變量的表達）、余能（以應(yīng)力為基本變量的表達）等。89目前八十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點外力功由于外力又包括作用在物體上的面力和體力，則外力功包括這兩部分力所作的功。Part1：外力（面力）在對應(yīng)位移ui上所作的功（onSp）Part2：體積力在對于位移ui上所作的功（in）90目前八十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點則外力總功為應(yīng)變能3D情形下變形體應(yīng)力與應(yīng)變的對應(yīng)變量為91目前八十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其變形能包括兩個部分：Part1：對應(yīng)于正應(yīng)力與正應(yīng)變的變形能Part2：對應(yīng)于剪應(yīng)力與剪應(yīng)變的變形能正應(yīng)力和正應(yīng)變?nèi)鐖D所示，在xoy平面內(nèi)考察應(yīng)變能，這時微體的厚度為dz，設(shè)微體dxdydz上只作用有與，則由（可由試驗所得）的關(guān)系求得的微體上的變形能為92目前八十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點93目前八十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點則整個物體上與所產(chǎn)生的變形能剪應(yīng)力和剪應(yīng)變先考察一對剪應(yīng)力和剪應(yīng)變（如圖所示），此時微體的厚度為dz，設(shè)微體dxdydz上只作用與,則由與作用，在微體上產(chǎn)生的能量94目前八十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點95目前九十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點則整個物體上與所產(chǎn)生的變形能整體變形能由疊加原理，將所有方向的正應(yīng)力應(yīng)變和剪應(yīng)力應(yīng)變所產(chǎn)生的變形能相加，可得整體變形能96目前九十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點勢能定義系統(tǒng)的勢能為97目前九十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點平面應(yīng)變與平面應(yīng)力問題任何構(gòu)件都占有三度空間，在載荷或溫度變化等的作用下，物體內(nèi)產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移必然是三向的。一般說來，它們都是三個坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。這樣的問題稱為彈性力學(xué)空間問題。98目前九十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點當(dāng)構(gòu)件形狀有某些特點，并且受到特殊的分布外力作用或溫度變化影響，某些空間問題可以簡化為彈性力學(xué)的平面問題。這些問題中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移僅為兩個坐標(biāo)（如x、y）的函數(shù)。平面問題可以進而分為平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力問題兩大類。99目前九十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點平面應(yīng)變設(shè)一構(gòu)件（如圖），其縱向（z）尺寸遠大于橫向（x，y）尺寸，且與縱軸垂直的各截面都相同；受到垂直于縱軸但不沿長度變化的外力（包括體積力X、Y，同時有Z=0）的作用，而且約束條件也不沿長度變化。100目前九十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點這時，可以把構(gòu)件在縱向作為無限長看待。因此，任一橫截面都可以視為對稱面，其上各點就不會產(chǎn)生沿z向的位移，而沿x、y方向的位移也與坐標(biāo)z無關(guān)。則有u=u(x,y),v=v(x,y),w=0顯然，在這種條件下構(gòu)件所有橫截面上對應(yīng)點（x、y坐標(biāo)相同）的應(yīng)力、應(yīng)變和位移是相同的。這樣，我們只需從構(gòu)件中沿縱向截出單位厚度的薄片進行分析，用以代替整個構(gòu)件的研究。101目前九十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在工程和機械中，許多結(jié)構(gòu)或構(gòu)件屬于這一類問題。如直的堤壩和隧道；圓柱形長管受到內(nèi)水（油）壓力作用；圓柱形長輥軸受到垂直于縱軸的均勻壓力等，均可近似的視為平面應(yīng)變問題。102目前九十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點還有一種情況，當(dāng)構(gòu)件的縱向尺寸不很大但兩端面被剛性光滑面固定，不能發(fā)生縱向位移時，若其他條件與上面所述相同，也屬于平面應(yīng)變問題。通常，只要是長的等直柱體或板，受到垂直于其縱軸而且沿長度方向無變化的載荷作用時，都可以簡化為平面應(yīng)變問題。下面是這種情況下的應(yīng)力、應(yīng)變以及彈性力學(xué)的基本方程式。103目前九十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由幾何方程中應(yīng)變分量和位移函數(shù)的關(guān)系及位移公式，得不等于零的三個應(yīng)變分量是εx、εy和γxy，而且應(yīng)變僅發(fā)生在與坐標(biāo)面xoy平行的平面內(nèi)。104目前九十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將，代入物理方程得將代入物理方程得在z軸方向沒有應(yīng)變，但其應(yīng)力σz并不為零。105目前一百頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將代入物理方程得106目前一百零一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點如果用應(yīng)變分量來表示應(yīng)力分量，則有由上面的分析可知，獨立的應(yīng)力分量只有

σx、σy

和txy

三個。107目前一百零二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點平面應(yīng)力對于具有如下特征的構(gòu)件，可作為平面應(yīng)力問題處理。(1)物體沿一個坐標(biāo)方向的尺寸(如沿z軸方向)遠小于沿其它兩個方向的尺寸，如圖所示的等厚度薄板；(2)外力作用在周邊上，并與xoy面平行，板的側(cè)面沒有外力，體積力垂直于z軸；(3)由于板的厚度很小，故外載荷面積力和體積力都可看作是沿z軸方向均勻分布，并且為常量。

108目前一百零三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點體積力沿板厚不變，且沿z軸方向的分力Z=0。在板的前后表面上沒有外力作用。即時109目前一百零四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在平面應(yīng)力問題中，認(rèn)為等于零，但沿z軸的應(yīng)變不等于零。這與平面應(yīng)變的情況剛好相反。將代入物理方程，有

由于認(rèn)為板內(nèi)，將其代入物理方程，則有110目前一百零五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點于是，物理方程的另外三式成為如果用應(yīng)變分量來表示應(yīng)力分量，上面三式變?yōu)?11目前一百零六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點比較兩類平面問題的物理方程：平面應(yīng)力平面應(yīng)變112目前一百零七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點這里，分別為應(yīng)力矩陣、應(yīng)變矩陣。矩陣[D]稱為彈性矩陣。如果用和分別代換平面應(yīng)力物理方程各式中的E和μ，就得到平面應(yīng)變物理方程，因此，我們可以將兩類平面問題的物理方程寫成統(tǒng)一的格式，用矩陣方程表示為113目前一百零八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點對于平面應(yīng)力問題，彈性矩陣為對于平面應(yīng)變問題的彈性矩陣，只須在上式中，以代E，代μ即可。114目前一百零九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點算例已知平面應(yīng)變問題中某一三角形三結(jié)點單元剛度子陣為：試根據(jù)兩類平面問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系寫出該子陣對應(yīng)平面應(yīng)力問題的剛度子陣。115目前一百一十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點用代E，用代u。得到平面應(yīng)力問題的剛度子陣：116目前一百一十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點平面問題的解法彈性力學(xué)平面問題有兩個平衡微分方程，三個幾何方程，三個物理方程。共有八個方程，其中含有三個應(yīng)力分量，三個應(yīng)變分量，兩個位移分量u和v，共八個未知函數(shù)。從數(shù)學(xué)的觀點來看，有足夠的方程來求解這些未知函數(shù)，問題是可解的。我們要求出八個未知函數(shù)，使其滿足八個方程，同時還必須滿足全部（應(yīng)力及位移）的邊界條件。117目前一百一十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點如前所述，在一定的邊界條件下求解基本方程，可以采用兩種基本方法：一是位移法；另一種是應(yīng)力法。1.位移法把兩個位移分量u(x,y),v(x,y)作為基本未知函數(shù)。為此，必須利用物理方程和幾何方程，將應(yīng)力分量用位移分量表示出來。118目前一百一十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點對于平面應(yīng)力問題，有物理方程將幾何方程代入以上各式，得119目前一百一十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點再將上式帶入平衡微分方程，簡化后，即得120目前一百一十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點這就是用位移分量表示的平衡微分方程。將代入應(yīng)力邊界條件121目前一百一十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件：位移邊界條件：由此可見，用位移法求解平面應(yīng)力問題，歸結(jié)為求解平衡微分方程，并在邊界上滿足邊界條件。122目前一百一十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點如果所求的問題直接給出了邊界上的位移，則應(yīng)使得到的位移分量滿足位移邊界條件。求出位移分量后，即可用幾何方程求得應(yīng)變分量，再由物理方程求出應(yīng)力分量。對于平面應(yīng)變問題，只需將上面各方程中的E換為，將μ換為。123目前一百一十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點2.應(yīng)力法對于彈性力學(xué)平面問題，往往已知構(gòu)件所承受的載荷。一般以應(yīng)力作為基本未知量較為方便，因此應(yīng)力法應(yīng)用較為廣泛。在這里以三個應(yīng)力分量、和為基本未知函數(shù)，需要運用平衡微分方程變形連續(xù)方程共同決定這三個未知函數(shù)。124目前一百一十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在這三個方程中，兩個平衡方程已經(jīng)用應(yīng)力表示了，尚需將應(yīng)變表示的變形連續(xù)方程改為用應(yīng)力來表示，為此，將物理方程或代入變形連續(xù)方程即可。125目前一百二十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點進一步可由物理方程求應(yīng)變，再通過幾何方程把所得結(jié)果再與平衡方程聯(lián)立求解，即可得出三個應(yīng)力分量，同時使它們滿足邊界條件求位移，使其滿足位移邊界條件。126目前一百二十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點第三章有限元分析的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)目前一百二十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點3.1簡單問題的解析求解3.1.11D拉壓桿問題一個左端固定的拉桿在其右端承受一外力P，該拉桿的長度為l，橫截面積為A，彈性模量為E，如圖所示。128目前一百二十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點（1）基本變量由于該問題是為沿x方向的一維問題，因此只有沿x方向的變量，而其它變量為零。即129目前一百二十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點（2）基本方程對原三維問題的所有基本方程進行簡化，只保留沿x方向的方程，有該問題的三大基本方程和邊界條件如下：①130目前一百二十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點②③④⑤131目前一百二十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點（3）求解對方程①②③進行直接求解，可得到以下結(jié)果⑥132目前一百二十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中c和c1為待定常數(shù)，由邊界條件BC④和⑤，可求出⑥中的常數(shù)c1=0，因此，有最后的結(jié)果：⑦133目前一百二十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點（4）討論1若用經(jīng)驗方法求解（如材料力學(xué)的方法），則需先作平面假設(shè)，即假設(shè)為均勻分布，則可得到⑧再由虎克定律可算出⑨134目前一百二十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點再計算右端的伸長量為⑩經(jīng)驗方法求解的結(jié)果⑧⑨⑩與彈性力學(xué)解析的結(jié)果⑦完全一致。135目前一百三十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點（5）討論2該問題有關(guān)能量的物理量的計算為應(yīng)變能外力功勢能136目前一百三十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點3.1.2平面梁的彎曲問題受分布載荷的簡支梁如圖所示，由于簡支梁的厚度較薄，外載沿厚度方向無變化，該問題可以認(rèn)為是一平面問題（xoy）137目前一百三十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點（1）基本方程的建立描述該變形體同樣應(yīng)有三大方程和兩類邊界條件，有以下兩種方法來建立基本方程。用彈性力學(xué)中dxdy微體建模方法推導(dǎo)三大方程用簡化的“特征建模”方法推導(dǎo)三大方程。下面給出簡化的“特征建?！狈椒ǖ耐茖?dǎo)過程，其思想是用工程宏觀特征量進行描述。138目前一百三十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點基本變量139目前一百三十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點下面取具有全高度梁的dx”微段”來推導(dǎo)三大方程140目前一百三十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點針對圖中“微段”，應(yīng)有三個平衡方程，由，有其中，y為距梁中性層的坐標(biāo)。由，有，即-141目前一百三十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由，有，即由變形后的幾何關(guān)系，可得到其中，y為距中性層的坐標(biāo)，為梁撓度的曲率，即142目前一百三十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由虎克定律對以上方程進行整理，有描述平面梁彎曲問題的基本方程將原始基本變量定為中性層的撓度v(x)，則可求出其它參量。143目前一百三十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點該簡支梁的邊界為梁的兩端，作用在梁上的q(x)已在平衡方程中考慮，因此不作為力的邊界條件。兩端位移兩端力（彎矩）144目前一百三十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將彎矩以撓度的二階導(dǎo)數(shù)來表示，即（2）求解若用基于dxdy微體所建立的原始方程（即原平面應(yīng)力問題中的三大類方程）進行直接求解，比較麻煩，并且很困難，若用基于以上簡化的“特征建模”方法所得到的基本方程進行直接求解則比較簡單，對本例問題（如為均勻分布），其方程為：145目前一百四十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點這是一個常微分方程，其解的形式有146目前一百四十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中c0……c3為待定系數(shù)，可由四個邊界條件BC求出，最后有結(jié)果（3）討論該問題有關(guān)能量的物理量計算為：應(yīng)變能147目前一百四十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點外力功勢能148目前一百四十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點第四章桿梁結(jié)構(gòu)的有限元分析原理目前一百四十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點本章提到的FEM即有限元方法(FiniteElementMethod)FEA即有限元分析(FiniteElementAnalysis)4.1一個簡單結(jié)構(gòu)FEA求解的完整過程一個階梯形狀的二桿結(jié)構(gòu)如圖所示，其材料的彈性模量和結(jié)構(gòu)尺寸如下：150目前一百四十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點該結(jié)構(gòu)由兩根桿件組成，作為一種直覺，需要研究相應(yīng)的“特征結(jié)構(gòu)”，即桿單元，將該“特征結(jié)構(gòu)”抽象為具有兩個結(jié)點的單元，如下圖所示。151目前一百四十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點e下面考察該簡單問題的FEA求解過程。(1)離散化兩個桿單元，即：單元①和單元②152目前一百四十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(2)單元的特征及表達對于二結(jié)點桿單元，設(shè)該單元的位移場為，那么它的兩個結(jié)點條件為設(shè)該單元的位移場具有模式（考慮兩個待定系數(shù)）153目前一百四十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點利用結(jié)點條件，可以確定系數(shù)a0和a1，即將系數(shù)a0和a1代入，可將表達成結(jié)點位移(u1,u2)的關(guān)系，即154目前一百四十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中由一維問題幾何方程和物理方程，則該單元的應(yīng)變和應(yīng)力為155目前一百五十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中156目前一百五十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點單元的勢能其中叫做單元剛度矩陣。目前一百五十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點叫做單元結(jié)點外載。在得到“特征單元”的單元剛度矩陣和單元結(jié)點外載后，就可以計算該單元的勢能，因此，計算各單元的矩陣和是一個關(guān)鍵，下面就本題給出了個單元的和。目前一百五十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點具體就單元①，有單元①的結(jié)點位移向量單元①的剛度矩陣單元①的結(jié)點外載其中P1為結(jié)點1的支反力。目前一百五十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點具體就單元②，有單元②的剛度矩陣單元②的結(jié)點外載單元②的結(jié)點位移向量目前一百五十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(3)裝配集成以得到系統(tǒng)的總體勢能計算整體的勢能目前一百五十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(4)處理位移邊界條件并求解由圖可知，其邊界條件為左端固定，即u1=0，將該條件代入總體勢能公式，有這時由全部結(jié)點位移[0u2

u3]分段所插值出的位移場為全場許可位移場。目前一百五十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由最小勢能原理（即針對未知位移u2和u3求一階導(dǎo)數(shù)），有可解出目前一百五十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(5)計算每個單元的應(yīng)變及應(yīng)力在求得了所有的結(jié)點位移后，由幾何方程可求得各單元的應(yīng)變目前一百五十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由方程可求得各單元的應(yīng)力目前一百六十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(6)求結(jié)點1的支反力就單元①的勢能，對相應(yīng)的結(jié)點位移求極值，可以建立該單元的平衡方程，即有則結(jié)點1的外力為：目前一百六十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(7)討論如果我們在處理位移邊界條件之前，先對總勢能取極值，有在上述方程的基礎(chǔ)上，再處理位移邊界條件(BC)，即令u1=0，即可從上述方程求出u2，u3和P1，其求解的值與前面的結(jié)果完全相同。目前一百六十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點這就給我們提供了一個方便，即，可以先進行各單元的裝配集成，以形成該系統(tǒng)的整體極值方程，類似于上頁的式子，最后才處理位移邊界條件，同時也可以通過該整體方程直接求出支反力。這樣可以適應(yīng)更多的邊界條件工況，更具有通用性。目前一百六十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點4.2有限元分析的基本步驟和表達式從上面的簡單實例中，可以總結(jié)出有限元分析的基本思路（以桿單元為例）：目前一百六十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點

單元的位移（場）模式（唯一確定性原則，完備性原則）基本步驟及相應(yīng)的表達式(1)物體幾何的離散化

單元的結(jié)點描述為具有特征的單元。(2)單元的研究（所有力學(xué)信息都用結(jié)點位移來表達）為幾何位置坐標(biāo)。目前一百六十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點

所有物理量的表達（所有力學(xué)量都用結(jié)點位移來表達）其中目前一百六十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點

單元的平衡關(guān)系上式的實質(zhì)（物理含義）是對應(yīng)于單元體內(nèi)的力平衡和單元結(jié)點上的力平衡。(3)裝配集成

整體平衡關(guān)系目前一百六十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中(4)處理BC并求解結(jié)點位移目的是獲得滿足位移邊界條件的許可位移場。其中，qu為未知結(jié)點位移，qk為已知結(jié)點位移，Pu為未知結(jié)點力（即支反力），Pk為已知結(jié)點力。目前一百六十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將上頁方程代入以下兩個方程表達式：可以先由（1）式直接求出未知結(jié)點位移：（1）（2）目前一百六十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(5)求支反力(6)其它力學(xué)量的計算在求出未知結(jié)點位移qu后，由上頁的(2)式可求出支反力單元和整體的應(yīng)變及應(yīng)力目前一百七十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點4.3桿單元及坐標(biāo)變換4.3.1局部坐標(biāo)系中的單元描述局部坐標(biāo)系中的桿單元目前一百七十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點上圖所示的桿單元，設(shè)有兩個端結(jié)點(Node1和Node2)，結(jié)點位移向量和結(jié)點力向量為利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢能計算公式，可以將單元的所有力學(xué)參數(shù)（場變量）(和)用結(jié)點位移向量來表示。目前一百七十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(1)單元位移場ue(x)的表達由于有兩個結(jié)點位移條件，可假設(shè)該單元的位移場為具有兩個待定系數(shù)的函數(shù)模式，即其中a0和a1為待定系數(shù)。由該單元的結(jié)點位移條件目前一百七十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點可求出上頁的a0和a1，則可重新寫成其中，叫做單元的形狀函數(shù)矩陣，即目前一百七十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由彈性力學(xué)中的幾何方程（這里為一維問題）有(2)單元應(yīng)變場的表達其中叫做單元的幾何函數(shù)矩陣，即目前一百七十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由彈性力學(xué)中的物理方程，有(3)單元應(yīng)力場的表達其中，為該單元的彈性模量，叫做單元的應(yīng)力函數(shù)矩陣，即目前一百七十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(4)單元勢能的表達其中，叫做單元的剛度矩陣，即目前一百七十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(5)單元的剛度方程由最小勢能原理（針對該單元），將對待定的結(jié)點位移向量取一階極小值，有這就是單元的剛度方程，由最小勢能原理的性質(zhì)（系統(tǒng)的勢能最小可推導(dǎo)出力的平衡方程和力的邊界條件）可知，上式的物理含義是：該單元的力的平衡關(guān)系。目前一百七十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點4.3.2平面問題中桿單元的坐標(biāo)變換目前一百七十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在工程實際中，桿單元可能出于整體坐標(biāo)系中的任意一個未知，如上圖所示，這需要將原來在局部坐標(biāo)系中所得到的單元表達等價地變換到整體坐標(biāo)系中，這樣，不同位置的單元才有公共的坐標(biāo)基準(zhǔn)，以便對各個單元進行集成和裝配。上圖中局部坐標(biāo)系中的結(jié)點位移目前一百八十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點上圖中整體坐標(biāo)系中的結(jié)點位移對于結(jié)點1，整體坐標(biāo)系下的結(jié)點位移和其合成的結(jié)果應(yīng)完全等效于；對于結(jié)點2，結(jié)點位移和合成的結(jié)果應(yīng)完全等效于，即存在以下的等價變換關(guān)系目前一百八十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點寫成矩陣形式目前一百八十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中為坐標(biāo)變換矩陣，即下面推導(dǎo)整體坐標(biāo)系下的剛度方程，由于單元的勢能是一個標(biāo)量（能量），不會因坐標(biāo)系的不同而改變，因此，將結(jié)點位移的坐標(biāo)變換關(guān)系代入單元勢能公式，有目前一百八十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中，為整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣，為整體坐標(biāo)系下的結(jié)點力，即目前一百八十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點對于本節(jié)給出的桿單元，具體有由最小勢能原理（針對該單元），將對待定的結(jié)點位移向量取一階極小值，有整體坐標(biāo)系中的剛度方程目前一百八十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點4.3.3空間問題中桿單元的坐標(biāo)變換目前一百八十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點就空間問題中桿單元，局部坐標(biāo)系下的結(jié)點位移還是而整體坐標(biāo)系中的結(jié)點位移為桿單元軸線在整體坐標(biāo)系中的方向余弦為目前一百八十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中和分別為結(jié)點1和結(jié)點2在整體坐標(biāo)系中的位置，l是桿單元的長度，和平面情形類似，與之間存在以下轉(zhuǎn)換關(guān)系：目前一百八十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點剛度矩陣和結(jié)點力的變化與平面情形相同，即為其中為坐標(biāo)變換矩陣，即目前一百八十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點4.4梁單元及其坐標(biāo)變換4.4.1局部坐標(biāo)系中的純彎梁單元目前一百九十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點上圖所示為一局部坐標(biāo)系中的純彎梁，設(shè)有兩個端結(jié)點（Node1和Node2），結(jié)點位移和結(jié)點力為和前面推導(dǎo)桿單元時的情形類似，利用函數(shù)插值、幾何方程、物理方程以及勢能計算公式，我們可以將單元的所有力學(xué)參量（場變量）用結(jié)點位移向量來表示。目前一百九十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由于有四個位移結(jié)點條件，可假設(shè)純彎梁單元的位移場為具有四個待定系數(shù)的函數(shù)模式，即(1)單元位移場的表達其中為待定系數(shù)。由該單元的結(jié)點位移條件目前一百九十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點可求出中的4個待定系數(shù)，即將上式代入中，重寫位移函數(shù)，有目前一百九十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中，，叫做單元的形狀函數(shù)矩陣，即目前一百九十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(2)單元應(yīng)變場的表達由純彎梁的幾何方程，有梁的應(yīng)變表達式其中為基于中性層的坐標(biāo)，叫做單元的幾何函數(shù)矩陣，即目前一百九十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中目前一百九十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(3)單元應(yīng)力場的表達其中彈性模量，叫做單元的應(yīng)力函數(shù)矩陣目前一百九十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點該單元的勢能為(4)單元勢能的表達其中應(yīng)變能目前一百九十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中為剛度矩陣，即目前一百九十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中為慣性矩，則外力功為目前二百頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(5)單元的剛度方程同樣，由最小勢能原理，將對取一階極小值，有剛度方程其中剛度矩陣和力矩陣分別在以上的計算中給出。注意上式中的下表(4×4)(4×1)(4×1)為各個矩陣的維數(shù)（即行和列）。目前二百零一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點4.4.2局部坐標(biāo)系中的平面梁單元為推導(dǎo)平面問題中的梁單元的坐標(biāo)變換公式，我們在純彎梁的基礎(chǔ)上疊加軸向位移（由于為線彈性問題，滿足疊加原理），如下圖所示目前二百零二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點上圖所示平面梁單元的結(jié)點位移和結(jié)點力為相應(yīng)的剛度方程為目前二百零三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將桿單元剛度矩陣與純彎梁單元剛度矩陣進行組合，可得到剛度矩陣目前二百零四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點4.4.3平面問題中梁單元的坐標(biāo)變換目前二百零五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點局部坐標(biāo)系下的結(jié)點位移整體坐標(biāo)系中的結(jié)點位移注意：轉(zhuǎn)角和在兩個坐標(biāo)系中是相同的。目前二百零六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點按照兩個坐標(biāo)系中的位移向量相等效的原則，可推導(dǎo)出以下變換關(guān)系。寫成矩陣形式有目前二百零七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中T為坐標(biāo)變換矩陣，即目前二百零八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點則整體坐標(biāo)系中的剛度方程為其中目前二百零九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點空間梁單元除承受軸力和彎矩外，還可能承受扭矩的作用，而且彎矩可能同時在兩個坐標(biāo)面內(nèi)存在，如下圖4.4.4空間梁單元及坐標(biāo)變換目前二百一十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點下面，我們分別基于前面桿單元和平面梁單元的剛度矩陣分別寫出上圖中各對應(yīng)結(jié)點位移的剛度矩陣，然后進行組合以形成完整的剛度矩陣。對應(yīng)于上圖中梁單元，其局部坐標(biāo)系中的結(jié)點位移和結(jié)點力為目前二百一十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(1)對應(yīng)于圖中的結(jié)點位移(u1,u2)這是軸向位移，有剛度矩陣(2)對應(yīng)于圖中的結(jié)點位移(

,

)這是桿受扭時的情形，其剛度矩陣為其中J為橫截面的扭轉(zhuǎn)慣性矩，G為剪切模量。目前二百一十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點這是梁在xoy平面內(nèi)的純彎曲情形，有剛度矩陣(3)對應(yīng)于圖中xoy平面內(nèi)的結(jié)點位移其中Iz為梁的橫截面繞z軸的慣性矩。目前二百一十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(4)對應(yīng)于圖中xoz平面內(nèi)的結(jié)點位移這是梁在xoz平面內(nèi)的純彎曲情形，有剛度矩陣目前二百一十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(5)將各分剛度矩陣進行組合以形成完整的單元剛度矩陣將上述各分剛度矩陣的元素進行組合，則可形成局部坐標(biāo)系中空間梁單元的完整剛度矩陣，即目前二百一十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點目前二百一十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(6)空間梁單元坐標(biāo)變換空間梁單元坐標(biāo)變換的原理和方法與平面梁單元的坐標(biāo)變換相同，只要分別寫出兩個坐標(biāo)系中的位移向量的等效關(guān)系則可得到坐標(biāo)變換矩陣，即局部坐標(biāo)系中空間梁單元的結(jié)點位移整體坐標(biāo)系中的結(jié)點位移目前二百一十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點對應(yīng)于各組位移分量，可分別推導(dǎo)相應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，具體的，對結(jié)點1，有目前二百一十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點同樣，對結(jié)點2有以下轉(zhuǎn)換關(guān)系目前二百一十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點以上的為結(jié)點坐標(biāo)變換矩陣，即其中……分別表示局部坐標(biāo)軸(x，y，z)對整體坐標(biāo)軸的方向余弦。目前二百二十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將以上各式寫在一起，有其中T為坐標(biāo)變換矩陣，即目前二百二十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點第五章連續(xù)體彈性問題的有限元分析原理目前二百二十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點5.1連續(xù)體問題的特征及有限元分析過程桿梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)由于本身存在有自然的連接關(guān)系即自然結(jié)點，所有它們的離散化均叫做自然化離散，這樣的計算模型對原始結(jié)構(gòu)具有很好的描述。而連續(xù)體結(jié)構(gòu)則不同，它本身內(nèi)部不存在有自然的連接關(guān)系，而是以連續(xù)介質(zhì)的形式進行物質(zhì)間的相互關(guān)聯(lián)，所以，必須人為的在連續(xù)體內(nèi)部和邊界上劃分結(jié)點，以分片（單元）連續(xù)的形式來逼近原來復(fù)雜的幾何形狀，這種離散過程叫做逼近性離散過程。如下圖所示目前二百二十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點目前二百二十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(1)原連續(xù)體（幾何上）的逼近離散對應(yīng)于連續(xù)體的力學(xué)分析，有限元分析的一般過程如下：其中為單元。(2)單元特性的研究研究單元特性以形成單元剛度矩陣和結(jié)點外載矩陣結(jié)點自由度（位移）描述：目前二百二十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點位移模式（簡單性、完備性、連續(xù)性、唯一確定性）由結(jié)點條件確定位移模式中的待定系數(shù)，推導(dǎo)出形狀函數(shù)矩陣：單元應(yīng)變場的表達（由幾何方程）：：形狀函數(shù)矩陣：彈性力學(xué)中幾何方程算子：幾何方程目前二百二十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點單元應(yīng)力場的表達（由物理方程）：：彈性力學(xué)中的彈性系數(shù)矩陣：應(yīng)力矩陣單元勢能的表達目前二百二十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在以上公式中，：單元剛度矩陣：單元結(jié)點力矩陣：體積力向量：面積力向量其中目前二百二十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點幾何的集成對單元勢能，應(yīng)用最小勢能原理，可得到單元的平衡關(guān)系(3)離散單元的裝配和集成結(jié)點位移的集成目前二百二十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點剛度矩陣的集成結(jié)點外載的集成形成整體剛度方程(4)處理邊界條件并且求解結(jié)點位移(5)求各單元內(nèi)的應(yīng)變、應(yīng)力、支反力目前二百三十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點三結(jié)點三角形2D單元如下圖所示。三個結(jié)點為1、2、3，各自的位置坐標(biāo)為(xi，yi)，i=1，2，3，各自的結(jié)點位移（分別沿x方向和y方向）為(ui，vi)，i=1，2，3。5.22D單元（三結(jié)點、四結(jié)點）的構(gòu)造5.2.1三結(jié)點三角形2D單元目前二百三十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點上圖所示三結(jié)點三角形2D單元，結(jié)點位移向量和結(jié)點力向量為下面，我們需要將所有力學(xué)參量用結(jié)點位移向量來表達。目前二百三十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(1)單元位移場的表達就三結(jié)點三角形2D單元，考慮到簡單性、完備性、連續(xù)性及待定系數(shù)的唯一確定性原則，選取位移模式為由結(jié)點條件，在x=xi，y=yi處，有（1）（2）目前二百三十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將（1）代入結(jié)點條件（2）中，可求解（1）中的待定系數(shù)，即目前二百三十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點在上述各式中，目前二百三十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點上式（1，2，3）表示下標(biāo)輪換，如12，23，31。目前二百三十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將各系數(shù)代入（1）中，重寫位移函數(shù)，并以結(jié)點位移的形式表示，有寫成矩陣形式，目前二百三十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點其中為形狀函數(shù)矩陣，即目前二百三十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由彈性力學(xué)平面問題的幾何方程(2)單元應(yīng)變場的表達其中幾何函數(shù)矩陣為目前二百三十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將形函數(shù)代入上式，有其中目前二百四十頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點由彈性力學(xué)平面問題的物理方程(3)單元應(yīng)力場的表達其中平面應(yīng)力問題的彈性系數(shù)矩陣為目前二百四十一頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點將幾何方程代入物理方程，有為單元應(yīng)力矩陣。其中目前二百四十二頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點t為平面問題的厚度。(4)單元的勢能的表達其中是單元剛度矩陣，即目前二百四十三頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點勢能公式中的為單元結(jié)點等效載荷，即其中為單元上作用有外載荷的邊。為線積分(5)單元的剛度方程目前二百四十四頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點討論1：平面三結(jié)點三角形單元的結(jié)點位移和坐標(biāo)變換由于該單元的結(jié)點位移是以整體坐標(biāo)系中的x方向位移(u1)和y方向位移(v1)來定義的，所以沒有坐標(biāo)變換問題。目前二百四十五頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點討論2：平面三結(jié)點三角形單元的應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣為常系數(shù)矩陣單元的位移場為線性關(guān)系，由于只與(xi，yi)相關(guān)，是常系數(shù)，因而求出的和為常系數(shù)矩陣，不隨x、y變化，即這種單元在單元內(nèi)任意一點的應(yīng)變和應(yīng)力都相同。因此，三結(jié)點三角形單元稱為常應(yīng)變單元，在應(yīng)變梯度較大（即應(yīng)力梯度比較大）的部位，單元劃分應(yīng)適當(dāng)密集，否則將不能反映應(yīng)變的真實變化而導(dǎo)致較大的誤差。目前二百四十六頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點5.2.2四結(jié)點矩形2D單元目前二百四十七頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點無量綱坐標(biāo)：上圖所示的四結(jié)點矩形2D單元，結(jié)點位移向量和結(jié)點力向量為下面，將所有力學(xué)參量用結(jié)點位移來表示。目前二百四十八頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點(1)單元位移場的表達從圖中可以看出，結(jié)點條件共有8個，即x方向4個（u1，u2，u3，u4），y方向4個（v1，v2，v3，v4），因此，x和y方向的位移場可以各有4個待定系數(shù)，即取以下多項式作為單元的位移場模式目前二百四十九頁\總數(shù)二百七十六頁\編于十四點它們是具有完全一次項的非完全二次項，其中以上兩式中右端的第四項是考慮到x方向和y方向的對稱性而取的，而未選x2或y2項。由結(jié)點條件