2023屆浙江省杭州地區(qū)（含周邊重點(diǎn)中學(xué)）高三一模數(shù)學(xué)試題

2023屆浙江省杭州地區(qū)（含周邊重點(diǎn)中學(xué)）高三一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】依題意得，，所以．故選：C．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可．【詳解】由復(fù)數(shù)，則．故選：B．3．已知單位向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將=1兩邊平方得到向量的數(shù)量積，再根據(jù)在方向上的投影向量公式得出結(jié)果.【詳解】由已知，因?yàn)?，所?所以在方向上的投影向量為.故選：B．4．國際數(shù)學(xué)家大會已經(jīng)有了一百多年歷史，每屆大會都是吸引當(dāng)時(shí)世界上研究各類數(shù)學(xué)和相關(guān)問題的世界頂級科學(xué)家參與世紀(jì)的第一次國際數(shù)學(xué)家大會在我國北京舉行，有來自多個(gè)國家的多位數(shù)學(xué)家參加了本次大會這次大會的“風(fēng)車”會標(biāo)取材于我國古代數(shù)學(xué)著作《勾股圓設(shè)方圖》，該弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形，若下圖中所示的角為，且大正方形與小正方形面積之比為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直角三角形較短的直角邊長為，則較長的直角邊長為，求出小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，結(jié)合題意可得，聯(lián)立，求解即可得出答案【詳解】解：設(shè)直角三角形較短的直角邊長為，則較長的直角邊長為，小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，大正方形與小正方形面積之比為，所以，，則，①因?yàn)?，則，②又因?yàn)?，③由①②③可?故選：C.5．四位爸爸、、、相約各帶一名自己的小孩進(jìn)行交際能力訓(xùn)練，其中每位爸爸都與一個(gè)別人家的小孩進(jìn)行交談，則的小孩與交談的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)、、、四位爸爸的小孩分別是、、、，列舉出所有的基本情況，并列舉出“的小孩與交談”所包含的基本情況，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】解：設(shè)、、、四位爸爸的小孩分別是、、、，則交談組合有種情況，分別為：，，，，，，，，，的小孩與交談包含的不同組合有種，分別為：，，，的小孩與交談的概率是．故選：A.6．已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn)和條對稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用余弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用即可求出的取值范圍．【詳解】函數(shù)，令，由，則，又函數(shù)在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn)和條對稱軸，即在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn)和條對稱軸，作出的圖象如下，所以，得．故選：D．7．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，對求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性即可比較函數(shù)值大?。驹斀狻苛睿瑒t，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，又，所以，所以，，所以，故．故選：B8．空間中四個(gè)點(diǎn)、、、滿足，，且直線與平面所成的角為，則三棱錐的外接球體積最大為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求的外接圓的半徑，過作平面于，可得，可得當(dāng)，，在一直線上時(shí)，三棱錐的外接球體積最大，求解即可．【詳解】設(shè)是三角形的外接圓的圓心，因?yàn)椋允钦切?，則三棱錐的外接球的球心在過且與平面垂直的直線上，由題意可得，過作平面于，直線與平面所成的角為，，，故的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)球心到的距離最大時(shí)，三棱錐的外接球體積最大，所以在延長線上時(shí)，三棱錐的外接球體積最大，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，，又，，所以，，，三棱錐的外接球體積最大為.故選：C．二、多選題9．如圖，正四棱柱中，，、分別為的中點(diǎn)，則（

）A．B．直線與直線所成的角為C．直線與直線所成的角為D．直線與平面所成的角為【答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理、線面角的定義，結(jié)合異面直線所成的角定義逐一判斷即可.【詳解】對A選項(xiàng)，如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，又，分別為的中點(diǎn)，，且，四邊形為平行四邊形，，又易知，，所以本選項(xiàng)正確；對B選項(xiàng)，假設(shè)直線與直線所成的角為，即，由正四棱柱的性質(zhì)可知：平面，而平面，所以，顯然平面，所以平面，而由正四棱柱的性質(zhì)可知：平面，所以，顯然這是不可能的，所以假設(shè)不成立，因此本選項(xiàng)錯誤；對C選項(xiàng)，在矩形中，因?yàn)?，所以，而，因此，所以直線與直線所成的角為，本選項(xiàng)正確；對D選項(xiàng)，由A選項(xiàng)分析可知，直線與平面所成的角為，又根據(jù)題意易知，本選項(xiàng)正確，故選：ACD10．下列說法正確的有（

）A．若事件與事件互斥，則B．若，，，則C．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則D．這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為【答案】BC【分析】利用互斥事件的定義判斷A，利用條件概率公式和獨(dú)立事件的定義判斷B，利用正態(tài)分布曲線的對稱性判斷C，利用百分位數(shù)的定義判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，若事件與事件互斥，則，故A錯誤；選項(xiàng)B，若，，，則，即事件與事件相互獨(dú)立，所以，故B正確；選項(xiàng)C：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則，所以，故C正確；選項(xiàng)D：將數(shù)據(jù)進(jìn)行排序得，共個(gè)，，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故D錯誤；故選：BC11．設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過作與軸平行的直線，和過點(diǎn)且與垂直的直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則（

）A．為定值B．當(dāng)直線的斜率為時(shí)，的面積為其中為坐標(biāo)原點(diǎn)C．若為的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，則直線，，的斜率成等差數(shù)列D．點(diǎn)到直線的距離為【答案】ACD【分析】的方程為，代入拋物線方程化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，結(jié)合拋物線方程可得的斜率為時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程可得：，利用根與系數(shù)的關(guān)系及拋物線的定義可得，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)到直線的距離，可得，利用斜率計(jì)算公式可得，，，計(jì)算作，垂足為，利用相似的性質(zhì)可得，，進(jìn)而得出，即可判斷出正誤．【詳解】解：A.，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，化為，，，，，為定值，因此A正確．的斜率為時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程可得：，，，點(diǎn)到直線的距離，的面積為，因此B不正確．，則，，，，通分后分子，，，即，則直線，，的斜率成等差數(shù)列，因此C正確．D.如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，，，又，，，因此D正確．故選：ACD．12．已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由題意可得，，令，可得，代入方程可得，變形為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及已知，，可得，，進(jìn)而根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)判斷出結(jié)論的正誤．【詳解】由題意可得，，令，則，代入方程可得，變形為，令，，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，，，即．由，，即，因此A正確；，因此B正確；，因此C不正確；令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，因此D正確．故選：ABD【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最值（范圍），步驟如下：先求函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的最值（范圍）.三、填空題13．在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______．【答案】41【分析】將問題轉(zhuǎn)化成的常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第項(xiàng)，令的指數(shù)為，求出常數(shù)項(xiàng)及含的項(xiàng)，進(jìn)而相加可得答案．【詳解】先求的展開式中常數(shù)項(xiàng)以及含的項(xiàng)；由得，由得；即的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，含的項(xiàng)為的展開式中常數(shù)項(xiàng)為故答案為：14．已知點(diǎn)，直線與圓：交于兩點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則直線的方程為______寫出一條即可【答案】（或或）【分析】分、和討論即可得解.【詳解】由圓：，得圓心，半徑，，在圓上，若，可得過圓心且，又，，直線的方程為，即；若，可得過圓心且，則,可得的直線的方程為，聯(lián)立圓方程，解得或，可得的坐標(biāo)為或，根據(jù)圓的對稱性易知，直線的方程為或，即或；若，由的等價(jià)性可知該情況與一致；綜上：直線方程為：或或．故答案為：（或或）.15．已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，若與橢圓無公共點(diǎn)的直線上存在一點(diǎn)，使得的最大值為，則橢圓離心率的取值范圍是______．【答案】【分析】不妨設(shè)，，，，直線傾斜角為，直線傾斜角為，由，結(jié)合基本不等式可得，由已知可得，進(jìn)而可求橢圓離心率的取值范圍．【詳解】不妨設(shè)，，，，設(shè)直線傾斜角為，直線傾斜角為，則，，若的最大值為，則有最小值，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，則，即，解得，又橢圓與直線無公共點(diǎn)，則，所以，所以橢圓離心率的取值范圍是．故答案為：．16．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的取值范圍是______．【答案】【分析】運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式和不等式的性質(zhì)，以及構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得所求取值范圍．【詳解】由，，可得，因?yàn)楹愠闪?，所以，即；設(shè)，，因?yàn)?，所以，即在遞減，所以，則，即，則的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最值，步驟如下：先求函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)性求得函數(shù)的最值.四、解答題17．已知中角、、所對的邊分別為、、，且滿足，．(1)求角A；(2)若，邊上中線，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理，以及三角恒等變換，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，推得，兩邊同時(shí)平方，求出，再結(jié)合三角形的面積公式，即可求解．【詳解】（1），所以由正弦定理得，，，即，，，，；（2），

則，即，而，邊上中線，故，解得，．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求及數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）先將代入題干表達(dá)式計(jì)算出，再將代入題干表達(dá)式即可計(jì)算出的值，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減進(jìn)一步推導(dǎo)即可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)第題的結(jié)果寫出與的表達(dá)式，再根據(jù)題意可得，通過計(jì)算出的表達(dá)式即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后運(yùn)用錯位相減法即可計(jì)算出前項(xiàng)和．【詳解】（1）解：由題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，即，解得，當(dāng)時(shí)，由，可得，兩式相減，可得，整理，得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，．（2）由（1）可得，，，在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，則有，，，，，兩式相減，可得，．19．如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，，平面平面，為棱上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面；(2)若，二面角為，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的一個(gè)三等分點(diǎn)，連接，，證明四邊形是平行四邊形，得出，即可證明平面．（2）由，平面平面，得出平面，，是二面角的平面角，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示向量，求出平面、平面的法向量，用法向量求平面與平面夾角的余弦值．【詳解】（1）證明：如圖所示：設(shè)點(diǎn)為的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，連接，，因?yàn)椋?，所以，，又因?yàn)?，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）如圖所示：因?yàn)?，平面平面，且平面平面，所以平面，所以，所以為二面角的平面角，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得；同理，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．20．中國男籃歷史上曾次參加亞運(yùn)會，其中次奪得金牌，是亞運(yùn)會奪冠次數(shù)最多的球隊(duì)第屆亞運(yùn)會將于年月日至月日在杭州舉辦．(1)為了解喜愛籃球運(yùn)動是否與性別有關(guān)，某學(xué)校隨機(jī)抽取了男生和女生各名進(jìn)行調(diào)查，得到列聯(lián)表如下：喜愛籃球不喜愛籃球合計(jì)男生女生合計(jì)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為喜愛籃球運(yùn)動與性別有關(guān)？(2)?；@球隊(duì)中的甲、乙、丙三名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到記開始傳球的人為第次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（i）求，，并證明：為等比數(shù)列；（ii）比較第次觸球者是甲與第次觸球者是乙的概率的大?。畢⒖脊剑?，其中為樣本容量．參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)(2)(i)，，證明見解析；(ii)第次觸球者是甲的概率比第次觸球者是乙的概率大【分析】（1）假設(shè)：喜愛足球運(yùn)動與性別獨(dú)立，即喜愛足球運(yùn)動與性別無關(guān)，計(jì)算，對照附表即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)題意寫出、的值，第次觸球者是甲的概率記為，時(shí)，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，由此得出，即可判斷是等比數(shù)列；寫出，計(jì)算和的值，比較大小即可．【詳解】（1）解：假設(shè)：喜愛足球運(yùn)動與性別獨(dú)立，即喜愛足球運(yùn)動與性別無關(guān)，計(jì)算，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為喜愛足球運(yùn)動與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過．（2）由題意知，，，，；證明：第次觸球者是甲的概率記為，則當(dāng)時(shí)，第次觸球者是甲的概率為，第次觸球者不是甲的概率為，則，從而，又，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，第次觸球者是甲的概率為，所以，第次觸球者是乙的概率為，所以第次觸球者是甲的概率比第次觸球者是乙的概率大．21．已知雙曲線：的離心率為，并且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程．(2)若直線經(jīng)過點(diǎn)，與雙曲線右支交于、兩點(diǎn)其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，且直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，證明：雙曲線在點(diǎn)處的切線平分線段．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由已知可求，，可求雙曲線的方程．（2）設(shè)，，與雙曲線聯(lián)立方程，求得，的方程求得，坐標(biāo)，可求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)處的切線經(jīng)過線段的中點(diǎn)即可．【詳解】（1）依題意，離心率，，解得，，雙曲線的方程為．（2）證明：設(shè)，，則，，直線為，代入雙曲線方程得．則且，，，，，直線的方程為，令，得，，直線為，令，得：，即，設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，過點(diǎn)的切線方程為：，要證雙曲線在點(diǎn)處