《隨機信號分析》

隨機信號分析1整理課件第2章隨機信號2整理課件2.1定義與基本特性2.2典型信號舉例2.3一般特性與基本運算2.4多維高斯分布與高斯信號2.5獨立信號目錄3整理課件2.1定義與基本特性

2.1.1概念與定義

1.

典型例子（1）貝努里實驗:其樣本空間只有兩個樣本點，即只有兩個可能結果:A和。在擲幣實驗中，貝努里隨機變量可以表示為:4整理課件有概率若重復在t=n(n=1,2,…)時刻上，獨立進行相同的擲幣實驗,構成一隨機變量序列n01123456789105整理課件則有

其概率

6整理課件n0112345678910n0112345678910所有隨機變量序列的集合就是隨機信號。每一個隨機變量序列稱為一個樣本，也叫一個實現(xiàn)。7整理課件（2）時間連續(xù)的隨機現(xiàn)象觀察電阻上的噪聲電壓，可能有不同的波形。每一個波形稱為樣本函數(shù)，也叫一個實現(xiàn)。所有波形的集合就是隨機信號。8整理課件2.隨機信號的定義定義:設隨機實驗的樣本空間，對于空間的每一個樣本，總有一個時間函數(shù)與之對應,對于空間的所有樣本，可有一族時間函數(shù)與之對應，這族時間函數(shù)稱為隨機信號。

定義:設是隨機實驗E的樣本空間，若對于每個樣本點,都有唯一的實數(shù)

與之對應,且對于任意實數(shù)，都有確定的概率與之對應，則稱為隨機變量。9整理課件3.隨機信號的表征(數(shù)學模型)（1）在任意給定時刻，隨機信號是一個隨機變量隨機信號可視為許多隨機變量的集合；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t1,ξ)X(t2,ξ)X(tn,ξ)X(t,ξ)t10整理課件n0112345678910n011234567891011整理課件（2）隨機信號可視為所有樣本函數(shù)的集合；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)t12整理課件n0112345678910n011234567891013整理課件（3）當時刻t與樣本

都固定時，隨機信號是一個實數(shù)，稱之為狀態(tài)；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)tt1n011234567891014整理課件（4）當時刻t與樣本都發(fā)生變化時，就構成隨機信號的完整概念。X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)tn011234567891015整理課件4.隨機信號的分類及舉例（1）時間離散、取值離散

D.R.Seq.例：貝努里r.s.n011234567891016整理課件例：一脈沖信號發(fā)生器傳送的信號（2）時間連續(xù)、取值離散

D.R.P.17整理課件（3）時間連續(xù)、取值連續(xù)

C.R.P.例：正弦型信號①②③18整理課件（4）時間離散、取值連續(xù)

C.R.Seq.例：每隔單位時間對噪聲電壓抽樣n021234519整理課件2.1.2基本概率特性

1.例子20整理課件21整理課件22整理課件2.一階（維）概率分布和密度函數(shù)一階概率分布函數(shù)定義：

一階概率密度函數(shù)定義：

23整理課件txfX(x;t)24整理課件2125整理課件聯(lián)合密度函數(shù)：

聯(lián)合分布函數(shù)：離散型二維隨機向量的概率特性26整理課件27整理課件3.二階（維）概率分布和密度函數(shù)二階概率分布函數(shù)定義：

二階概率密度函數(shù)定義：

4.分析隨機過程本質(zhì)上就是分析相應的隨機變量28整理課件2.1.3基本數(shù)字特征任取t時，隨機變量X(t)的統(tǒng)計平均，定義為t1t2t31.隨機信號的均值t429整理課件對R.Seq.:30整理課件例：求隨機過程正弦波的數(shù)學期望，方差及自相關函數(shù)。式中，為常數(shù)，是區(qū)間[0，]上均勻分布的隨機變量。解：由題可知：（1）＝同理31整理課件（2）＝＝＝可知

32整理課件（3）＝＝＝33整理課件2.隨機信號的自相關函數(shù)任取時，兩個隨機變量的相關矩，定義為

C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理寫出。34整理課件自相關函數(shù)的性質(zhì)：（1）相關的概念表征了隨機信號在兩時刻之間的關聯(lián)程度；（2）同一時刻之間的相關性大于等于不同時刻之間的相關性；（3）實際中的大多數(shù)隨機信號，當兩觀察時刻越遠，相應隨機變量的相關性通常越弱；（4）自相關函數(shù)具有功率的量綱。

35整理課件3.隨機信號的協(xié)方差函數(shù)與方差函數(shù)(1)協(xié)方差函數(shù)任取時，兩個隨機變量的聯(lián)合中心矩，定義為C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理寫出。36整理課件當時，協(xié)方差函數(shù)退化為方差函數(shù)(2)方差函數(shù)C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理寫出。37整理課件X(t)的均方差（或標準差）函數(shù)為38整理課件4.相關系數(shù)

類似于隨機變量的相關系數(shù)，定義為同樣，有關系式：當時，39整理課件2.1定義與基本特性2.2典型信號舉例2.3一般特性與基本運算2.4多維高斯分布與高斯信號2.5獨立信號目錄40整理課件2.2典型信號舉例2.2.1隨機正弦信號電路與系統(tǒng)中，幾乎總要產(chǎn)生、發(fā)送與接收正弦振蕩信號，它本質(zhì)上都是隨機的。部分或全部是隨機變量。41整理課件42整理課件隨機相位信號（隨相信號）：討論隨相信號X(t)的基本特性：1.均值43整理課件2.自相關函數(shù)44整理課件45整理課件都服從一維高斯分布：

4.一階概率密度函數(shù)46整理課件2.2.2伯努利隨機序列47整理課件nX（n,ξn）01……12345678910X（9，ξ）nX（n,ξ1）0112345678910數(shù)字通信中，串行傳輸?shù)亩M制比特流是伯努利序列，是通信中最常用的數(shù)學模型之一。48整理課件1.均值2.自相關函數(shù)

討論伯努利隨機序列X(n)的基本特性：49整理課件3.一階概率密度函數(shù)50整理課件2.2.3

半隨機二進制傳輸信號

51整理課件ttt52整理課件D1D2D3ttt53整理課件均值

，討論半隨機二進制傳輸信號

X(t)的基本特性：54整理課件2.自相關函數(shù) 令若位于同一時隙，有，，若位于不同時隙，有,合并兩種情況，有則則55整理課件當，有56整理課件3.一階密度函數(shù)

57整理課件隨機信號還可以分為：可預測隨機信號（或稱確定的隨機信號）：信號的任意一個樣本函數(shù)的未來值都可以由過去的觀測值確定，即樣本函數(shù)有確定的形式。不可預測隨機信號（或稱不確定的隨機信號）：信號的任意一個樣本函數(shù)的未來值都不能由過去的觀測值確定，即樣本函數(shù)沒有確定的形式。58整理課件2.1定義與基本特性2.2典型信號舉例2.3一般特性與基本運算2.4多維高斯分布與高斯信號2.5獨立信號目錄59整理課件2.3一般特性與基本運算

1.

n維概率分布與密度函數(shù)

n個隨機變量的n維聯(lián)合概率分布函數(shù)為：2.3.1

n階概率特性t1t2t3tnX(t)t60整理課件則稱為其n維概率密度函數(shù)。如果存在，使

2.n維特征函數(shù)任取與61整理課件1.隨機信號的n＋m維聯(lián)合概率分布和密度函數(shù)兩個不同r.s.X(t)與Y(t)之間的聯(lián)合概率特性。對隨機信號X(t)任取時，獲得n個隨機變量;2.3.2聯(lián)合特性對隨機信號Y(t)任取時，獲得m個隨機變量。62整理課件t1t2t3tnX(t)ts1s2s3smY(t)t63整理課件定義n＋m維聯(lián)合概率分布函數(shù)為:

定義n＋m維聯(lián)合概率密度函數(shù)為:64整理課件2.隨機信號的互相關函數(shù)與互協(xié)方差函數(shù)兩個不同隨機信號X(t)與Y(t)的聯(lián)合矩特性

互相關函數(shù)定義為:互協(xié)方差函數(shù)定義為:65整理課件互相關系數(shù)定義為:66整理課件67整理課件3.兩個隨機信號正交、線性無關與統(tǒng)計獨立(1)正交:對于任意時刻,都有則稱X(t)與Y(t)正交。(2)線性無關:對于任意時刻,都有則稱X(t)與Y(t)線性無關。68整理課件（3）統(tǒng)計獨立:對于X(t)和Y(t)的任一組隨機變量,都有則稱X(t)與Y(t)彼此統(tǒng)計獨立。兩個隨機信號的正交、線性無關與統(tǒng)計獨立三者關系與兩個隨機變量間的完全相同。69整理課件★統(tǒng)計獨立性，線性無關性和正交性的關系

1.兩個隨機信號統(tǒng)計獨立，它們必然是線性無關的；2.兩個隨機信號線性無關，不一定互相獨立；3.在兩個隨機信號中任一均值為零時，線性無關

性與正交性是等價的；4.在兩個隨機信號的互相關和互協(xié)方差同時不為零時，它們不是線性無關的，也不是相互正交的。70整理課件(a)一般情況下

統(tǒng)計獨立線性無關

相互正交任一隨機信號均值為零71整理課件當和均為高斯隨機信號時:

統(tǒng)計獨立性和線性無關性是等價的；(b)高斯隨機信號線性無關統(tǒng)計獨立進一步，且有一個均值為零時:

獨立性、線性無關性和正交性三者是等價的。(c)高斯隨機信號，且有一個均值為零線性無關統(tǒng)計獨立相互正交72整理課件若X(t)與Y(t)正交，則若X(t)與Y(t)無關，則解:73整理課件2.3.3相關函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：隨機信號X(t)的自相關函數(shù)等滿足（1）對稱性（2）均方值為非負實數(shù)（3）方差為非負實數(shù)（4）74整理課件（2）（3）對信號進行中心化與歸一化處理，則有性質(zhì)2：隨機信號X(t)與Y(t)的聯(lián)合矩特性滿足

（1）對稱性75整理課件76整理課件77整理課件2.1定義與基本特性2.2典型信號舉例2.3一般特性與基本運算