計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 投影

計(jì)算機(jī)圖形學(xué)課件投影第1頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.1投影分類：投影透視投影(中心投影)平行投影一點(diǎn)透視斜平行投影正平行投影二點(diǎn)透視斜等測(cè)三點(diǎn)透視斜二測(cè)正軸測(cè)投影多面視圖

正等測(cè)三視圖正二測(cè)正三測(cè)剖視圖第2頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.2平行投影

投影中心到投影平面的距離為無窮大時(shí)投影稱為平行投影。平行投影可分為正平行投影（投影方向垂直于投影面）和斜平行投影（投影方向不垂直于投影面）。計(jì)算機(jī)繪制的三視圖、正軸測(cè)圖和斜軸測(cè)圖就是通過這兩種平行投影得到的平面圖形。第3頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

三視圖即主視圖、俯視圖、側(cè)視圖是分別將三維立體對(duì)正面、水平面和側(cè)面作正投影得到的三個(gè)基本視圖。用計(jì)算機(jī)繪制立體圖的三視圖的具體步驟：建立三維空間坐標(biāo)系，這里定義一個(gè)右手直角坐標(biāo)系，即z軸正向朝上。在這個(gè)定義的坐標(biāo)系下，確定三維立體上各點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)引入齊次坐標(biāo)。求出所作變換相應(yīng)的四階變換矩陣，一般根據(jù)變換前后圖形上點(diǎn)的幾何關(guān)系或由已知的變換矩陣求得。將所作變換寫出矩陣表示式，通過運(yùn)算求得三維立體上各點(diǎn)(x,y,z)竟變換后的相應(yīng)點(diǎn)(x’,y’)或(y’,z’)或(x’,z’)，一般是二維點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。有變換后的所有二維點(diǎn)繪出三維立體投影后的平面圖形，即為主視圖、俯視圖或側(cè)視圖。8.2.1三視圖第4頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第5頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

在右手直角坐標(biāo)系中，將三維立體向xOz面（正面V）作正投影，得到主視圖。由投影變換前后三維立體上點(diǎn)到主視圖上點(diǎn)的關(guān)系，可知此投影變換的變換矩陣為：(1)主視圖第6頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

Tv：主視圖的投影變換矩陣，簡(jiǎn)稱投影矩陣。若已知三維立體上n個(gè)點(diǎn)(xi,yi,zi)，則各點(diǎn)的齊次坐標(biāo)可寫成n4階矩陣，主視圖的投影變換矩陣表示式為：

在繪圖時(shí)，只要取x=xi,y=zi(i=1,2,…,n)，，就可在屏幕上繪出三維立體的主視圖。第7頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

三維立體向xOy面（水平面H）作正投影得到俯視圖。其投影變換矩陣：

為了使俯視圖與主視圖也畫在一個(gè)平面內(nèi)，就要使H面繞x軸負(fù)方向轉(zhuǎn)90o，此旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：(2)俯視圖第8頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

為了使俯視圖與主視圖間有一定的間距，還要使H面沿負(fù)z方向平移一段距離z0。其變換矩陣為：第9頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因此俯視圖的投影變換矩陣為上面三個(gè)變換矩陣的連乘積，即：

其中TH矩陣的第二列為零說明H面繞x軸負(fù)方向轉(zhuǎn)90o后，xOy上的投影變成了xOz面上的投影。第10頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四俯視圖的投影變換矩陣表示為：

由此得到三維立體的俯視圖上n個(gè)點(diǎn)(xi,-yi-z0)(i=1,2,…,n)，取x=xi,y=-yi-z0(i=1,2,…,n)，便可繪出三維立體的俯視圖。第11頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

將三維立體向yOz面(側(cè)面W)作正投影得到俯視圖。其投影變換矩陣：

為了使俯視圖與主視圖都畫在一個(gè)平面內(nèi)，就要使W面繞z軸轉(zhuǎn)90o，此旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：(3)側(cè)視圖第12頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

為了使側(cè)視圖與主視圖間有一定的間距，還要使W面沿負(fù)x方向平移一段距離x0。其變換矩陣為：第13頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四因此側(cè)視圖的投影變換矩陣為上面三個(gè)變換矩陣的連乘積，即：

其中TW矩陣的第二列為零說明W面繞z軸轉(zhuǎn)90o后，yOz上的投影變成了xOz面上的投影。第14頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四側(cè)視圖的投影變換矩陣表示為：

由此得到三維立體的側(cè)視圖上n個(gè)點(diǎn)(-yi-x0,zi)(i=1,2,…,n)，取x=-yi-x0，y=-zi(i=1,2,…,n)，便可繪出三維立體的側(cè)視圖。先讓三維立體作投影面，然后旋轉(zhuǎn)投影面得到平攤在同一個(gè)平面上的三個(gè)視圖。也可以先把三維立體作旋轉(zhuǎn)，然后再向投影面作正投影得到同樣的三視圖。第15頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.2.2正軸測(cè)圖正軸測(cè)圖是將三維立體向一個(gè)單一的投影面作平行投影并且投影方向垂直于投影面時(shí)得到的平面圖形。正軸測(cè)圖可分為正等測(cè)圖、正二測(cè)圖、和正三測(cè)圖。正軸測(cè)圖的形成：將三維立體繞某一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，在繞另一坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，最后向包含這兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面作正投影即得到正軸測(cè)圖。第16頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四正軸測(cè)圖的投影變換矩陣

選定右手直角坐標(biāo)系，三維立體位于此坐標(biāo)系中，按照正軸測(cè)圖形成過程，可先將立體繞z軸旋轉(zhuǎn)-角，再將立體繞x軸角，然后將立體向Ozx面作正投影，得其正軸測(cè)圖的投影變換矩陣為：第17頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四取=20.7o,=19.47o取=45o,=35.27o常用的正軸測(cè)圖有正等軸測(cè)和正二軸測(cè)，正等軸測(cè)圖是作正軸測(cè)投影時(shí)，x,y,z三個(gè)方向長(zhǎng)度縮放率一樣時(shí)的正軸測(cè)圖。正二測(cè)圖是作正軸測(cè)投影當(dāng)x,z兩個(gè)方向長(zhǎng)度縮放率一樣時(shí)的正軸測(cè)圖。正等軸測(cè)圖與正二測(cè)圖的變換矩陣為：第18頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.2.3斜軸測(cè)圖斜軸測(cè)圖是將三維立體向一個(gè)單一的投影面作平行投影，但投影方向不垂直與投影面所得到的平面圖形。常用斜軸測(cè)圖可分為斜等測(cè)圖和斜二測(cè)圖。斜軸測(cè)圖也可以看成：先將三維立體圖形沿兩個(gè)軸向錯(cuò)切，然后再向投影面作正投影，則得到立體的斜軸測(cè)圖。選定右手直角坐標(biāo)系，三維立體位于此坐標(biāo)系中，按照斜軸測(cè)圖形成過程，可先將立體沿x含z方向錯(cuò)切，再沿y含z方向錯(cuò)切，最后向xOy面投影，得其軸測(cè)圖的投影變換矩陣為：第19頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第20頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四常用的正軸測(cè)圖有斜等軸測(cè)和斜二軸測(cè)，斜等軸測(cè)圖是作斜軸測(cè)投影時(shí)，x,y,z三個(gè)方向長(zhǎng)度在投影后保持不變的斜軸測(cè)圖。斜等軸測(cè)的變換矩陣為：第21頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四斜二測(cè)圖是作斜軸測(cè)投影時(shí)，x,y兩個(gè)方向長(zhǎng)度不變，z方向的長(zhǎng)度改變的斜軸測(cè)圖。斜二軸測(cè)的變換矩陣為：第22頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四8.3透視投影圖透視圖和軸測(cè)圖都是單面投影圖，所不同的是軸測(cè)圖是用平行投影原理形成的，透視圖是用中心投影原理形成的。兩者雖然都是立體圖，但透視圖的效果更接近人們用肉眼觀察的實(shí)際效果，因而它的立體感和真實(shí)感均優(yōu)于軸測(cè)圖。第23頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四透視圖的形成

滅點(diǎn)：垂直于畫面M的直線在無窮遠(yuǎn)處的透視。假設(shè)在觀察者與物體之間放置一透明的畫面M，透視投影中心稱為視點(diǎn)，視點(diǎn)與物體上各點(diǎn)的連線稱為視線，各視線與畫面的交點(diǎn)a,b,…稱為A,B,…各點(diǎn)的透視，將物體各點(diǎn)的透視連接起來便得到立體的透視投影圖。第24頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四透視投影圖透視變換矩陣一點(diǎn)透視兩點(diǎn)透視三點(diǎn)透視特點(diǎn)：產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的視覺效果，由它產(chǎn)生的圖形深度感強(qiáng)，看起來更加真實(shí)。第25頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第26頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一點(diǎn)透視先假設(shè)q=0，p=r=0。然后對(duì)點(diǎn)（x,y,z）進(jìn)行變換，結(jié)果如下：齊次化得：當(dāng)y=0時(shí)：(x*,y*,z*)=(x,0,z)當(dāng)y時(shí)：(x*,y*,z*)=(0,1/q,0)(0,1/q,0)就是滅點(diǎn)，象這樣形成一個(gè)滅點(diǎn)的透視變換稱為“一點(diǎn)透視”效果圖第27頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一點(diǎn)透視效果圖q<0第28頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四同理，當(dāng)p=0，q=r=0時(shí)，將會(huì)在x軸上的1/p處產(chǎn)生一個(gè)滅點(diǎn)，其坐標(biāo)值為（1/p,0,0），此時(shí)所有平行于x軸的直線將延伸交于該點(diǎn)。當(dāng)r=0，p=q=0時(shí)，將會(huì)在z軸上的1/r處產(chǎn)生一個(gè)滅點(diǎn)，其坐標(biāo)值為（0,0,1/r），此時(shí)所有平行于z軸的直線將延伸交于該點(diǎn)。第29頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩點(diǎn)透視p,q,r中有兩個(gè)為非零數(shù)，將會(huì)生成兩個(gè)滅點(diǎn)，因此得到兩點(diǎn)透視。當(dāng)p=0，r=0時(shí)，結(jié)果為：齊次化得：

x*=x/(px+rz+1)y*=y/(px+rz+1)z*=z/(px+rz+1)當(dāng)x時(shí)：一個(gè)滅點(diǎn)在x軸的1/p處當(dāng)z時(shí)：一個(gè)滅點(diǎn)在z軸的1/r處第30頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三點(diǎn)透視當(dāng)p,q,r都不為0時(shí)，結(jié)果將會(huì)產(chǎn)生三個(gè)滅點(diǎn)，從而形成三點(diǎn)透視。產(chǎn)生的三個(gè)滅點(diǎn)分別在x軸的1/p處、y軸的1/q處、z軸的1/r處。第31頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四生成透視投影圖的方法：先是對(duì)立體進(jìn)行透視變換，然后是將其投影到正面投影面上，形成正投影圖。透視投影矩陣：第32頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一點(diǎn)透視投影圖的生成

為了獲得較好的效果，通常將立體平移到一個(gè)合適的位置，然后在進(jìn)行透視投影變換。則生成一點(diǎn)透視投影的變換矩陣為：

取-1<q<0，可獲得效果較好的透視圖。第33頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二點(diǎn)透視投影圖的生成先將立體繞z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角，以使得立體上的xOz平面和yOz平面與正面投影面產(chǎn)生一定的傾斜交角，然后再對(duì)立體進(jìn)行透視變換并向正面投影面進(jìn)行投影。二點(diǎn)透視又叫“成角透視”。生成二點(diǎn)透視投影的變換矩陣為：第34頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三點(diǎn)透視投影圖的生成先將立體繞z軸旋轉(zhuǎn)角；再將立體繞x軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角；進(jìn)行透視變換；進(jìn)行正投影。生成三點(diǎn)透視投影的變換矩陣為：第35頁(yè)，共37頁(yè)，2023年，2月20日，星期四繪圖步驟繪制三視圖、正軸測(cè)圖和斜軸測(cè)圖