2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市浠水縣高二年級下冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省黃岡市浠水縣高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．在等比數(shù)列中，，公比，則與的等比中項是（

）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】D【分析】先通過等比數(shù)列的通項公式計算，進(jìn)而可得其等比中項.【詳解】解：因為，所以與的等比中項是，故選：D.2．函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，下列數(shù)值排序正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可對比切線斜率得到，將看作過的割線的斜率，由圖像可得到斜率的大小關(guān)系，從而得出結(jié)果.【詳解】過點作切線，過點作切線，連接，得到直線，由圖可知，的斜率的斜率的斜率，即，即，故選：B．3．若前項和為的等差數(shù)列滿足，則（

）A．46 B．48 C．50 D．52【答案】C【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)化簡條件求，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式可求，由此可得結(jié)論.【詳解】由，有，根據(jù)等差數(shù)量性質(zhì)可知，所以，故，所以，所以.故選：C.4．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年．在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中（如圖），記第2行的第3個數(shù)字為，第3行的第3個數(shù)字為，……，第行的第3個數(shù)字為則（

）A．165 B．120 C．220 D．96【答案】A【分析】根據(jù)題意，由楊輝三角可得，再由組合數(shù)的性質(zhì)可求得答案【詳解】由題意得，，則，故選：A5．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人站成一排，滿足A，B相鄰，C，D不相鄰，E不站兩端的不同站法的種數(shù)為（

）A．48 B．96 C．144 D．288【答案】B【分析】使用捆綁法，然后恰當(dāng)分類，結(jié)合間接法可得.【詳解】第一步，先排A、B共種排法，將排好的A、B作為一個整體，記為G；第二步，（1）先將C，D，G，F(xiàn)排成一排，再在產(chǎn)生的3個空位中選擇一個排E共有種排法，（2）先將C、D捆綁在一起記為H，然后將H、G、F排成一排，最后在2個空位中選一個排E，共有種排法，（3）將C，D，G，F(xiàn)，E排成一排，且C，D不相鄰，E不站兩端的排法有；綜上，滿足條件的不同排法共有種.故選：B6．中國空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙.2022年10月31日15：37分，我國將“夢天實驗艙”成功送上太空，完成了最后一個關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢天實驗艙”也和“天和核心艙”按照計劃成功對接，成為“”字形架構(gòu)，我國成功將中國空間站建設(shè)完畢.2023年，中國空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營階段．假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開展實驗，三舲中每個艙中都有2人，則不同的安排方法有（

）A．72種 B．90種 C．360種 D．540種【答案】B【分析】利用分組和分配的方法求得名航天員的安排方案.【詳解】先把6名航天員分成三組，每組2人，有種方法；再把這三組分配到三艙中，每艙一組有種方法.所以名航天員的安排方案共有種.故選：B.7．已知，其中為展開式中項的系數(shù)，．給出下列命題：①

②

③是的最大項其中正確命題是個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求出,所以①正確;,所以②錯誤；假設(shè)最大，解不等式組即得③正確.【詳解】解：所以，所以,,所以①正確;,所以②錯誤；假設(shè)最大，所以，解之得是的最大項.所以③正確.故選：C8．已知函數(shù)恒有零點，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得：，令，，則，即在上單調(diào)遞增，，因此，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得當(dāng)時，，函數(shù)的值域是，而函數(shù)恒有零點，當(dāng)且僅當(dāng)，解得，所以實數(shù)k的取值范圍是.故選：B【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)零點問題，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合求解.二、多選題9．下列說法正確的是（

）A．等差數(shù)列的前項和為，則，，成等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列的通項公式為，要使數(shù)列的前項和最大，則的值只能為13C．等差數(shù)列的前項和記為，若，，則當(dāng)且僅當(dāng)時，D．正數(shù)等比數(shù)列前項積為，若，則【答案】AD【分析】對于選項A，方法1運(yùn)用等差數(shù)列前n項和基本量及等差中項法證明即可，方法2：運(yùn)用等差數(shù)列依次n項的和仍為等差數(shù)列；對于選項B，方法1：由數(shù)列的正負(fù)項來判斷，方法2：利用等差數(shù)列的前項和最大時項數(shù)的求法來判斷；對于選項C，運(yùn)用等差數(shù)列的等和性及等差數(shù)列的前n項和來判斷；對于選項D，利用等比數(shù)列的等積性質(zhì)判斷.利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷AC，B，利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷D.【詳解】對于選項A，方法1：∵等差數(shù)列，設(shè)首項為，公差為，∴，，，∴，，∴∴，，成等差數(shù)列.故選項A正確；方法2：等差數(shù)列的性質(zhì)，若為等差數(shù)列，則，，，成等差數(shù)列.故選項A正確；對于選項B，方法1：∵數(shù)列的通項公式，∴，，∴數(shù)列是首項為24，公差為－2的等差數(shù)列，當(dāng)時，且，當(dāng)時，且，所以當(dāng)或時，取得最大值.故選項B錯誤；方法2：∵數(shù)列的通項公式，∴，，∴數(shù)列是首項為24，公差為－2的等差數(shù)列，∴，∴要使此數(shù)列的前項和最大，則的值為12或13，故選項B錯誤；對于選項C，∵為等差數(shù)列，，∴，即，∵，∴，，∴，，∴當(dāng)時，.故選項C錯誤；對于選項D，∵正數(shù)等比數(shù)列前項積為，若，則，故選項D正確.故選：AD.10．已知，下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由賦值法判斷BC；令，由二項式定理結(jié)合賦值法判斷AD.【詳解】因為，令，則，令，則，所以，故B錯誤；令，則，故C錯誤：令，則，所以，通項為，所以，故A正確；令，則，令，得，故D正確.故選：AD11．下列說法正確的是（

）A．可表示為B．6個朋友聚會，見面后每兩人握手一次，一共握手15次C．若把英文“”的字母順序?qū)戝e，則可能出現(xiàn)的錯誤共有59種D．將4名醫(yī)護(hù)人員安排到呼吸、感染兩個科室，要求每個科室至少有1人，則共有18種不同的安排方法【答案】BC【分析】根據(jù)排列數(shù)的計算公式可判斷A；兩兩握手，即隨便選出兩人握手的所有可能結(jié)果數(shù)，通過計算即可判斷B；先對進(jìn)行排列，再將放入位置中即可，列出式子計算即可判斷C；分3人，1人一組，和2人，2人一組兩種情況，分別求出對應(yīng)的安排方法，相加即可.【詳解】因為，故A錯誤；因為6人兩兩握手，共握（次），故B正確；先在5個位置中選出3個位置，對進(jìn)行全排列，剩下兩個位置將放入即可，故有：（種），而正確的共有1種，所以可能出現(xiàn)的錯誤共有（種），故C正確；因為，當(dāng)按3，1分組時，先選1人單獨一組，剩下3人為一組，再將兩組分配到兩個不同科室中：共（種）分法，當(dāng)按2，2分組，在4人中選出2人到呼吸科，剩下2人自動去感染科，故有：（種）分法，故共有（種）安排方法，故D錯誤．故選：BC12．已知函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,若滿足:,,則下列判斷一定不正確的是(

)A． B．C． D．【答案】ABD【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得的單調(diào)性，利用函數(shù)的對稱性，可得，對其進(jìn)行比較即可判斷各選項.【詳解】構(gòu)造,則,導(dǎo)函數(shù)滿足,當(dāng)時在上單調(diào)遞增.當(dāng)時在上單調(diào)遞減.又由關(guān)于對稱,從而，即，，故A錯誤；，故B錯誤；即,故C正確；即,故D錯誤；故選：ABD.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性基本方法，恰當(dāng)構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.三、填空題13．的展開式中，的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】將展開，利用二項式定理處理即可.【詳解】由，設(shè)的展開式的通項為，的展開式的通項為，分別令，，可得含的項分別為，，所以的系數(shù)為．故答案為：.14．由于受到疫情影響，某校決定實施學(xué)生佩戴口罩?間隔而坐的策略.已知一排有9個座位，每兩名同學(xué)之間至少間隔1個空位.若一排要坐4名同學(xué)，則不同的坐法有___________種.【答案】360【分析】先排5張空椅子，然后將4名同學(xué)進(jìn)行插空，進(jìn)而可求結(jié)果.【詳解】先排5張空椅子，然后將4名同學(xué)進(jìn)行插空，共有種不同的坐法.15．“康托爾塵?！笔菙?shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成9個邊長為的小正方形，保留靠角的4個小正方形，記4個小正方形面積之和為：然后，將剩余的4個小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4個小正方形，記16個小正方形面積之和為；…；操作過程不斷進(jìn)行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃.若，則操作次數(shù)的最小值為____________.【答案】3【分析】由已知得，再由等比數(shù)列的求和公式建立不等式，由函數(shù)的單調(diào)性即可得答案.【詳解】解：是邊長為的4個正方形的面積之和，故；是邊長為的個正方形的面積之和，故；以此類推得：從而，所以，函數(shù)關(guān)于單調(diào)遞減，且時，，時，，故最小值取3.故答案為：3.16．若關(guān)于x的不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)a的最小值為______.【答案】【分析】根據(jù)題意，不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，再轉(zhuǎn)化為解不等式，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最大值，進(jìn)而即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，不等式轉(zhuǎn)化為，即，構(gòu)造函數(shù)，則恒成立，所以，在上為單調(diào)遞增，所以，即不等式，轉(zhuǎn)化為，則有，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故的最大值為，所以，，即，故實數(shù)的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查不等式的恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想及函數(shù)思想，屬于中檔題．四、解答題17．（1）已知函數(shù),求解集；（2）設(shè)曲線在點（0，e）處的切線與直線垂直，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題可得，然后解不等式即得；（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的位置關(guān)系即得.【詳解】（1）由題可得，由可得或，又因為，故不等式的解集為；（2）由題可得，依題意：，所以.18．已知二項式的展開式中各二項式系數(shù)之和比各項系數(shù)之和小240．求：(1)n的值；(2)展開式中x項的系數(shù)；(3)展開式中所有含x的有理項．【答案】(1)4(2)54(3)第1項，第3項，第5項【分析】（1）由題可得，解方程即得；（2）利用二項展開式的通項公式，即得；（3）利用二項展開式的通項公式，令，即求．【詳解】（1）由已知，得，即，所以或（舍），∴．（2）設(shè)展開式的第項為．令，得，則含x項的系數(shù)為．（3）由（2）可知，令，則有，2，4，所以含x的有理項為第1項，第3項，第5項．19．已知正項數(shù)列中，．(1)求的通項公式；(2)若，求的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)計算即可得解；（2）利用錯位相減法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，由當(dāng)時，，得當(dāng)時，，兩式相減得，即，又，所以，又適合上式，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以；（2），則，，兩式相減得，所以.20．如圖所示，某風(fēng)景區(qū)在一個直徑AB為400m的半圓形花園中設(shè)計一條觀光路線，在點A與圓弧上一點C之間設(shè)計為直線段小路，在路的兩側(cè)邊緣種植綠化帶；從點C到點B設(shè)計為沿圓弧BC的弧形小路，在路的一側(cè)邊緣種植綠化帶．（注:小路及綠化帶的寬度忽略不計）(1)設(shè)（弧度），將綠化帶總長度表示為的函數(shù)；(2)試確定的值，使得綠化帶總長度最大，并求最大值．【答案】(1)，；(2)；.【分析】（1）連接OC，BC，利用直角三角形邊角關(guān)系及弧長公式列式計算作答.（2）由（1）的結(jié)論，借助導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最大值作答.【詳解】（1）連接OC，BC，如圖，由AB是半圓直徑得，而，，則，，則圓弧BC長為，所以(m)，.（2）由（1）知，，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，(m)，所以時，綠化帶總長度最大，最大值為.21．已知等比數(shù)列的公比為4，且，，成等差數(shù)列，又?jǐn)?shù)列滿足，，且數(shù)列的前n項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若對任意，恒成立，求m的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式結(jié)合等差中項運(yùn)算求解，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)（1）利用裂項相消法可得，換元，可得原題意等價于對任意，恒成立，根據(jù)恒成立問題結(jié)合二次函數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）若，，成等差數(shù)列，則，即，解得，故.（2）當(dāng)時，由（1）可得：，故，∵，即，令，即，可得，故原題意等價于對任意，恒成立，∵的對稱軸為，注意到數(shù)列為遞減數(shù)列，且，故當(dāng)時，取到最大值，則，故m的最小值.22．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若當(dāng)時，，求實數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)遞減區(qū)間，遞增區(qū)間；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，求解或的x取值區(qū)間即可作答