第02章經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的季節(jié)調(diào)整、分解和平滑方法

第二章經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的

季節(jié)調(diào)整、分解與平滑

本章主要介紹經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的分解和平滑方法。時(shí)間序列分解方法包括季節(jié)調(diào)整和趨勢分解，指數(shù)平滑是目前比較常用的時(shí)間序列平滑方法。第一頁，共四十三頁。1

經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的月度或季度時(shí)間序列包含4種變動(dòng)要素：長期趨勢要素T：代表經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列長期的趨勢特性。循環(huán)要素C：以數(shù)年為周期的一種周期性變動(dòng)，它可能是一種景氣變動(dòng)、經(jīng)濟(jì)變動(dòng)或其他周期變動(dòng)，它可以代表經(jīng)濟(jì)或某個(gè)特定工業(yè)的波動(dòng)。季節(jié)變動(dòng)要素S：每年重復(fù)出現(xiàn)的循環(huán)變動(dòng)，以12個(gè)月或4個(gè)季度為周期的周期性影響，是由溫度、降雨、年中的月份，假期和政策等引起的。不規(guī)則要素I：其變動(dòng)無規(guī)則可循，這類因素是由偶然發(fā)生的事故引起的，如：故障、罷工、意外事故、地震、水災(zāi)、惡劣氣候、戰(zhàn)爭、法令更改、測定誤差等。

§2.1經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的分解第二頁，共四十三頁。2圖1我國工業(yè)總產(chǎn)值的時(shí)間序列Y圖形圖2工業(yè)總產(chǎn)值的趨勢·循環(huán)要素TC圖形

圖3工業(yè)總產(chǎn)值的季節(jié)變動(dòng)要素S圖形圖4工業(yè)總產(chǎn)值的不規(guī)則要素I圖形

第三頁，共四十三頁。3季節(jié)調(diào)整的概念

季節(jié)性變動(dòng)的發(fā)生，不僅是由于氣候的直接影響，而且社會制度及風(fēng)俗習(xí)慣也會引起季節(jié)變動(dòng)。經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)中的月度和季度數(shù)據(jù)或大或小都含有季節(jié)變動(dòng)因素，以月份或季度作為時(shí)間觀測單位的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列通常具有一年一度的周期性變化，這種周期變化是由于季節(jié)因素的影響造成的，在經(jīng)濟(jì)分析中稱為季節(jié)性波動(dòng)。經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的季節(jié)性波動(dòng)是非常顯著的，它往往遮蓋或混淆經(jīng)濟(jì)發(fā)展中其他客觀變化規(guī)律，以致給經(jīng)濟(jì)增長速度和宏觀經(jīng)濟(jì)形勢的分析造成困難和麻煩。因此，在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)增長分析時(shí)，必須去掉季節(jié)波動(dòng)的影響，將季節(jié)要素從原序列中剔除，這就是所謂的“季節(jié)調(diào)整”(SeasonalAdjustment)。

第四頁，共四十三頁。4§2.2.1

X-11季節(jié)調(diào)整方法

§2.2

經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的季節(jié)調(diào)整方法

X-11方法是基于移動(dòng)平均法的季節(jié)調(diào)整方法。它的特征在于除了能適應(yīng)各種經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的性質(zhì)，根據(jù)各種季節(jié)調(diào)整的目的，選擇計(jì)算方式外，在不作選擇的情況下，也能根據(jù)事先編入的統(tǒng)計(jì)基準(zhǔn)，按數(shù)據(jù)的特征自動(dòng)選擇計(jì)算方式。在計(jì)算過程中可根據(jù)數(shù)據(jù)中的隨機(jī)因素大小，采用不同長度的移動(dòng)平均，隨機(jī)因素越大，移動(dòng)平均長度越大。X-11方法是通過幾次迭代來進(jìn)行分解的，每一次對組成因子的估算都進(jìn)一步精化。第五頁，共四十三頁。5§2.2.2

X12季節(jié)調(diào)整方法

美國商務(wù)部國勢普查局的X12季節(jié)調(diào)整程序是在X11方法的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，包括X11季節(jié)調(diào)整方法的全部功能，并對X11方法進(jìn)行了以下3方面的重要改進(jìn)：(1)擴(kuò)展了貿(mào)易日和節(jié)假日影響的調(diào)節(jié)功能，增加了季節(jié)、趨勢循環(huán)和不規(guī)則要素分解模型的選擇功能；(2)新的季節(jié)調(diào)整結(jié)果穩(wěn)定性診斷功能；(3)增加X12-ARIMA模型的建模和模型選擇功能。第六頁，共四十三頁。6

X12季節(jié)調(diào)整方法的核心算法是擴(kuò)展的X11季節(jié)調(diào)整程序。共包括4種季節(jié)調(diào)整的分解形式：乘法、加法、偽加法和對數(shù)加法模型。注意采用乘法、偽加法和對數(shù)加法模型進(jìn)行季節(jié)調(diào)整時(shí)，時(shí)間序列中不允許有零和負(fù)數(shù)。①加法模型(2.2.1)②乘法模型：(2.2.2)③對數(shù)加法模型：(2.2.3)④偽加法模型：(2.2.4)第七頁，共四十三頁。7例2.1利用X12加法模型進(jìn)行季節(jié)調(diào)整圖2.1a社會消費(fèi)品零售總額原序列

圖2.1b社會消費(fèi)品零售總額的TCI序列第八頁，共四十三頁。8

圖2.1d社會消費(fèi)品零售總額I序列圖2.1c社會消費(fèi)品零售總額的TC序列第九頁，共四十三頁。9

TRAMO(TimeSeriesRegressionwithARIMANoise,MissingObservation,andOutliers)用來估計(jì)和預(yù)測具有缺失觀測值、非平穩(wěn)ARIMA誤差及外部影響的回歸模型。它能夠?qū)υ蛄羞M(jìn)行插值，識別和修正幾種不同類型的異常值，并對工作日變化及復(fù)活節(jié)等特殊回歸因素及假定為ARIMA過程的誤差項(xiàng)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。SEATS(SignalExtractioninARIMATimeSeries)是基于ARIMA模型來對時(shí)間序列中不可觀測成分進(jìn)行估計(jì)。這兩個(gè)程序往往聯(lián)合起來使用，先用TRAMO對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，然后用SEATS將時(shí)間序列分解為趨勢要素、循環(huán)要素、季節(jié)要素及不規(guī)則要素4個(gè)部分?！?.2.3TRAMO/SEATS方法第十頁，共四十三頁。10也分乘法模型和加法模型。X-12法與移動(dòng)平均法的最大不同是：X-12法中季節(jié)因子在不同年份是不同的，而在移動(dòng)平均法中，季節(jié)因子被假設(shè)為是相同的。§2.2.4移動(dòng)平均方法

第十一頁，共四十三頁。11

本節(jié)主要介紹利用EViews軟件對一個(gè)月度或季度時(shí)間序列進(jìn)行季節(jié)調(diào)整的操作方法。在EViews工作環(huán)境中，打開一個(gè)月度或季度時(shí)間序列的工作文件，雙擊需進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的序列名，進(jìn)入這個(gè)序列對象，在序列窗口的工具欄中單擊Proc按鈕將顯示菜單：

§2.2.5季節(jié)調(diào)整相關(guān)操作(EViews軟件)第十二頁，共四十三頁。12

1.X11方法

X-11法是美國商務(wù)部標(biāo)準(zhǔn)的季節(jié)調(diào)整方法(乘法模型、加法模型)，乘法模型適用于序列可被分解為季節(jié)調(diào)整后序列（趨勢·循環(huán)·不規(guī)則要素項(xiàng)）與季節(jié)項(xiàng)的乘積，加法模型適用于序列可被分解為季節(jié)調(diào)整后序列與季節(jié)項(xiàng)的和。乘法模型只適用于序列值都為正的情形。第十三頁，共四十三頁。13

2.

CensusX12方法

EViews是將美國國勢調(diào)查局的X12季節(jié)調(diào)整程序直接安裝到EViews子目錄中，建立了一個(gè)接口程序。EViews進(jìn)行季節(jié)調(diào)整時(shí)將執(zhí)行以下步驟：1．給出一個(gè)被調(diào)整序列的說明文件和數(shù)據(jù)文件；2．利用給定的信息執(zhí)行X12程序；3．返回一個(gè)輸出文件，將調(diào)整后的結(jié)果存在EViews工作文件中。X12的EViews接口菜單只是一個(gè)簡短的描述，EViews還提供了一些菜單不能實(shí)現(xiàn)的接口功能，更一般的命令接口程序。第十四頁，共四十三頁。14

調(diào)用X12季節(jié)調(diào)整過程，在序列窗口選擇Procs/SeasonalAdjustment/CensusX12，打開一個(gè)對話框：第十五頁，共四十三頁。153.移動(dòng)平均方法

第十六頁，共四十三頁。16

Tramo(TimeSeriesRegressionwithARIMANoise,MissingObservation,andOutliers)是對具有缺失觀測值，ARIMA誤差、幾種外部影響的回歸模型完成估計(jì)、預(yù)測和插值的程序。Seats(SignalExtractioninARIMATimeSeries)是基于ARIMA模型的將可觀測時(shí)間序列分解為不可觀測分量的程序。這兩個(gè)程序是有VictorGomez和AgustinMaravall開發(fā)的。當(dāng)選擇了Pross/SeasonalAdjustment/TramoSeats時(shí)，EViews執(zhí)行外部程序，將數(shù)據(jù)輸給外部程序，然后將結(jié)果返回EViews。4.tramo/Seats方法

第十七頁，共四十三頁。17第十八頁，共四十三頁。18§2.3趨勢分解

本章第2節(jié)介紹的季節(jié)調(diào)整方法可以對經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列進(jìn)行分解，但在季節(jié)調(diào)整方法中，趨勢和循環(huán)要素視為一體不能分開。本節(jié)專門討論如何將趨勢和循環(huán)要素進(jìn)行分解的方法。測定長期趨勢有多種方法，比較常用的方法有回歸分析方法、移動(dòng)平均法、階段平均法(phaseaverage，PA方法)、指數(shù)平滑方法、HP濾波方法和頻譜濾波方法（frequency(band-pass)filer，BP濾波）。本節(jié)主要介紹HP濾波方法。第十九頁，共四十三頁。19§2.3.1Hodrick-Prescott（HP）濾波

在宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中，人們非常關(guān)心序列組成成分中的長期趨勢，Hodrick-Prescott濾波是被廣泛使用的一種方法。該方法在HodrickandPrescott(1980)分析戰(zhàn)后美國經(jīng)濟(jì)周期的論文中首次使用。我們簡要介紹這種方法的原理。設(shè){Yt}是包含趨勢成分和波動(dòng)成分的經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列，{YtT}是其中含有的趨勢成分，{YtC}是其中含有的波動(dòng)成分。則

(2.3.1)計(jì)算HP濾波就是從{Yt}中將{YtT}分離出來。第二十頁，共四十三頁。20一般地，時(shí)間序列{Yt}中的不可觀測部分趨勢{YtT}常被定義為下面最小化問題的解：(2.3.2)其中：c(L)是延遲算子多項(xiàng)式(2.3.3)將式(2.3.3)代入式(2.3.2)，則HP濾波的問題就是使下面損失函數(shù)最小，即

(2.3.4)第二十一頁，共四十三頁。21

最小化問題用[c(L)YtT]2來調(diào)整趨勢的變化，并隨著的增大而增大。這里存在一個(gè)權(quán)衡問題，要在趨勢要素對實(shí)際序列的跟蹤程度和趨勢光滑度之間作一個(gè)選擇。=0時(shí)，滿足最小化問題的趨勢等于序列{Yt}；增加時(shí)，估計(jì)趨勢中的變化總數(shù)相對于序列中的變化減少，即越大，估計(jì)趨勢越光滑；趨于無窮大時(shí)，估計(jì)趨勢將接近線性函數(shù)。一般經(jīng)驗(yàn)地，的取值如下：第二十二頁，共四十三頁。22

使用Hodrick-Prescott濾波來平滑序列，選擇Proc/HodrickPrescottFilter出現(xiàn)下面的HP濾波對話框：

首先對平滑后的序列給一個(gè)名字，EViews將默認(rèn)一個(gè)名字，也可填入一個(gè)新的名字。然后給定平滑參數(shù)的值，年度數(shù)據(jù)取100，季度和月度數(shù)據(jù)分別取1600和14400。不允許填入非整數(shù)的數(shù)據(jù)。點(diǎn)擊OK后，EViews與原序列一起顯示處理后的序列。注意只有包括在當(dāng)前工作文件樣本區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)才被處理，平滑后序列區(qū)間外的數(shù)據(jù)都為NA。第二十三頁，共四十三頁。23例2.3利用HP濾波方法求經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的趨勢項(xiàng)T

利用HP濾波方法求中國社會消費(fèi)品零售總額月度時(shí)間序列和中國GDP季度時(shí)間序列的趨勢項(xiàng)。圖2.4藍(lán)線表示GDP序列、紅線表示趨勢T序列圖2.5藍(lán)線表示社會消費(fèi)品零售總額、紅線表示趨勢T序列第二十四頁，共四十三頁。24§2.3.2頻譜濾波（BP濾波）方法

20世紀(jì)以來，利用統(tǒng)計(jì)方法特別是時(shí)間序列分析方法研究經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列和經(jīng)濟(jì)周期的變動(dòng)特征得到越來越廣泛的應(yīng)用。自時(shí)間序列分析產(chǎn)生以來，一直存在兩種觀察、分析和解釋時(shí)間序列的方法。第一種是直接分析數(shù)據(jù)隨時(shí)間變化的結(jié)構(gòu)特征，即所謂時(shí)域（timedomain）分析法，使用的工具是自相關(guān)（或自協(xié)方差）函數(shù)和差分方程；另一種方法是把時(shí)間序列看成不同諧波的疊加，研究時(shí)間序列在頻率域（frequencydomain）里的結(jié)構(gòu)特征，由于這種分析主要是用功率譜的概念進(jìn)行討論，所以通常稱為譜分析。第二十五頁，共四十三頁。25

譜分析的基本思想是：把時(shí)間序列看作是互不相關(guān)的周期（頻率）分量的疊加，通過研究和比較各分量的周期變化，以充分揭示時(shí)間序列的頻域結(jié)構(gòu)，掌握其主要波動(dòng)特征。因此，在研究時(shí)間序列的周期波動(dòng)方面，它具有時(shí)域方法所無法企及的優(yōu)勢。

第二十六頁，共四十三頁。26

BP濾波的操作

在EViews中，可以使用Band-Pass濾波對經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列進(jìn)行趨勢循環(huán)分解。在序列對象的菜單中選擇Proc/FrequencyFilter，顯示如下所示的對話框。第二十七頁，共四十三頁。27

為了使用Band-Pass濾波，首先要選擇一種濾波類型。共有3種類型：（1）BK固定長度對稱濾波（Fixedlengthsymmetric(Baxter-King，BK)）；（2）CF固定長度對稱濾波（Fixedlengthsymmetric(Christiano-Fitzgerald，CF)）；（3）全樣本長度非對稱濾波（Fullsampleasymmetric(Christiano-Fitzgerald)）。EViews默認(rèn)的是BK固定長度對稱濾波。如果使用固定長度對稱濾波，還必須指定先行/滯后（Lead/lag）項(xiàng)數(shù)n。第二十八頁，共四十三頁。28用戶必須選擇循環(huán)周期（Cycleperiods）的區(qū)間以計(jì)算Band-Pass濾波的頻率響應(yīng)函數(shù)的權(quán)重序列。這個(gè)區(qū)間由一對數(shù)據(jù)（PL，PU）描述，PL、PU

由Band-Pass濾波要保留的循環(huán)波動(dòng)成分所對應(yīng)的周期來確定。月度數(shù)據(jù)填月數(shù)；季度數(shù)據(jù)填季度的個(gè)數(shù)。EViews將根據(jù)數(shù)據(jù)類型填入了默認(rèn)數(shù)值。例如，根據(jù)增長率周期波動(dòng)分析，認(rèn)為中國社會消費(fèi)品零售總額的增長周期大約在1年半（18個(gè)月）到5年（60個(gè)月），如果保留在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的循環(huán)要素，則區(qū)間的下界是18，上界是60。因此，設(shè)定PL=18，PU=60。第二十九頁，共四十三頁。29

在Band-Pass濾波的輸出結(jié)果中，左側(cè)的圖描述了原序列、趨勢序列和循環(huán)序列。對于BK和CF固定長度對稱濾波而言，EViews畫出頻率響應(yīng)函數(shù)w()，頻率

的區(qū)間是[0，0.5]，右面的圖描述了頻率響應(yīng)函數(shù)。但是，對于時(shí)變的CF濾波，并沒有畫出頻率響應(yīng)函數(shù)，因?yàn)闉V波的頻率響應(yīng)函數(shù)隨數(shù)據(jù)和觀測值個(gè)數(shù)變化。用戶需要輸入希望保存的結(jié)果（循環(huán)成分、趨勢成分）對象的名字。循環(huán)序列（Cycleseries）是包含循環(huán)要素的序列對象；趨勢序列(Non-cyclicalseries)是實(shí)際值和循環(huán)序列的差。用戶還能得到在濾波中所用的Band-Pass濾波頻率響應(yīng)函數(shù)的權(quán)序列，它將存儲在矩陣對象中。第三十頁，共四十三頁。30第三十一頁，共四十三頁。31§2.3.3指數(shù)平滑

指數(shù)平滑是可調(diào)整預(yù)測的簡單方法。當(dāng)只有少數(shù)觀測值時(shí)這種方法是有效的。與使用固定系數(shù)的回歸預(yù)測模型不同，指數(shù)平滑法的預(yù)測用過去的預(yù)測誤差進(jìn)行調(diào)整。1.單指數(shù)平滑（一個(gè)參數(shù)）

2.雙指數(shù)平滑（一個(gè)參數(shù)）

3.Holt-Winters—無季節(jié)趨勢（兩個(gè)參數(shù)）

4.Holt-Winter加法模型（三個(gè)參數(shù)）

5.Holt-winters乘法模型（三個(gè)參數(shù)）

第三十二頁，共四十三頁。321.單指數(shù)平滑（一個(gè)參數(shù)）

這種單指數(shù)平滑方法適用于序列值在一個(gè)常數(shù)均值上下隨機(jī)波動(dòng)的情況，無趨勢及季節(jié)要素。平滑后的序列計(jì)算式如下

=

為平滑因子。越小，越平緩，重復(fù)迭代，可得到

由此可知為什么這種方法叫指數(shù)平滑，y的預(yù)測值是y過去值的加權(quán)平均，而權(quán)數(shù)被定義為以時(shí)間為指數(shù)的形式。單指數(shù)平滑的預(yù)測對所有未來的觀測值都是常數(shù)。這個(gè)常數(shù)為

（對所有的K>0）,T是估計(jì)樣本的期末值。要開始遞歸，我們需要和的初值。EView使用原來觀測值的均值來開始遞歸。Bowermen和O’Connell（1979）建議值在0.01到0.03之間較好。也可以讓EViews估計(jì)使一步預(yù)測誤差平方和最小的值。

第三十三頁，共四十三頁。332.雙指數(shù)平滑（一個(gè)參數(shù)）

這種方法是將單指數(shù)平滑進(jìn)行兩次（使用相同的參數(shù)）。適用于有線性趨勢的序列。序列y的雙指數(shù)平滑以遞歸形式定義為

S是單指數(shù)平滑后的序列，D是雙指數(shù)平滑序列。注意雙指數(shù)平滑是阻尼因子為的單指數(shù)平滑方法。雙指數(shù)平滑的預(yù)測如下最后一個(gè)表達(dá)式表明雙指數(shù)平滑的預(yù)測有線性趨勢，截距為，斜率為

第三十四頁，共四十三頁。34

3.Holt-Winters—無季節(jié)趨勢（兩個(gè)參數(shù)）

這種方法適用于具有線性時(shí)間趨勢無季節(jié)變差的情形。這種方法與雙指數(shù)平滑法一樣以線性趨勢無季節(jié)成分進(jìn)行預(yù)測。雙指數(shù)平滑法只用了一個(gè)參數(shù)，這種方法用兩個(gè)參數(shù)。平滑后的序列由下式給出

a表示截距；b表示趨勢。這兩個(gè)參數(shù)由如下遞歸式定義

在0-1之間，為阻尼因子。這是一種有兩個(gè)參數(shù)的指數(shù)平滑法。預(yù)測值計(jì)算如下

這些預(yù)測值具有線性趨勢，截距為，斜率為。注意到無季節(jié)的Holt-Winters與的加法及乘法模型并不相同，只限制季節(jié)因子不變?yōu)榉橇愠?shù)。

第三十五頁，共四十三頁。354.Holt-Winter加法模型（三個(gè)參數(shù)）

該方法適用于具有線性時(shí)間趨勢和加法模型的季節(jié)變差。平滑后的序列由下式給出其中：a表示截距：

b表示趨勢：

為加法模型的季節(jié)因子：

在0-1之間，為阻尼因子。在CycleforSeason中指定s為季節(jié)頻率，預(yù)測值由下式計(jì)算季節(jié)因子用最后期的s估計(jì)。第三十六頁，共四十三頁。365.Holt-winters乘法模型（三個(gè)參數(shù)）

這種方法適用于序列具有線性時(shí)間趨勢以及乘法模型的季節(jié)變差。的平滑序列由下式給出其中：a表示截距

b表示趨勢

為乘法模型的季節(jié)因子

在0-1之間，為阻尼因子。在CycleforSeason中指定s為季節(jié)頻率，預(yù)測值由下式計(jì)算季節(jié)因子用最后期的s估計(jì)。

第三十七頁，共四十三頁。37

指數(shù)平滑法操作利用指數(shù)平滑法進(jìn)行擬合和預(yù)測，選擇Procs/ExponentialSmoothin