2023屆山東省棗莊市高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題

2023屆山東省棗莊市高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題一、單選題1．復數(shù)的共軛復數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡，根據(jù)共軛復數(shù)的概念可得答案.【詳解】,故的共軛復數(shù)為，故選：B2．已知集合，，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】先求出，在判斷兩個集合的關(guān)系，從而可得出答案.【詳解】，則集合是集合的真子集，所以，，，，故ABD錯誤，A正確.故選：C.3．指數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則圖象頂點橫坐標的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象可知，，再結(jié)合二次函數(shù)的頂點式即可解出．【詳解】由圖可知，，而，頂點橫坐標為，所以．故選：A．4．黨的十八大以來的十年，是砥礪奮進、矢志“為中國人民謀幸?！钡氖辏邳h中央的正確領(lǐng)導下，我國堅定不移貫徹新發(fā)展理念，著力推進高質(zhì)量發(fā)展，推動構(gòu)建新發(fā)展格局，實施供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，制定一系列具有全局性意義的區(qū)域重大戰(zhàn)略，經(jīng)濟實力實現(xiàn)歷史性躍升．國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）從五十四萬億元增長到一百一十四萬億元，穩(wěn)居世界第二位．下表是2022年我國大陸31省市區(qū)GDP數(shù)據(jù)．2022年中國大陸31省市區(qū)GDP排名省份GDP（單位：億元）排名省份GDP（單位：億元）1廣東省17遼寧省2江蘇省18云南省3山東省19廣西壯族自治區(qū)4浙江省20山西省5河南省21內(nèi)蒙古自治區(qū)6四川省22貴州省7湖北省23新疆維吾爾自治區(qū)8福建省24天津市9湖南省25黑龍江省10安徽省26吉林省11上海市27甘肅省12河北省28海南省13北京市29寧夏回族自治區(qū)14陜西省30青海省15江西省31西藏自治區(qū)16重慶市則由各省市區(qū)GDP組成的這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（

【答案】D【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算方法計算即可.【詳解】解：因為，所以，第75百分位數(shù)為從小到大排序后的第24個數(shù)，所以，由表中數(shù)據(jù)可知，第24個數(shù)為福建省的數(shù)據(jù)，即為53109.9.故選：D5．已知，，是同一平面內(nèi)兩兩不共線的單位向量，下列結(jié)論可能成立的是（

）A．B．C．存在不全為0的實數(shù)，，使D．若，則【答案】D【分析】由平面向量數(shù)量的定義、共線向量定理可判斷A，B，C；由可得，兩邊同時平方可得，同理可得，由向量的模長公式可求出可判斷D正確.【詳解】對于A，由可得，因為所以，故，共線，，共線，故A不正確；對于B，若，則，則，由向量共線定理可知，，共線，故B不正確；對于C，存在不全為0的實數(shù)，，使，由向量共線定理可得，共線，不滿足，是不共線的向量，故C不正確；對于D，由可得，兩邊同時平方，則，，則同理可得，所以，故D正確.故選：D.6．某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試．經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布，則數(shù)學成績位于[80，88]的人數(shù)約為（

）參考數(shù)據(jù)：，，．A．455 B．2718 C．6346 D．9545【答案】B【分析】根據(jù)題設條件結(jié)合對稱性得出數(shù)學成績位于[80，88]的人數(shù).【詳解】由題意可知，，則數(shù)學成績位于[80，88]的人數(shù)約為.故選：B7．如圖，在棱長為1的正方體中，M是的中點，點P是側(cè)面上的動點，且．平面，則線段MP長度的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及三角形的中位線，利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理，結(jié)合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.【詳解】取的中點為,取的中點為,取的中點為，如圖所示因為是的中點，是的中點，所以,因為平面,平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面平面.又平面,線段掃過的圖形是,由,得,,,,所以,即為直角，所以線段長度的取值范圍是：.故選：A.8．已知，，曲線上存在點，使得，則a的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出的范圍，根據(jù)題意由可得只需證明，即函數(shù)在有解，令，利用導數(shù)可得的單調(diào)性，再利用單調(diào)性可得答案.【詳解】因為，所以，由題意上存在一點使得，即，只需證明，顯然為增函數(shù)，假設，則不滿足，同理不滿足，所以，那么函數(shù)即函數(shù)在有解，即，可得，從而，令，則，令，即，解得（舍去），時，時，所以在單調(diào)遞增，所以，，，所以的取值范圍為，即的取值范圍為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由得函數(shù)在有解，構(gòu)造函數(shù)令，利用函數(shù)的單調(diào)性可得答案，本題考查了學生的思維能力、運算能力.二、多選題9．已知曲線：，：，則（

）A．的長軸長為 B．的漸近線方程為C．與的離心率互為倒數(shù) D．與的焦點相同【答案】BC【分析】將曲線，化為標準方程，可知分別表示橢圓與雙曲線，結(jié)合它們的幾何性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】曲線整理得，則曲線是焦點在軸上的橢圓，其中，所以，離心率為，故曲線的長軸長，故A錯誤；曲線整理得，則曲線是焦點在軸上的雙曲線，其中，所以，離心率為，的漸近線方程為，即，故B正確；，所以與的離心率互為倒數(shù)，故C正確；的焦點在軸上，的焦點在軸上，焦點位置不同，故D錯誤．故選：BC.10．已知為等差數(shù)列，前n項和為，，公差，則（

）A．B．當戓6時，取得最小值為30C．數(shù)列的前10項和為50D．當時，與數(shù)列共有671項互為相反數(shù)．【答案】AC【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量求出通項公式及，即可判斷A、B；判斷通項大于零時的取值，將的前10項和列出，利用和之間的關(guān)系及的公式代入即可判斷C；分析中的負項的性質(zhì)及大小，進而判斷中項的性質(zhì)及大小，計算項數(shù)即可.【詳解】解：因為等差數(shù)列，且，公差，所以，，所以，，所以選項A正確；因為，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性及開口向下可知：取得最大值為，故選項B錯誤；記的前10項和為，因為，當時，解得，當時，解得，所以，因為，所以，所以，故選項C正確；記，因為，，所以，所以當時，，由，，可知為偶數(shù)，若與互為相反數(shù)，則，且為偶數(shù)，由，所以為偶數(shù)，即為偶數(shù)，即為偶數(shù)，即，即，且為偶數(shù)，所以，且為偶數(shù)，故這樣的有670個，故選項D錯誤.故選：AC11．已知函數(shù)的圖象過點和，的最小正周期為T，則（

）A．T可能取B．在上至少有3個零點C．直線可能是曲線的一個對稱軸D．若函數(shù)的圖象在上的最高點和最低點共有4個，則【答案】BCD【分析】根據(jù)題意可知，，，即可求出，從而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷各選項的真假．【詳解】由圖可知，，即，而，所以，又，所以，即，，所以．對A，若，則，，顯然，無整數(shù)解，錯誤；對B，由可得，，因為，所以，故有解，即在上至少有3個零點，正確；對C，若直線可能是曲線的一個對稱軸，則，即，，又，，所以，，符合，正確；對D，因為，所以，若函數(shù)的圖象在上的最高點和最低點共有4個，則，，解得：，而，，所以，當時，符合，正確．故選：BCD．12．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當時，若有三個零點，則b的取值范圍為B．若滿足，則C．若過點可作出曲線的三條切線，則D．若存在極值點，且，其中，則【答案】ACD【分析】對于A，將代入求導求極值，有三個零點，則令極大值大于零，極小值小于零即可；對于B，根據(jù)，推斷函數(shù)的對稱性，進而可以求得的值；對于C，將代入得到的解析式，根據(jù)過某點處導數(shù)的幾何意義的求法求解即可；對于D，利用導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應用，先分和討論函數(shù)的單調(diào)性，得到且，此時可得的表達式，令，結(jié)合，再化簡即可得到答案.【詳解】對于A，，當時，，，令，解得或，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時取得極大值，當時取得極小值，有三個零點，，解得，故選項A正確；對于B，滿足，根據(jù)函數(shù)的對稱可知的對稱點為，將其代入，得，解得，故選項B錯誤；對于C，，設切點為，則切線的斜率化簡，得由條件可知該方程有三個實根，有三個實根，記，令，解得或，當時取得極大值，當時取得極小值，因為過點可作出曲線的三條切線，所以，解得，故選項C正確；對于D，，，當，在上單調(diào)遞增；當，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；存在極值點，由得令，，于是，所以，化簡得：，，，于是，.故選項D正確；故選：ACD.三、填空題13．滿足圓與相交的一個a值為____________．【答案】（答案不唯一，只要在區(qū)間即可）【分析】根據(jù)兩圓相交可求得圓心距大于半徑之差的絕對值，小于半徑之和，即可得的范圍，從而可的答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，因為兩圓相交，所以，即，解得或，所以滿足圓與相交的一個a值可以為.故答案為：.（答案不唯一，只要在區(qū)間即可）14．已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其外接球半徑為2，則的最大值為____________．【答案】8【分析】由長方體模型得出，再由基本不等式得出最值.【詳解】設，因為三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以由長方體模型可知，，即.，當且僅當時，取等號.即的最大值為.故答案為：15．一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球．采取不放回摸球，從中隨機摸出22個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數(shù)．當最大時，____________．【答案】17.8##【分析】首先分析超幾何分布最大項確定的值，再通過超幾何分布的期望公式求出的值，即可求出.【詳解】不放回的摸球，每次實驗結(jié)果不獨立，為超幾何分布，最大時，即最大，超幾何分布最大項問題，利用比值求最大項設則令故當時，嚴格增加，當時，嚴格下降，即時取最大值，此題中，根據(jù)超幾何分布的期望公式可得，16．已知點在拋物線上，過點A作圓的兩條切線分別交拋物線于B，C兩點，則直線BC的方程為____________．【答案】【分析】根據(jù)給定的條件，求出拋物線的方程，設出圓的切線方程并求出切線的斜率，再設出點B，C的坐標并求出，即可求出直線方程作答.【詳解】因為點在拋物線上，則，解得，即拋物線方程為，顯然過點A作圓的兩條切線斜率存在，設此切線方程為，即，于是，解得，設點，不妨令直線的斜率分別為，于是，，同理，直線的斜率，而點，直線BC的方程為，即.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：點是拋物線上的兩點，則直線斜率；點是拋物線上的兩點，則直線斜率.四、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，，且．(1)求A；(2)若，△ABC的面積為，求a．【答案】(1)(2)．【分析】（1）由結(jié)合正弦定理的邊化角公式得出A；（2）由面積公式得出，再由余弦定理得出.【詳解】（1）由得，又，所以．由正弦定理得，又，所以，即．又A為△ABC的內(nèi)角，所以．（2）由得，，解得．又根據(jù)余弦定理得，所以．18．已知數(shù)列的首項，且滿足．(1)證明：為等比數(shù)列；(2)已知，為的前n項和，求．【答案】(1)證明見解析(2)1048【分析】（1）由結(jié)合定義證明即可；（2）由（1）得出，再討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，結(jié)合等比和等差求和公式得出．【詳解】（1）由可得．又，所以是以為公比，1為首項的等比數(shù)列．（2）由（1）可得，即．當n為奇數(shù)時，；當n為偶數(shù)時，．所以．19．在四棱棱中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．M為線段PD上一點（M不與D重合），且．(1)證明：M為PD的中點；(2)若平面BAM與平面CAM夾角的余弦值為，求AB．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）先證明CD⊥平面PAD，從而，再證明AM⊥平面PCD，從而得到，根據(jù)可得到M為PD的中點.（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．利用向量的方法求解即可.【詳解】（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以．因為，，平面PAD，平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因為平面PAD，所以．又AM⊥MC，，平面PCD，平面PCD，所以AM⊥平面PCD．又平面PCD，所以．又因為，所以M為PD的中點．（2）以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．設，則，，．設平面BAM的法向量，因為，，所以，令，則．設平面CAM的法向量為，因為，，所以，令，得．設平面BAM與平面CAM夾角為，則，解得，即．20．某市正在創(chuàng)建全國文明城市，學校號召師生利用周末從事創(chuàng)城志愿活動．高三（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機選取2人作為志愿者參加活動，志愿活動共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宜傳員、文明監(jiān)督員三項可供選擇．每名女生至多從中選擇參加2項活動，且選擇參加1項或2項的可能性均為；每名男生至少從中選擇參加2項活動，且選擇參加2項或3項的可能性也均為．每人每參加1項活動可獲得綜合評價10分，選擇參加幾項活動彼此互不影響，求(1)在有女生參加活動的條件下，恰有一名女生的概率；(2)記隨機選取的兩人得分之和為X，求X的期望．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件概率的計算公式即可求得答案；（2）方法一：根據(jù)女生參加活動的人數(shù)確定變量的可能取值，計算每個取值對應的概率，可得變量的分布列，即可求得期望；方法二：分別計算出一名女生和一名男生參加活動可獲得分數(shù)的期望，設恰有Y名女生參加活動，則男生有名參加活動，，計算出變量Y的期望，即可求X的期望.【詳解】（1）設“有女生參加活動”為事件A，“恰有一名女生參加活動”為事件B．則，，所以．（2）方法一:“選取的兩人中女生人數(shù)為i”記為事件，，則，，．由題意知X的可能值為，“得分為分”分別記為事件，，，，，則，，；，，；，，．；；；；，所以X的分布列為X2030405060P所以．方法二：根據(jù)題意，一名女生參加活動可獲得分數(shù)的期望為，一名男生參加活動可獲得分數(shù)的期望為．設恰有Y名女生參加活動，則男生有名參加活動，，則，，．所以Y的分布列為Y012P則有，所以．【點睛】難點點睛：本題考查了條件概率的計算，比較基礎(chǔ)，第二問考查隨機變量的期望的求解，求解的思路并不困難，但難點在于要根據(jù)變量的取值的可能情況，計算每種情況相應的概率，計算較復雜，計算量較大，需要思維縝密，計算仔細。21．已知雙曲線C：的右焦點為，一條漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)在x軸上是否存在與F不重合的點P，使得當過點F的直線與C的右支交于A，B兩點時，總成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在【分析】（1）由焦點坐標和漸近線方程求出可得答案；（2）假設存在滿足題意，設，，設直線AB方程為與雙曲線方程聯(lián)立，方法一：由得出，代入韋達定理可得答案；方法二：利用兩點間的距離求出、，過A，B兩點向x軸做垂線得，代入韋達定理化簡可得答案．【詳解】（1）由題意知，解得，故雙曲線C的方程為：；（2）假設存在滿足題意，設，，由題意知，直線AB不與x軸重合，設直線AB：，聯(lián)立，得，則，，且，．方法一：因為，所以PF是∠APB的角平分線，則，即，則，整理得，故，化簡得：（