高中數(shù)學(xué)-二項式定理教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

PAGE新授課1．3．1二項式定理一、【教學(xué)目標(biāo)】重點:用兩個計數(shù)原理分析的展開式，歸納的得出二項式定理，并能用計數(shù)原理證明．掌握二項展開式的通項公式．難點：用兩個原理分析的展開式；用兩個原理證明二項式定理．知識點：理解二項展開式的推導(dǎo)過程；掌握公式的運用．能力點：如何探尋二項展開式證明思路，歸納思想的運用．教育點：經(jīng)歷由特殊到一般的研究數(shù)學(xué)問題的過程，體會探究的樂趣，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情．自主探究點：運用數(shù)學(xué)歸納法證明二項式定理．考試點：用通項公式求特殊項．拓展點：用數(shù)學(xué)歸納法證明二項式定理．二、【引入新課】問題1：你知道的展開式嗎？；．問題2：的展開式是什么樣的呢？學(xué)生不知道它們的展開式是什么，但能夠提出解決的方法，比如：將或者，依次可以計算等，提出某種計算思路即可．問題3：以上幾個式子的左邊在形式上有什么共同點？均是的格式．的展開式就是今天我們要研究的內(nèi)容：1.3.1二項式定理．（教師板書課題）【設(shè)計意圖】以同學(xué)們熟悉的問題出發(fā)，逐層提高問題的難度，使同學(xué)們產(chǎn)生學(xué)習(xí)的興趣，并由學(xué)生自己提煉出這類問題的格式特點，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)的內(nèi)容來源于以往的知識，又有所提升，興趣盎然！三、【探究新知】探究一：展開式．為了更好地理解的展開原理，我們首先從最簡單的格式出發(fā)，探究其展開式的計算原理．在初中，我們用多項式乘法法則得到了的展開式：從上述過程可以看到，是2個相乘，根據(jù)多項式乘法法則，每個在相乘時有2個選擇，選或，而且每個中的或都選定后，才能得到展開式的一項．于是，由分步乘法計數(shù)原理，在合并同類項之前，展開式共有項，即對應(yīng)展開式的第二行，觀察這幾項的格式，我們可以發(fā)現(xiàn)，它們都具有這樣的格式特點：．下面我們再來分析一下形如的同類項的個數(shù)．當(dāng)時，，是由2個中都不選得到的，相當(dāng)于從2個中取0個（即都取）的組合數(shù)，因此只有1個；當(dāng)時，，是由1個中選，另1個選得到的，由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個中取1個的組合數(shù)，即共有，也就是2個；當(dāng)時，，是由2個中都選得到的，相當(dāng)于從2個中取2個的組合數(shù)，因此只有1個；由上述分析，我們可以這樣理解的展開式：探究：你能仿照上述過程，自己推導(dǎo)出的展開式嗎？（與最初同學(xué)們的展開式完全一致）,（可讓學(xué)生通過展開式計算驗證）．思考：那么，你對于的展開式有什么猜想嗎？試著寫出來．猜想：對于任意的正整數(shù)，我們有．證明：由于是個相乘，每個在相乘時，有兩種選擇，選或，而且每個中的或都選定后，才能得到展開式的一項．因此，由分步計數(shù)原理可知，在合并同類項之前，展開式共有項，其中每一項都是的形式．對于某個，對應(yīng)的項，它是由個選了，個選了得到的，由于選定后，的選法也隨之確定，因此，出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從個中取個的組合數(shù)，這樣，的展開式中，共有個，將它們合并同類項，就得二項展開式：．上述公式叫做二項式定理．【設(shè)計意圖】根據(jù)二項式定理的格式，學(xué)生想到用數(shù)學(xué)歸納法證明應(yīng)是一種很常規(guī)的思路，但在計算上有些許難度，建議教師根據(jù)學(xué)生的能力選擇性講解．探究二：二項展開式的性質(zhì)與通項：對于二項式定理：（教師引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納）通過觀察我們可以得到二項展開式的以下性質(zhì)：1、項數(shù)：展開式中共項．2、指數(shù)：字母按降冪排列，次數(shù)由遞減到0；字母按升冪排列，次數(shù)由0遞增到．3、系數(shù)：各項的系數(shù)叫二項式系數(shù)．4、通項：叫二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：．5、特例：設(shè)，則．思考：對于你將如何處理？生：．特別的，設(shè)，則．四、【理解新知】問題1：二項式定理研究的的展開式是什么格式？如何從組合數(shù)的角度解釋展開式？．解釋過程教師引導(dǎo)學(xué)生口述．問題2：的二項展開式中有哪些性質(zhì)特點？從項數(shù)、指數(shù)、二項式系數(shù)、通項的角度進(jìn)行強調(diào)分析． 【設(shè)計意圖】分析二項展開式的格式和性質(zhì)特點，使學(xué)生準(zhǔn)確和理性記憶公式，為正確地運用新知，作必要的鋪墊．五、【運用新知】類型一：二項式定理的正用、逆用：例1．求的展開式．解法1：先化成指數(shù)冪，直接展開解法2：為了方便，可以先化簡后展開=【設(shè)計意圖】本題主要讓學(xué)生熟悉二項展開式，教師引導(dǎo)學(xué)生獨立完成，可以讓學(xué)生對“直接展開”和“化簡后展開”進(jìn)行對比．【變式練習(xí)】化簡．分析：本題為二項式定理的逆用，注意常數(shù)項的處理．解：小結(jié)：二項式的正用時，式子特點是由少到多，而逆用時，式子特點是化簡過程由多到少．類型二：二項展開式通項的應(yīng)用：例2、對于：（1）求其展開式中的第3項；（2）求其展開式中第3項的系數(shù)；（3）求其展開式中第3項的二項式系數(shù)；（4）求其展開式中的常數(shù)項．【分析】：我們在例1中，已經(jīng)解決了它的展開式，所以，以上問題通過展開式就能直接寫出來，那么如果沒有解出其展開式，你還有別的辦法嗎？生：其展開式計算很復(fù)雜，如果只是單純的解決第幾項的問題，可以通過其展開式通項的格式入手．【解答】（1）由可知其通項為：而第3項，令可得：即第3項為．（2）顯然，第3項的系數(shù)為240．（3）第3項的二項式系數(shù)應(yīng)為．（4）要求其展開式中的常數(shù)項，即的冪次為0：其通項為，令的冪次為0，即解得，故展開式的第3+1項即第4項為常數(shù)項，是．【點評】在解決二項展開式的某一項問題時，要注意區(qū)分二項式系數(shù)與指定某一項系數(shù)的差別，前者只與二項式的指數(shù)及項數(shù)有關(guān)，與二項式內(nèi)部的各個數(shù)字無關(guān)，第項的二項式系數(shù)一定是，而指定某一項的系數(shù)則是二項式、二項式的指數(shù)及二項式內(nèi)部各項字母的系數(shù)綜合計算后的結(jié)果．【變式練習(xí)】已知的展開式中，第4項的二項式系數(shù)是倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)的7倍，求展開式中的一次項．解：根據(jù)題意可知：即整理可得：，解得．故其通項公式為令，解得，故展開式中含的項應(yīng)為第3項即．【設(shè)計意圖】在有關(guān)通項的計算問題中，要加大學(xué)生的計算，提高學(xué)生對通項公式的使用熟練程度．本題在原有例題的基礎(chǔ)上適當(dāng)變化，及拓寬了學(xué)生的思維，靈活使用的方法，不使其死板，又達(dá)到考查的目的．六、【課堂小結(jié)】教師提問：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答：1、知識：（1）二項展開式．（2）通項．2、思想方法：歸納思想，轉(zhuǎn)化與劃歸思想教師總結(jié)：我們用由特殊到一般的歸納思想推導(dǎo)出二項式定理，公式的推導(dǎo)和證明過程用到了第一章學(xué)過的計數(shù)原理的知識，從項的產(chǎn)生過程著手，易于理解，方便記憶，從另外一個角度看的展開理論．在具體的計算過程中，無論是對二項式展開，還是求特定項，可以先對通項公式進(jìn)行化簡，然后代入具體的值，以降低運算量，避免出錯，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想方法．七、【布置作業(yè)】1．閱讀教材P29—31；2．書面作業(yè)必做題：P31練習(xí)2、3、4．P37習(xí)題1．3A組2．4．選做題：1、求的展開式．2、求的展開式中的常數(shù)項．3、求的展開式中，第4項的二項式系數(shù)及第4項的系數(shù)．【設(shè)計意圖】作業(yè)設(shè)計，一是讓學(xué)生通過閱讀教材對二項式定理有更深入的認(rèn)知，二是通過課后作業(yè)的練習(xí)進(jìn)一步鞏固對本節(jié)知識的掌握，三是通過選做題，提高學(xué)生的知識應(yīng)用靈活度，同時發(fā)散其思維能力．八、【板書設(shè)計】1．3．1二項式定理引例：探究：1、二項式定理：2、展開式性質(zhì)：3、通項：例1例2人教A版選修2-3第一章《二項式定理》學(xué)情分析這一堂課面對的是高二第二學(xué)期的學(xué)生，學(xué)生在高一已經(jīng)學(xué)習(xí)了根式、乘方與開方、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算，高二上學(xué)期學(xué)習(xí)了數(shù)列，在此之前的幾節(jié)課學(xué)習(xí)了排列與組合等，有了這些知識儲備，學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)之下理解并掌握本節(jié)課內(nèi)容中的推理演繹過程。但是，學(xué)生進(jìn)行自我探究，歸納，分析的能力還有待于提高。因此本節(jié)課的教學(xué)仍然要在教師的講解引導(dǎo)下進(jìn)行。

通過對預(yù)習(xí)學(xué)案的批閱，對于學(xué)生的預(yù)習(xí)情況總結(jié)如下：

1、學(xué)生對二項展開式的推導(dǎo)理解不清，求二項式展開式的過程中，存在漏項的問題；2、二項展開式通項公式的形式不能準(zhǔn)確寫出，存在因式遺漏現(xiàn)象；3、二項式系數(shù)與項的系數(shù)兩個概念不能準(zhǔn)確區(qū)分；4、組合數(shù)的計算不靈活、不準(zhǔn)確。人教A版選修2-3第一章《二項式定理》效果分析題號答對人數(shù)答對率第1題420.78第2題450.83第3題310.57第4題（1）340.63第4題（2）260.48通過課上當(dāng)堂檢測的反饋結(jié)果來看，全班的正答率在45%-85%之間。第一題與第二題的答對率明顯的高于其它題目。由此可見學(xué)生對二項式定理及通項掌握較好，對于二項式系數(shù)、求指定項即對通項公式的靈活運用還有所欠缺。人教A版選修2-3第一章《1.3.1二項式定理》教材分析1.教材的地位和作用二項式定理一節(jié)，分四個課時.這里講的是第一課時，重點是公式的推導(dǎo)，其次是二項式定理及二項展開式通項公式的簡單應(yīng)用，至于二項式定理及二項展開式的通項公式的靈活運用和二項式系數(shù)的性質(zhì)留在第二、三、四課時.二項式定理是初中學(xué)習(xí)的多項式乘法的繼續(xù)，它所研究的是一種特殊的多項式——二項式的乘法的展開式，這一小節(jié)與不少內(nèi)容都有著密切聯(lián)系，特別是它在本章學(xué)習(xí)中起著承上啟下的作用.學(xué)習(xí)本小節(jié)的意義主要在于：（1）由于二項式定理與概率理論中的三大概率分布中的二項分布有內(nèi)在聯(lián)系，本小節(jié)是學(xué)習(xí)后面的概率知識以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計的準(zhǔn)備知識.（2）由于二項式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，利用二項式定理可得到關(guān)于組合數(shù)的一些恒等式，從而深化對組合數(shù)以及計數(shù)原理的認(rèn)識.（3）基于二項式展開式與多項式乘法的聯(lián)系,本小節(jié)的學(xué)習(xí)可對初中學(xué)習(xí)的多項式的變形起到復(fù)習(xí)、深化的作用.（4）二項式定理是解決某些整除性、近似計算問題的一種方法.2.教學(xué)的重點·難點根據(jù)以上分析和新課標(biāo)的教學(xué)要求確定了以下：重點：二項定理的推導(dǎo)及運用難點：二項式定理及通項公式的運用課堂達(dá)標(biāo)檢測1.3.1二項式定理1.化簡(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得()A.x4 B.(x-1)4 C.(x+1)4 D.x52.(x-2y)7的展開式中的第4項為()A.-280x4y3 B.280x4y3C.-35x4y3 D.35x4y33.在(x-)10的展開式中，x6的系數(shù)是()4.已知二項式展開式中，前三項的二項式系數(shù)和是56，求：(1)n的值；(2)展開式中的常數(shù)項.

課堂達(dá)標(biāo)檢測1.3.1二項式定理1、【解析】選A.原式=(x-1+1)4=x4.2、【解析】選A.(x-2y)7的展開式中的第4項為3、【解析】選D.令10-k=6，知k=4，所以，即x6的系數(shù)為.4、【解析】(1)=56所以n2+n-110=0?n=10,n=-11(舍去),故n=10.(2)展開式的第r+1項是令20-=0?r=8.故展開式中的常數(shù)項是.人教A版選修2-3第一章《二項式定理》課后反思一、這節(jié)課，我主要考慮下面幾個問題：（1）這節(jié)課的教學(xué)目的“使學(xué)生掌握二項式定理”重要，還是“使學(xué)生掌握二項式定理的形成過程”重要？我反復(fù)斟酌，聽取了備課組老師們的意見，認(rèn)為后者重要。于是，我這節(jié)課花了大部分時間是來引導(dǎo)學(xué)生探究。（2）學(xué)生怎樣才能掌握二項式定理？是通過大量的練習(xí)來達(dá)到目的，還是通過學(xué)生對二項式定理的形成過程來記憶？正如前面所說“學(xué)問之道，問而得，不如求而得之深固也”。我還是要求學(xué)生自主的去探索二項式定理。這樣也符合以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體、師生互動的新課程教學(xué)理念。（3）準(zhǔn)備什么樣的例題？例題的目的是為了鞏固本節(jié)課所學(xué)，通過例題加深學(xué)生對二項式定理的理解和對通項公式的掌握，區(qū)分系數(shù)和二項式系數(shù)。二、本課的亮點是：（1）引入時利用學(xué)生熟悉的問題出發(fā)，逐層提高難度，激發(fā)學(xué)生的興趣和斗志；（2）注重了對二項式定理的推導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握二項式定理的形成過程；（3）對于二項式定理的記憶，多強調(diào)其展開意義，理性記憶，而不是強求死記硬背；（4）對于例題的處理，為了節(jié)省課堂時間，增強實際教學(xué)效果，我們始終在例1的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，展開式中利用例1，求特定項中也利用例1，一方面方便學(xué)生從不同的角度做完后檢查答案的正確性，另一方面，讓學(xué)生明顯的比較出方法簡易程度的對比．三、本節(jié)課的弱項是：本節(jié)課重點講解二項式定理展開式的證明過程，加強學(xué)生在二項式定理的理性記憶，但教案內(nèi)容涉及的不同計算能力的題目不多，僅僅是類型足夠，需要加大習(xí)題量加強和提高學(xué)