圓錐曲線中離心率及其范圍的求解專題(教師版)

-4-頁圓錐曲線中離心率及其范圍的求解專題【高考要求】1．熟練掌握三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，并靈活運(yùn)用它們解決相關(guān)的問題。2．掌握解析幾何中有關(guān)離心率及其范圍等問題的求解策略；3．靈活運(yùn)用教學(xué)中的一些重要的思想方法（如數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)和方程的思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想學(xué)）解決問題。【熱點(diǎn)透析】與圓錐曲線離心率及其范圍有關(guān)的問題的討論常用以下方法解決：（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的離心率（a,b,c）適合的不等式（組），通過解不等式組得出離心率的變化范圍；（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的離心率作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求離心率的變化范圍。（4）利用代數(shù)基本不等式。代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于：①通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解范圍等問題；（6）構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式0。2.解題時(shí)所使用的數(shù)學(xué)思想方法。（1）數(shù)形結(jié)合的思想方法。一是要注意畫圖，草圖雖不要求精確，但必須正確，特別是其中各種量之間的大小和位置關(guān)系不能倒置；二是要會(huì)把幾何圖形的特征用代數(shù)方法表示出來，反之應(yīng)由代數(shù)量確定幾何特征，三要注意用幾何方法直觀解題。（2）轉(zhuǎn)化的思想方漢。如方程與圖形間的轉(zhuǎn)化、求曲線交點(diǎn)問題與解方程組之間的轉(zhuǎn)化，實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)間的轉(zhuǎn)化。（3）函數(shù)與方程的思想，如解二元二次方程組、方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系、求最值中的一元二次函數(shù)知識(shí)等。（4）分類討論的思想方法，如對橢圓、雙曲線定義的討論、對三條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論等?！绢}型分析】1.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與雙曲線的左準(zhǔn)線重合，若雙曲線與拋物線的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解：由已知可得拋物線的準(zhǔn)線為直線，∴方程為；由雙曲線可知，∴，∴，∴，．2．橢圓（）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，以、為邊作正三角形，若橢圓恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率為（B）A．B．C．D．解析：設(shè)點(diǎn)為橢圓上且平分正三角形一邊的點(diǎn)，如圖，由平面幾何知識(shí)可得，所以由橢圓的定義及得：，故選B．變式提醒：如果將橢圓改為雙曲線，其它條件不變，不難得出離心率．3.（09浙江理）過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．若，則雙曲線的離心率是()A．B．C．D．【解析】對于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，，，因此．答案：C4.（09江西理）過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【解析】因?yàn)?，再由有從而可得，故選B5.（08陜西理）雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為則，變形，所以因?yàn)橹本€傾斜角為，所以有，所以提示：本解法主要運(yùn)用了圓錐曲線焦半徑公式，借助焦半徑公式將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的關(guān)系。焦半徑是圓錐曲線中的重要線段，巧妙地運(yùn)用它解題，可以化繁為簡，提高解題效率。一般來說，如果題目中涉及的弦如果為焦點(diǎn)弦，應(yīng)優(yōu)先考慮焦半徑公式。解法（二）：12.（10遼寧理）(20)（本小題滿分12分）設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o,.橢圓C的離心率；解：設(shè)，由題意知＜0，＞0.（Ⅰ）直線l的方程為，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)?，所?即得離心率.……6分13.A是橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠OPA=,則橢圓離心率的范圍是_________.解析：設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),以O(shè)A為直徑的圓：x2－ax+y2=0,兩式聯(lián)立消y得x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達(dá)定理x2=－a,0＜x2＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.答案：＜e＜114.在橢圓上有一點(diǎn)M，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，橢圓的離心率的取值范圍是;解析:由橢圓的定義，可得又，所以是方程的兩根，由，可得，即所以，所以橢圓離心率的取值范圍是15.（08湖南）若雙曲線（a＞0,b＞0）上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 解析由題意可知即解得故選B.16.（07北京）橢圓的焦點(diǎn)為，，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解析由題意得∴故選D.17.（07湖南）設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D.分析通過題設(shè)條件可得，求離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，如何建立？解析：∵線段的中垂線過點(diǎn)，∴，又點(diǎn)P在右準(zhǔn)線上，∴即∴∴，故選D.點(diǎn)評(píng)建立不等關(guān)系是解決問題的難點(diǎn)，而借助平面幾何知識(shí)相對來說比較簡便.18.（08福建理）雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,若P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為（B）A.(1,3) B. C.(3,+) D.分析求雙曲線離心率的取值范圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義.如何找不等關(guān)系呢？利用第二定義及焦半徑判斷解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.解2如圖2所示，設(shè)，，.當(dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處有.∵，∴.選B.小結(jié)本題通過設(shè)角和利用余弦定理，將雙曲線的離心率用三角函數(shù)的形式表示出來，通過求角的余弦值的范圍，從而求得離心率的范圍.點(diǎn)評(píng)：本題建立不等關(guān)系是難點(diǎn)，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論（雙曲線上任一點(diǎn)到其對應(yīng)焦點(diǎn)的距離不小于）則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解.19.（08江西理）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（C）A．B．C．D．解據(jù)題意可知，∠M是直角，則垂足M的軌跡是以焦距為直徑的圓.所以.又，所以.選C.小結(jié)本題是最常見的求離心率范圍的問題，其方法就是根據(jù)已知條件，直接列出關(guān)于a，b，c間的不等量關(guān)系，然后利用a，b，c間的平方關(guān)系化為關(guān)于a，c的齊次不等式，除以即為關(guān)于離心率e的一元二次不等式，解不等式，再結(jié)合橢圓或雙曲線的離心率的范圍，就得到了離心率的取值范圍.20.（04重慶）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：()ABCD∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值范圍為，故選B.21.已知，分別為的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（）ABCD解析，欲使最小值為，需右支上存在一點(diǎn)P，使，而即所以.22.已知橢圓右頂為A,點(diǎn)P在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP垂直于PA，橢圓的離心率e的取值范圍是;。解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（）,則有消去得若利用求根公式求運(yùn)算復(fù)雜，應(yīng)注意到方程的一個(gè)根為a,由根與系數(shù)關(guān)系知由得23.橢圓：的兩焦點(diǎn)為，橢圓上存在點(diǎn)使.求橢圓離心率的取值范圍；解析設(shè)……①將代入①得求得.點(diǎn)評(píng)：中，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)范圍問題中經(jīng)常使用，應(yīng)給予重視.24.（06福建）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （A）（B）（C）（D）解析欲使過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，∴≥，即即∴即故選C.25.（04全國Ⅰ）設(shè)雙曲線C：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.求雙曲線C的離心率e的取值范圍：解析由C與相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得（1－a2）x2+2a2x－2a2=0.所以解得雙曲線的離心率：∴所以雙曲線的離心率取值范圍是總結(jié)：在求解圓錐曲線離心率取值范圍時(shí)，一定要認(rèn)真分析題設(shè)條件，合理建立不等關(guān)系，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見結(jié)論、不等關(guān)系，在做題時(shí)不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題.尤其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)要注意焦點(diǎn)的位置等.26．設(shè)分別是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（D）A． B． C． D．27.（09重慶卷文）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為．【答案】.解法1，因?yàn)樵谥?，由正弦定理得則由已知，得，即設(shè)點(diǎn)由焦點(diǎn)半徑公式，得則記得由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率28.（10四川理）橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（A）（B）（C）（D）解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等而|FA|＝，|PF|∈[a－c,a＋c]，于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴又e∈(0,1)故e∈答案：D29．已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點(diǎn)E滿足，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，雙曲線離心率e的取值范圍是：。分析：顯然，我們只要找到e與的關(guān)系，然后利用解不等式或求函數(shù)的值域即可求出e的范圍。解：如圖4，建立坐標(biāo)系，這時(shí)CD⊥y軸，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對稱性知C、D關(guān)于y軸對稱。依題意，記A(-C,0)，C(h)，E(x0,y0),其中c=為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。AOBxDCyE圖4由,即(x0+c,y0)=(-x0,h-y0)得:x0=.設(shè)雙曲線的方程為,則離心率e=。由點(diǎn)C、E在雙曲線上,將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e=代入雙曲線的方程得AOBxDCyE圖4將（1）式代入（2）式,整理得(4-4)=1+2,故=1.依題設(shè)得,解得.所以雙曲線的離心率的取值范圍是.30．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為．（答案：）解析：方法一：由及雙曲線第一定義式，得：，，又．因?yàn)辄c(diǎn)在右支上運(yùn)動(dòng)，所以，得，即，又，故填．方法反思：若改變