量綱分析和相似原理

量綱分析和相似原理1第1頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四流體力學(xué)常用物理量的量綱5.1量綱分析2第2頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.1量綱分析量綱齊次性原理：完整物理方程中各項(xiàng)的量綱必須相同。以單位重量的流體沿流線能量守恒形式的伯努利方程為例方程左邊各項(xiàng)的量綱依次為對(duì)于量綱齊次的方程用方程中的任一項(xiàng)去除其它項(xiàng)，可以使方程無(wú)量綱化，從而減少方程的變量個(gè)數(shù)。3第3頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.Π定理（白金漢定理）對(duì)于某個(gè)物理現(xiàn)象或過(guò)程，如果可以用n個(gè)變量來(lái)描述，寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式為：f(x1,x2,x3,…,xn)=0,而這些變量含有m個(gè)基本量綱，則該現(xiàn)象可以用(n-m)個(gè)無(wú)量綱量數(shù)組的表達(dá)式來(lái)描述，即F(1,2,…n-m)=0無(wú)量綱量數(shù)組的組成方式：在n個(gè)變量中取m個(gè)量綱不同的量作為基本變量，并把基本變量與其它變量中的一個(gè)組成數(shù)組，共組成（n-m）個(gè)無(wú)量綱數(shù)組，例取x1,x2,x3為基本變量，則數(shù)組為：………..5.1量綱分析4第4頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四應(yīng)用白金漢定理求某現(xiàn)象的無(wú)量綱數(shù)組的方法步驟：（1）列與該物理現(xiàn)象相關(guān)的全部n個(gè)變量

（2）找出基本量綱，設(shè)為m個(gè)

（3）從n個(gè)變量中選出包含全部基本量剛的m個(gè)基本變量（4）用基本變量與其它的任一個(gè)變量組成無(wú)量綱方程，并解出

n-m個(gè)無(wú)量綱數(shù)組

（5）利用無(wú)量綱數(shù)組建立描述該現(xiàn)象的方程【例5-1】不可壓粘性流體在圓管道內(nèi)流體流動(dòng)的壓降p與下列因素有關(guān)：管徑d、管長(zhǎng)l、管壁粗糙度ε、管內(nèi)流體密度、流體的動(dòng)力粘度，以及斷面平均流速v有關(guān)。試用定理推出壓降p的表達(dá)形式。5.1量綱分析5第5頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.1量綱分析【解】（1）該流動(dòng)現(xiàn)象共有7個(gè)變量p,d,l,ε,,,v（2）基本量剛為L(zhǎng)，M，t，所以m=3（3）選出m=3個(gè)基本變量：、v、d（4）組成n-m=4個(gè)無(wú)量綱數(shù)組，求解將上述表達(dá)式寫成量綱形式解得a1=-1,b1=-2,c1=0,故6第6頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解得a2=-1,b2=-1,c2=-1,故解得a3=0,b3=0,c3=-1,故解得a4=0,b4=0,c4=-1,故5.1量綱分析7第7頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（5）所解問(wèn)題用無(wú)量綱數(shù)表示的方程為5.1量綱分析上述公式還可以寫成對(duì)于給定長(zhǎng)度和直徑的管道進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后有令則——達(dá)西公式。為沿程阻力系數(shù)。8第8頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.1量綱分析3.Π定理的幾點(diǎn)說(shuō)明（1）無(wú)量綱數(shù)組的特性 ①對(duì)于確定的物理現(xiàn)象，無(wú)量綱數(shù)組個(gè)數(shù)是固定的

但是形式上不是唯一的

②無(wú)量綱數(shù)的算術(shù)運(yùn)算的結(jié)果仍是無(wú)量綱數(shù)（2）作用在流體上的力壓力慣性力黏性力重力表面張力彈性力9第9頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.1量綱分析（3）流體力學(xué)中常見(jiàn)的無(wú)量綱數(shù)組①雷諾數(shù)②歐拉數(shù)③弗勞德數(shù)④韋伯?dāng)?shù)10第10頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.1量綱分析⑤馬赫數(shù)⑥毛細(xì)數(shù)（4）量綱分析的物理意義簡(jiǎn)化試驗(yàn)方案物理量量綱的推導(dǎo)校驗(yàn)方程確定相似試驗(yàn)條件11第11頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)為使模型流動(dòng)能表現(xiàn)出實(shí)型流動(dòng)的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動(dòng)上預(yù)測(cè)出實(shí)型流動(dòng)的結(jié)果，就必須使兩者在流動(dòng)上相似，即兩個(gè)互為相似流動(dòng)的對(duì)應(yīng)部位上對(duì)應(yīng)物理量都有一定的比例關(guān)系。（1）幾何相似（空間相似）1.相似的概念——兩流動(dòng)的對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)成同一比例，對(duì)應(yīng)角相等。線性比例系數(shù)面積比例系數(shù)體積比例系數(shù)基本比例常數(shù)12第12頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）時(shí)間相似——對(duì)應(yīng)的時(shí)間間隔成比例對(duì)圖示的兩種管內(nèi)流動(dòng)其平均速度變化的時(shí)間間隔成比例5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)13第13頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（3）運(yùn)動(dòng)相似——速度（加速度）場(chǎng)相似在不同的流動(dòng)空間中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)時(shí)刻上的速度（加速度）方向一致，大小成比例速度比例常數(shù)加速度比例常數(shù)流量比例常數(shù)基本比例常數(shù)5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)14第14頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（4）力相似——力場(chǎng)的幾何相似，作用在流體上的各種力的方向?qū)?yīng)

一致，大小成比例。如圖所示力比例常數(shù)密度比例常數(shù)基本比例常數(shù)5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)15第15頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四用基本比例常數(shù)表示的其他比例常數(shù)質(zhì)量比例常數(shù)力比例常數(shù)壓強(qiáng)比例常數(shù)運(yùn)動(dòng)粘度比例常數(shù)動(dòng)力粘度比例常數(shù)5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)16第16頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.相似原理描述流體運(yùn)動(dòng)和受力關(guān)系的是流體運(yùn)動(dòng)微分方程，兩流動(dòng)要滿足相似條件就必須同時(shí)滿足該方程，并且單值條件必須相似，包括幾何條件、物理?xiàng)l件、邊界條件、初始條件等?！纠?-2】以不可壓縮流體定常流動(dòng)的N-S微分方程為例導(dǎo)出相似準(zhǔn)則?！窘狻縉-S微分方程在x方向上的投影為與其相似的流動(dòng)中流體質(zhì)點(diǎn)的方程為(a)(b)5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)17第17頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由相似準(zhǔn)則必然有將（c）代入（b）,并整理后有(c)(d)式（a）和（d）相比較有(e)說(shuō)明各相似倍數(shù)不是任意選取的，而是受上式約束的。5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)18第18頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四將式（e）后三項(xiàng)分別去除第一項(xiàng)，則有，即，即，即不可壓定常流相似，他們的弗勞德數(shù)、歐拉數(shù)、雷諾數(shù)必相等相似原理可表述為：兩種流動(dòng)現(xiàn)象相似的充分必要條件是：能夠用同一微分方程描述同一種類的現(xiàn)象；并且滿足單值條件相似；有單值條件中的物理量組成相似準(zhǔn)則相等5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)這些無(wú)量綱數(shù)組稱為相似準(zhǔn)則或相似判據(jù)19第19頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.相似原理的應(yīng)用應(yīng)用相似原理進(jìn)行試驗(yàn)研究的步驟：（1）分析導(dǎo)出的相似準(zhǔn)則，判斷決定性準(zhǔn)則

（2）根據(jù)選定的相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案

（3）確定實(shí)驗(yàn)中要測(cè)量的物理量，測(cè)定相似準(zhǔn)則中的物理量（4）將實(shí)驗(yàn)結(jié)果換算到實(shí)物系統(tǒng)中4.相似原理和量綱分析的比較相似理論：從微分方程出發(fā)導(dǎo)出無(wú)量綱數(shù)組

得到的相似準(zhǔn)則具有確定的物理意義量綱分析：對(duì)試驗(yàn)涉及的物理現(xiàn)象進(jìn)行分析得到無(wú)量綱判據(jù) 通常不考慮無(wú)量綱數(shù)的物理意義，應(yīng)用范圍比相

似理論要廣泛5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)20第20頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.全面力學(xué)相似試驗(yàn)所有的相似準(zhǔn)則都分別相等的相似試驗(yàn)實(shí)際的工程應(yīng)用中很難保證所有的相似準(zhǔn)則都相等，例如粘性不可壓定常流動(dòng)，要求模型和原型中的Re和Fr同時(shí)相等即若采用的流動(dòng)介質(zhì)相同，則為了保證Fr數(shù)相等與保證Re相等的條件矛盾5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)21第21頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.近似?；ㄔ谥亓ζ鹬饕饔玫牧鲃?dòng)中，使實(shí)物和模型的Fr數(shù)相等（1）弗勞德模化法抓主要矛盾，簡(jiǎn)化相似條件適合于管內(nèi)粘性流動(dòng)的阻力損失的研究，保證Re數(shù)相等（2）雷諾?；ㄟm合于雷諾數(shù)很小或很大的“自?；绷鲃?dòng)，流動(dòng)與雷諾數(shù)關(guān)系不大，此時(shí)可只考慮壓強(qiáng)與慣性力的比值歐拉數(shù)相等。（3）歐拉?；?.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)22第22頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【例5-3】管徑d=50mm的輸油管，裝有彎頭、開(kāi)關(guān)等局部阻力裝置，安裝前需要測(cè)定壓強(qiáng)損失，在實(shí)驗(yàn)室用空氣進(jìn)行試驗(yàn)。已知20℃時(shí)油的密度ρ油=889.6kg/m3;油的粘度ν油=10-6m2/s;空氣的密度ρ氣=1.2kg/m3;空氣的的粘度ν氣=15.7x10-6m2/s。試確定（1）當(dāng)輸油管中油的流速為2m/s時(shí)，實(shí)驗(yàn)室中空氣在管內(nèi)的流速為多少？（2）通過(guò)空氣測(cè)得管道壓強(qiáng)損失Δp氣=7747N/m2，油液通過(guò)輸油管時(shí)的壓強(qiáng)損失Δp油為多少？5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)【解】（1）管內(nèi)流動(dòng)粘性力起主要因素，雷諾數(shù)必須相等23第23頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四5.2相似原理與模型實(shí)驗(yàn)由于管道直徑相同（2）要對(duì)壓力進(jìn)行相似，必須滿足歐拉數(shù)相等24第24頁(yè)，共25頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.方程分析法

利用描述物理現(xiàn)象的微分方程組和全部單值條件導(dǎo)出相似準(zhǔn)則。常用的方程分析法有：相似轉(zhuǎn)