2023屆內(nèi)蒙古阿拉善盟高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆內(nèi)蒙古阿拉善盟高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解出集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解得集合B，結(jié)合交集的概念和運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得，解得，即，由，得，即，所以.故選：A.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，那么復(fù)數(shù)z的虛部為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意和復(fù)數(shù)的乘、除法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念即可求解.【詳解】由，得，所以復(fù)數(shù)z的虛部為故選：B.3．從2名男生和4名女生中選3人參加校慶匯報(bào)演出，其中至少要有一男一女，則不同的選法共有（

）A．16種 B．192種 C．96種 D．32種【答案】A【分析】分1男2女和2男1女兩種情況分別選取即可得出答案.【詳解】若選出的3人為1男2女的情況有種.若選出的3人為2男1女的情況有種.所以至少要有一男一女的選法有，故選：A．4．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家李善蘭在《對(duì)數(shù)探源》中利用尖錐術(shù)理論來(lái)制作對(duì)數(shù)表.他通過(guò)“對(duì)數(shù)積”求得ln2≈0.693，，由此可知ln0.2的近似值為（

） 【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)近似值的運(yùn)算.【詳解】因?yàn)閘n2≈0.693，所以ln4≈1.386，因?yàn)?，所以，所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.故選：C5．已知，則下列不等式不成立的是A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出不等式不成立的選項(xiàng).【詳解】依題意，由于為定義域上的減函數(shù)，故為定義域上的增函數(shù)，故，則，故，所以C選項(xiàng)不等式成立.綜上所述，本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6．已知矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若（，為實(shí)數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量運(yùn)算的平行四邊形法則求出即可．【詳解】解：如圖在矩形中，，在中，，，，．故選：A．7．已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．D．【答案】C【分析】結(jié)合輔助角公式可求得的值域，進(jìn)而利用構(gòu)造方程求得的值，知D錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱軸的求法可知AB正誤；代入知C正確.【詳解】（其中），，，，解得：；，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，不是的對(duì)稱軸，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：C.8．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A．40 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】畫(huà)出可行域，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的距離的平方即可【詳解】約束條件所滿足的區(qū)域如圖所示目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是點(diǎn)到區(qū)域內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的距離的平方由圖知此最小值為以點(diǎn)為圓心，與直線相切的圓的半徑的平方根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，求得圓心到直線的距離為故最小值為4故選：C．9．已知是等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，則“對(duì)任意的且，”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．充要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分必要的定義判斷．【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的且，，當(dāng)n＝2時(shí)，，當(dāng)n＝4時(shí)，，所以成立；充分性成立當(dāng)成立時(shí)，可推出等差數(shù)列的公差大于零，但“對(duì)任意的且，”未必恒成立，例如，，當(dāng)n＝1時(shí)，不成立，必要性不成立．故選：B．10．若實(shí)數(shù)，滿足，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】討論實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)方程式，結(jié)合圖象求得距離最值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，如圖所示：直線與漸近線的距離點(diǎn)到的距離，所以當(dāng)時(shí)上的點(diǎn)到直線的最大距離為綜上：點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是，故選：C．【點(diǎn)睛】討論實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)方程式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.11．已知雙曲線C：的右支上一點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)N，F(xiàn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則雙曲線C的離心率e的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取雙曲線的左焦點(diǎn)為，可得四邊形是矩形，，這樣矩形的邊可用和表示，結(jié)合雙曲線定義得出關(guān)系求得離心率，然后利用三角函數(shù)性質(zhì)得出離心率最大值．【詳解】假設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由已知得點(diǎn)在雙曲線的左支，連接，，根據(jù)雙曲線的定義：，由已知得四邊形平行四邊形，所以，所以有，又，所以四邊形是矩形，得，所以，，所以，則離心率，由，得，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，的最大值為，又，所以的最大值為，故選：D.12．已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，若該正三棱柱的外接球體積為，當(dāng)最大時(shí)，該正三棱柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由外接球半徑體積可得外接球半徑，根據(jù)勾股定理，設(shè)，根據(jù)可行域可得當(dāng)直線與曲線相切時(shí)最大，聯(lián)立令解出的值即可.【詳解】因?yàn)檎庵饨忧虻捏w積為，所以，設(shè)球心為，底面外接圓圓心為，由正三棱錐可得，底面外接圓半徑，所以由勾股定理得，設(shè)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，最大，聯(lián)立方程組得，由，得或（舍去），此時(shí)，，所以正三棱柱的體積，故選：B二、填空題13．若的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_________.【答案】【分析】列出此二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的次數(shù)為0求得r，代入通項(xiàng)即可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)題.14．函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【分析】先求導(dǎo)，進(jìn)而得切線斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式即得.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則，故切線斜率為2，又，所以切線方程為，即．故答案為：.15．設(shè)函數(shù)，已知在上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是________.【答案】【分析】利用三角恒等變換公式將函數(shù)化簡(jiǎn)得，由的取值范圍求出的取值范圍，令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合來(lái)求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，令，則，作出函數(shù)的圖像如圖所示：由于函數(shù)在上有且僅有個(gè)極值點(diǎn)，則，解得.故答案為：三、雙空題16．已知等比數(shù)列的公比為q，且，，則q的取值范圍為_(kāi)_____；能使不等式成立的最大正整數(shù)______.【答案】4039【分析】根據(jù)已知求得的表達(dá)式，由此求得成立列不等式，化簡(jiǎn)求得的取值范圍，從而求得最大正整數(shù).【詳解】由已知，結(jié)合知，解得，故q的取值范圍為.由于是等比數(shù)列，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.要使成立則即，將代入整理得：故最大正整數(shù).故答案為：；【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，屬于中檔題.四、解答題17．下圖的莖葉圖記錄了甲，乙兩組各八位同學(xué)在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）.已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為25.（1）求x，y的值；（2）計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，并比較哪一組的成績(jī)更穩(wěn)定？【答案】（1），；（2）、，乙組的成績(jī)更穩(wěn)定.【分析】（1）由題意可得，可求出的值，由平均數(shù)的公式列方程可求出y的值；（2）利用方差公式計(jì)算甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差，然后進(jìn)行判斷即可【詳解】（1）由，得，由，得．（2）設(shè)甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為、，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，，，因?yàn)?，所以乙組的成績(jī)更穩(wěn)定．18．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2AB，PA⊥平面ABCD，E為線段BCPDE將四棱錐P-ABCD分成體積比為3：1的兩部分.（1）求證：平面PDE⊥平面PAE；（2）若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由題設(shè)易得，即，再由線面垂直的性質(zhì)有，根據(jù)線面、面面垂直的判定可證面面.（2）構(gòu)建為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，根據(jù)空間向量夾角的坐標(biāo)表示求二面角余弦值，進(jìn)而求其大小.【詳解】（1）證明：∵平面，∴，即，∴為的中點(diǎn)，由，得，又是矩形，則，同理：，∴，則，∵面，面，∴，而，∴面，由面，∴面面.（2）依題意，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，不妨設(shè)，又平面，∴即為與平面所成角的平面角，故，∴，則，，，，，由（1）知：面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，而，，∴，令，故，∴，則銳二面角的大小為.19．已知數(shù)列{an}中，a1=3，，n∈N*.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由遞推關(guān)系可得，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得，即可知{a}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，應(yīng)用錯(cuò)位相減法求{a}的前n項(xiàng)和S.【詳解】（1）由得：，∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，∴，故.（2）由（1）得：，∴①，②，①②得：∴.20．已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的區(qū)間即為所求減區(qū)間；（Ⅱ）化簡(jiǎn)不等式，變形為，即求，令，求的導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性求出最小值，可求出的范圍.【詳解】（Ⅰ）由題可知.令，得，從而，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由可得，即當(dāng)時(shí)，恒成立.設(shè)，則.令，則當(dāng)時(shí)，.∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.∴，∴.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在函數(shù)中，恒成立問(wèn)題，可選擇參變分離的方法，分離出參數(shù)轉(zhuǎn)化為或，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值求出的范圍.21．已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，且F與橢圓C上點(diǎn)的距離的取值范圍為（1）求a，b；（2）若點(diǎn)P在圓M∶上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最小值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式及橢圓的有界性可得，再應(yīng)用橢圓參數(shù)關(guān)系即可求a，b；（2）由（1）知為，設(shè)、、，易得A，B處的切線方程，進(jìn)而可得的方程：，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式及三角形面積公式可得△PAB面積關(guān)于的函數(shù)式，進(jìn)而利用單調(diào)性求其最小值即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，，其中，則，又，則，∴，故，由題意：，解得，則；（2）由（1）得：橢圓為，設(shè)，，，由，則在直線：上，將直線與橢圓聯(lián)立得：，即，，故直線與相切，故在處的切線方程為：，同理在處的切線方程為：，∵直線與直線相交于點(diǎn)，故有且，∴直線的方程為：，將直線與橢圓聯(lián)立得：，則，故當(dāng)時(shí)，，故，易驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，該式也成立，∵點(diǎn)到直線的距離，∴△的面積，令，則在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)，即，或時(shí)，△面積取得最小值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，應(yīng)用方程思想求A，B處的切線方程，進(jìn)而寫(xiě)出的方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，綜合應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式和三角形面積公式得到△PAB面積關(guān)于參數(shù)的函數(shù)，最后利用單調(diào)性求最值.22．經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，-4）且斜率為1的直線l與拋物線C：y2=2px（p>0）分別交于A，B兩點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線l的參數(shù)方程和拋物線C的極坐標(biāo)方程；（2）若成等差數(shù)列，求p的值.【答案】（1）（其中為參數(shù)），；（2）.【分析】（1）根據(jù)直線所過(guò)的點(diǎn)及斜率即可求出直線的參數(shù)方程，利用極坐標(biāo)公式可求出拋物線的極坐標(biāo)方程；（2）直線的參數(shù)方程代入拋物線方程，化簡(jiǎn)可得關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系及成等差數(shù)列即可求解.【詳解】（1）直線的參數(shù)方程為（其中為參