2023屆江蘇省鹽城市亭湖高級中學(xué)高三一模模擬數(shù)學(xué)試題

2023屆江蘇省鹽城市亭湖高級中學(xué)高三一模模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．不等式(x－π)(x－e)≤0成立的一個充分不必要條件是（

）A．x∈(π，e) B．x∈[e，π]C．x∈(e，π) D．x∈(－∞，π]【答案】C【分析】根據(jù)題意先解出不等式，進(jìn)而根據(jù)充分不必要條件的定義得到答案.【詳解】由題意，不等式的解集為：，而是的真子集，則是的充分不必要條件.故選：C.2．已知復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝2＋3i（i為虛數(shù)單位），則z＝（

）A．－＋i B．＋iC．－i D．－－i【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則求解.【詳解】∵(1－i)z＝2＋3i,∴.故選：A.3．某校高三年級的名學(xué)生中，男生有名，女生有名．從中抽取一個容量為的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為（

）A．、 B．、 C．、 D．、【答案】C【分析】利用分層抽樣可計算得出樣本中男生和女生的人數(shù).【詳解】設(shè)樣本中的男生和女生的人數(shù)分別為、，由分層抽樣可得，解得.故選：C.4．七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代勞動人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀(jì)，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學(xué)用邊長為4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形．若該同學(xué)從這七塊小木板中隨機(jī)抽取2塊，這兩塊的面積相等的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出各個小木板的面積，進(jìn)而根據(jù)古典概型加法公式求得答案.【詳解】如圖，設(shè)正方形EGHI的邊長為x（dm），根據(jù)題意可知，AE=CE，即.容易求得,記為S=4，，記為，，記為.所以所求概率.故選：A.5．在三棱錐P-ABC中，已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA為此三棱錐外接球O的直徑，PA＝4，則點P到底面ABC的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將點P到底面ABC的距離轉(zhuǎn)化為外接球的球心到底面ABC的距離，再利用三棱錐是棱長為2的正四面體進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)點P到底面ABC的距離為，點到底面ABC的距離為，則.連接、，則三棱錐是棱長為2的正四面體，取的中點，連接，作，則平面，即，在正中，，在中，，即，即點P到底面ABC的距離為.故選：D.6．設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求出等比數(shù)列的首項和公比，再利用等比數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，因此，數(shù)列的前項和為.故選：C.7．函數(shù)的部分圖象如圖，則下列選項中是其一條對稱軸的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由給定解析式及圖象確定值的表達(dá)式，再逐項分析判斷作答.【詳解】依題意，點是函數(shù)的圖象對稱中心，且在函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間內(nèi)，則，即，，令函數(shù)周期為，由圖象知，即有，而，則有，因此，，解得，而，則，，，由得函數(shù)圖象的對稱軸：，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即選項A，B，D不滿足，選項C滿足.故選：C8．已知f(x)＝x2＋2ax－1，對任意x1、x2∈[1，＋∞)且x1＜x2，恒有x2f(x1)－x1f(x2)＜a(x1－x2)成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(－∞，2] B．(－∞，3] C．(－∞，] D．(0，]【答案】A【分析】由已知條件可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，從而可得在上恒成立，進(jìn)而可求得答案【詳解】由，，得，所以，因為且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以，所以實數(shù)a的取值范圍是，故選：A二、多選題9．某企業(yè)節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為，下列說法正確的是（

）2345619253844A．看不清的數(shù)據(jù)的值為34B．具有正相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)C．第三個樣本點對應(yīng)的殘差D．據(jù)此模型預(yù)測產(chǎn)量為7噸時，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗約為50噸【答案】ACD【分析】利用回歸直線方程結(jié)合各選項的條件逐一分析計算即可判斷作答.【詳解】對于A，，由回歸直線方程得，則，A正確；對于B，由回歸直線方程及數(shù)表知，具有正相關(guān)關(guān)系，而相關(guān)系數(shù)的絕對值不超過1，B不正確；對于C，第三個樣本點對應(yīng)的殘差，C正確；對于D，在回歸直線方程中，時，生產(chǎn)能耗約(噸)，D正確.故選：ACD10．等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則最小C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意得，再分和兩種情況討論求解即可.【詳解】解：因為，即，因為，所以，所以當(dāng)，，所以，即，所以，所以，最小，此時；當(dāng)，，所以，即，所以，即所以，，此時；故ACD滿足題意.故選：ACD11．甲袋中裝有4個白球，2個紅球和2個黑球，乙袋中裝有3個白球，3個紅球和2個黑球．先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出一球．用，，分別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則（

）A．，，兩兩互斥 B．C．與B是相互獨立事件 D．【答案】AB【分析】對于A，由互斥事件的定義判斷，對于B，由條件概率的公式求解即可，對于C，由獨立事件的定義判斷，對于D，由求解【詳解】對于A，由題意可知，，不可能同時發(fā)生，所以，，兩兩互斥，所以A正確，對于B，由題意可得，所以，所以B正確，對于C，因為，，，所以，所以與B不是相互獨立事件，所以C錯誤，對于D，由C選項可知D是錯誤的，故選：AB12．笛卡爾是西方哲學(xué)思想的奠基人之一，“我思故我在”便是他提出的著名的哲學(xué)命題；同時，笛卡爾也是一位家喻戶曉的數(shù)學(xué)家，除了發(fā)明坐標(biāo)系以外，笛卡爾葉形線也是他的杰出作品，其方程為x3＋y3＝3axy，a為非零常數(shù)．下列關(guān)于笛卡爾葉形線的說法中正確的是（

）A．圖象關(guān)于直線y＝x對稱B．圖象與直線x＋y＋a＝0有2個交點C．當(dāng)a＞0時，圖象在第三象限沒有分布D．當(dāng)a＝1，x、y＞0時，y的最大值為【答案】ACD【分析】設(shè)是曲線上任意一點，由點的變換得方程的變化，從而確定曲線的性質(zhì)，判斷A；用解方程組的思想判斷B；用反證法即證明滿足的點不在曲線上，判斷C；利用基本不等式確定的最大值，判斷D．【詳解】把互換后，曲線方程不變，因此曲線關(guān)于直線對稱，A正確；代入曲線方程得，，與矛盾，因此無交點，B錯；時，第三象限點滿足，但此時，，不適合曲線方程，C正確；時，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立．D正確．故選：ACD三、填空題13．設(shè)隨機(jī)變量，函數(shù)沒有零點的概率是，則_____________附：若，則，．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的無零點可得，結(jié)合題意易知，再應(yīng)用正態(tài)分布的三段區(qū)間概率及對稱性求.【詳解】函數(shù)沒有零點，二次方程無實根，即，可得，又沒有零點的概率是，，由正態(tài)曲線的對稱性知：，，即，，，，，故答案為:．14．中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.【答案】【分析】的二項展開式的通項為，令，再求出展開式中的系數(shù)，從而可求解.【詳解】，其二項展開式的通項為，要得到，則，解得.的二項展開式的通項為，令，可得.故中的系數(shù)為.故答案為:.15．已知函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且，則__________.【答案】26【分析】由題意可得，故可得，可得可得，故可求解.【詳解】因為的圖像關(guān)于對稱，所以.所以，兩式相加可得.故，可得.故函數(shù)的周期為2.因為，所以.所以.故答案為:26.16．設(shè)為拋物線的焦點，、、為拋物線上不同三點，且，為坐標(biāo)原點，若、、的面積分別為、、，則___________.【答案】3【分析】確定拋物線的焦點的坐標(biāo)，結(jié)合圖形分別求解、、，可得，利用點是的重心，即可求得結(jié)論.【詳解】解：如圖，連接設(shè)、、三點的坐標(biāo)分別為,，,，,，則拋物線的焦點的坐標(biāo)為，，，，，，點是的重心．．．故答案為：3．四、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若．(1)求的值；(2)若，求cosB的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)量積定義式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；（2）根據(jù)余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及余弦和角公式，可得答案.【詳解】（1）由，則，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理，可得，化簡可得，根據(jù)正弦定理可得：，則.（2）由，根據(jù)余弦定理，可得，整理可得，則，，由，則，由，則，根據(jù)正弦定理，可得，即，故，.18．記為數(shù)列的前項和，已知，，且數(shù)列是等差數(shù)列.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；；(2).【分析】（1）由題可得，然后根據(jù)項與前項和的關(guān)系可得，再根據(jù)等比數(shù)列的定義即得；（2）由題可得，然后利用分組求和法及求和公式即得.【詳解】（1）∵，，∴，，設(shè)，則，，又∵數(shù)列為等差數(shù)列，∴，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∴，又∵，∴，即：，又∵，∴是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，即；（2）∵，且，∴，∴，∴.19．全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題設(shè)置如下：聯(lián)賽分為一試、加試（即俗稱的“二試”）．一試包括8道填空題（每題8分）和3道解答題（分別為16分、20分、20分），滿分120分．二試包括4道解答題，涉及平面幾何、代數(shù)、數(shù)論、組合四個方面．前兩道題每題40分，后兩道題每題50分，滿分180分．已知某一數(shù)學(xué)克賽選手在一試中每道填空題能夠正確解答的概率均為，每道解答題能夠正確解答的概率均為，在二試中前兩道每題能夠正確解答的概率均為，后兩道每題能夠正確解答的概率均為．假設(shè)每道題答對得滿分．答錯得0分．(1)記該選手在二試中的成績?yōu)椋螅?2)根據(jù)該選手所在省份歷年的競賽成績分布可知，若一試成績在100分（含100分）以上的選手，最終獲得省一等獎的可能性為，一試成績低于100分，最終獲得省一等獎的可能性為．問該選手最終獲得省一等獎的可能性能否達(dá)到，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)最終獲得省一等獎的可能性能達(dá)到【分析】（1）利用可求概率.（2）若該選擇一試成績不低于100，則解答題至少做對兩道，據(jù)此分類討論后可判斷該選手最終獲得省一等獎的可能性能否達(dá)到.【詳解】（1）.（2）設(shè)為該選手在一試中的成績，下求，若該選手一試成績不低于100，則解答題至少做對兩道.當(dāng)該選手做對16分題和一道20分題時，此時填空題全正確，此時得分為100，則其概率為，當(dāng)該選手做對兩道20分題時，此時填空題全正確，此時得分為104，則其概率為，當(dāng)該選手做對所有解答題時，此時填空題至多錯兩題，此時得分為112或104，則其概率為，故，故該選手最終獲得省一等獎的可能性為：故該選手最終獲得省一等獎的可能性能達(dá)到.20．如圖，是圓的直徑，是圓上異于，的一點，垂直于圓所在的平面，，，．(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）因為是圓的直徑，可證，利用面面垂直的判定定理即可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解平面與平面的法向量即可求解.【詳解】（1）∵是圓的直徑，∴，又垂直于圓所在的平面，DC在圓所在的平面中，∴，又，，∴平面，又平面，∴平面平面；（2）如圖，以為原點，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，∴，∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：－＝1(a、b為正常數(shù))的右頂點為A，直線l與雙曲線C交于P、Q兩點，且P、Q均不是雙曲線的頂點，M為PQ的中點．(1)設(shè)直線PQ與直線OM的斜率分別為k1、k2，求k1·k2的值；(2)若＝，試探究直線l是否過定點？若過定點，求出該定點坐標(biāo)；否則，說明理由．【答案】(1)(2)直線l過定點(，0)【分析】（1）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，根據(jù)M為PQ的中點，利用點差法求解；（2）根據(jù)＝，得到APQ是以A為直角頂點的直角三角形，則AP⊥AQ，然后直線l的斜率不存在，直線l的斜率存在時，將直線方程y＝kx＋m，與雙曲線方程－＝1聯(lián)立，由(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）解：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，因為P、Q在雙曲線上，所以－＝1，－＝1，兩式作差得－＝0，即＝，即＝，即k1·k2＝；（2）因為＝，所以APQ是以A為直角頂點的直角三角形，即AP⊥AQ；①當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)l：x＝t，代入－＝1得，y＝±b，由|t－a|＝b得，(a2－b2)t2－2a3t＋a2(a2＋b2)＝0，即[(a2－b2)t－a(a2＋b2)](t－a)＝0，得t＝或a(舍)，故直線l的方程為x＝；②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：y＝kx＋m，代入－＝1，得(b2－k2a2)x2－2kma2x－a2(m2＋b2)＝0，Δ＝a2b2(m2＋b2－k2a2)＞0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝－；因為AP⊥AQ，所以·＝0，即(x1－a，y1)·(x2－a，y2)＝0，即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋y1y2＝0，即x1x2－a(x1＋x2)＋a2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，即(km－a)(x1＋x2)＋(k2＋1)x1x2＋m2＋a2＝0，即＝0，即a2(a2＋b2)k2＋2ma3k＋m2(a2－b2)＝0，即[a(a2＋b2)k＋m(a2－b2)](ak＋m)＝0，所以k＝－或k＝－；當(dāng)k＝－時，直線l的方程為y＝－x＋m，此時經(jīng)