2023屆天津市南開區(qū)高三下學期3月質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學試題

2023屆天津市南開區(qū)高三下學期3月質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學學科試卷本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.共150分，考試時間120分鐘.第Ⅰ卷1至3頁，第II卷4至9頁.祝各位考生考試順利!第I卷注意事項：1.答第I卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號?考試科目涂在答題卡上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：?柱體的體積公式，其中表示柱體的底面積，表示柱體的高.?如果事件互斥，那么.?如果事件相互獨立，那么.?對于事件，那么.一?選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合或，則（）A.B.C.D.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的圖象可能是（）A.B.C.D.4.某高中隨機選取100名學生一次數(shù)學統(tǒng)測測試成績，分為6組：，繪制了頻率分布直方圖如圖所示，則成績在區(qū)間內(nèi)的學生有（）名名名名5.已知直線與圓相交于兩點，則的長度可能為（）6.已知，則的大小關系是（）A.B.C.D.7.已知拋物線上一點到準線的距離為是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的一動點，則的最小值為（）8.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若在上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A.B.C.9.已知函數(shù)則下列結(jié)論：①②恒成立③關于的方程有三個不同的實根，則④關于的方程的所有根之和為其中正確結(jié)論有（）個個個個第Ⅱ卷注意事項：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答題；2.本卷共11小題，共105分.二?填空題：本大題共6個小題，每小題5分，共30分.請將答案填在題中橫線上.10.是虛數(shù)單位，復數(shù)__________.11.在的展開式中，的系數(shù)為__________.12.已知實數(shù)，則的最小值為__________.13.如圖，直三棱柱的六個頂點都在半徑為1的半球面上，，側(cè)面是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則直三棱柱的體積為__________.14.假設某市場供應的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率為90%，乙廠產(chǎn)品的合格率為80%，在該市場中購買甲廠的兩個燈泡，則恰有一個是合格品的概率為__________；若在該市場中隨機購買一個燈泡，則這個燈泡是合格品的概率為__________.15.在平面四邊形中，，則__________；__________.三?解答題：（本大題共5個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（本小題滿分14分）在中，角所對的邊分別為，且.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.17.（本小題滿分15分）如圖，四棱錐中，平面平面是中點，是上一點.（1）當時，（i）證明：平面；（ii）求直線與平面所成角的正弦值；（2）平面與平面夾角的余弦值為，求的值.18.（本小題滿分15分）已知是橢圓的兩個焦點，過的直線交于兩點，當垂直于軸時，且的面積是.（1）求橢圓的標準方程；（2）設橢圓的左頂點為，當不與軸重合時，直線交直線于點，若直線上存在另一點，使，求證：三點共線.19.（本小題滿分15分）已知等差數(shù)列的首項為1，前項和為，單調(diào)遞增的等比數(shù)列的首項為2，且滿足.（1）求和的通項公式；（2）證明：；（3）記的前項和為，證明：.20.（本小題滿分15分）已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有極大值，試確定的取值范圍；（3）若存在使得成立，求的值.2022—2023學年度第二學期高三年級質(zhì)量監(jiān)測（一）數(shù)學學科參考答案一?選擇題：（本題共9小題，每題5分，共45分）題號123456789答案ABCDBCDCB二?填空題：（本題共6小題，每題5分，共30分）10.11.4012.13.14.，（第一個空2分，第二個空3分）；15.，（第一個空2分，第二個空3分）.三?解答題：（其他正確解法請比照給分）16.解：（1）由于，則.因為，由正弦定理知，則.（2）因為，由余弦定理，得，即，解得.（3）由（2）知，所以.由（1）得.，所以17.解：如圖建立空間直角坐標系，以為坐標原點，為軸，為軸，過點作面的垂線為軸，則，（1）由，及，可得.（i）設平面的一個法向量為，則解得令，得是平面的一個法向量.因為，所以.又平面，所以平面.（ii）由（i）可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.（2）設，則，設是平面的一個法向量，則，取，則是平面的一個法向量，則，解得或（舍去）.所以.18.解：（1）依題意，所以.因為的面積是，即，解得，所以，從而，解得，所以，橢圓的標準方程為.（2）由（1）知，.依題意，設直線方程為，由消去得，則，直線的斜率，直線的方程：，而直線，所以.直線的斜率，而，即，所以直線的斜率.因此直線的方程：，則點，所以直線的斜率.又直線的斜率，則，而，即，所以三點共線.19.解：（1）由題意，設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因為，所以即解得（舍去），或所以.（2）由（1）知，所以（3）由（1）知.所以所以20.解：（1）當時，，依題意，，可得，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域為，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，此時無極大值；②當時，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處取得極大值，符合題意；③當時，令，解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時在處取得極大值，符合題意；④當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時無極大值