《隨機(jī)信號(hào)分析》

隨機(jī)信號(hào)分析1整理課件第2章隨機(jī)信號(hào)2整理課件2.1定義與基本特性2.2典型信號(hào)舉例2.3一般特性與基本運(yùn)算2.4多維高斯分布與高斯信號(hào)2.5獨(dú)立信號(hào)目錄3整理課件2.1定義與基本特性

2.1.1概念與定義

1.

典型例子（1）貝努里實(shí)驗(yàn):其樣本空間只有兩個(gè)樣本點(diǎn)，即只有兩個(gè)可能結(jié)果:A和。在擲幣實(shí)驗(yàn)中，貝努里隨機(jī)變量可以表示為:4整理課件有概率若重復(fù)在t=n(n=1,2,…)時(shí)刻上，獨(dú)立進(jìn)行相同的擲幣實(shí)驗(yàn),構(gòu)成一隨機(jī)變量序列n01123456789105整理課件則有

其概率

6整理課件n0112345678910n0112345678910所有隨機(jī)變量序列的集合就是隨機(jī)信號(hào)。每一個(gè)隨機(jī)變量序列稱(chēng)為一個(gè)樣本，也叫一個(gè)實(shí)現(xiàn)。7整理課件（2）時(shí)間連續(xù)的隨機(jī)現(xiàn)象觀察電阻上的噪聲電壓，可能有不同的波形。每一個(gè)波形稱(chēng)為樣本函數(shù)，也叫一個(gè)實(shí)現(xiàn)。所有波形的集合就是隨機(jī)信號(hào)。8整理課件2.隨機(jī)信號(hào)的定義定義:設(shè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的樣本空間，對(duì)于空間的每一個(gè)樣本，總有一個(gè)時(shí)間函數(shù)與之對(duì)應(yīng),對(duì)于空間的所有樣本，可有一族時(shí)間函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，這族時(shí)間函數(shù)稱(chēng)為隨機(jī)信號(hào)。

定義:設(shè)是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E的樣本空間，若對(duì)于每個(gè)樣本點(diǎn),都有唯一的實(shí)數(shù)

與之對(duì)應(yīng),且對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有確定的概率與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)為隨機(jī)變量。9整理課件3.隨機(jī)信號(hào)的表征(數(shù)學(xué)模型)（1）在任意給定時(shí)刻，隨機(jī)信號(hào)是一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)信號(hào)可視為許多隨機(jī)變量的集合；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t1,ξ)X(t2,ξ)X(tn,ξ)X(t,ξ)t10整理課件n0112345678910n011234567891011整理課件（2）隨機(jī)信號(hào)可視為所有樣本函數(shù)的集合；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)t12整理課件n0112345678910n011234567891013整理課件（3）當(dāng)時(shí)刻t與樣本

都固定時(shí)，隨機(jī)信號(hào)是一個(gè)實(shí)數(shù)，稱(chēng)之為狀態(tài)；X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)tt1n011234567891014整理課件（4）當(dāng)時(shí)刻t與樣本都發(fā)生變化時(shí)，就構(gòu)成隨機(jī)信號(hào)的完整概念。X(t,ξ1)X(t,ξ2)X(t,ξ3)X(t,ξ4)X(t,ξ)tn011234567891015整理課件4.隨機(jī)信號(hào)的分類(lèi)及舉例（1）時(shí)間離散、取值離散

D.R.Seq.例：貝努里r.s.n011234567891016整理課件例：一脈沖信號(hào)發(fā)生器傳送的信號(hào)（2）時(shí)間連續(xù)、取值離散

D.R.P.17整理課件（3）時(shí)間連續(xù)、取值連續(xù)

C.R.P.例：正弦型信號(hào)①②③18整理課件（4）時(shí)間離散、取值連續(xù)

C.R.Seq.例：每隔單位時(shí)間對(duì)噪聲電壓抽樣n021234519整理課件2.1.2基本概率特性

1.例子20整理課件21整理課件22整理課件2.一階（維）概率分布和密度函數(shù)一階概率分布函數(shù)定義：

一階概率密度函數(shù)定義：

23整理課件txfX(x;t)24整理課件2125整理課件聯(lián)合密度函數(shù)：

聯(lián)合分布函數(shù)：離散型二維隨機(jī)向量的概率特性26整理課件27整理課件3.二階（維）概率分布和密度函數(shù)二階概率分布函數(shù)定義：

二階概率密度函數(shù)定義：

4.分析隨機(jī)過(guò)程本質(zhì)上就是分析相應(yīng)的隨機(jī)變量28整理課件2.1.3基本數(shù)字特征任取t時(shí)，隨機(jī)變量X(t)的統(tǒng)計(jì)平均，定義為t1t2t31.隨機(jī)信號(hào)的均值t429整理課件對(duì)R.Seq.:30整理課件例：求隨機(jī)過(guò)程正弦波的數(shù)學(xué)期望，方差及自相關(guān)函數(shù)。式中，為常數(shù)，是區(qū)間[0，]上均勻分布的隨機(jī)變量。解：由題可知：（1）＝同理31整理課件（2）＝＝＝可知

32整理課件（3）＝＝＝33整理課件2.隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)任取時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)矩，定義為

C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理寫(xiě)出。34整理課件自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：（1）相關(guān)的概念表征了隨機(jī)信號(hào)在兩時(shí)刻之間的關(guān)聯(lián)程度；（2）同一時(shí)刻之間的相關(guān)性大于等于不同時(shí)刻之間的相關(guān)性；（3）實(shí)際中的大多數(shù)隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)兩觀察時(shí)刻越遠(yuǎn)，相應(yīng)隨機(jī)變量的相關(guān)性通常越弱；（4）自相關(guān)函數(shù)具有功率的量綱。

35整理課件3.隨機(jī)信號(hào)的協(xié)方差函數(shù)與方差函數(shù)(1)協(xié)方差函數(shù)任取時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合中心矩，定義為C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理寫(xiě)出。36整理課件當(dāng)時(shí)，協(xié)方差函數(shù)退化為方差函數(shù)(2)方差函數(shù)C.R.Seq.,D.R.Seq.可同理寫(xiě)出。37整理課件X(t)的均方差（或標(biāo)準(zhǔn)差）函數(shù)為38整理課件4.相關(guān)系數(shù)

類(lèi)似于隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)，定義為同樣，有關(guān)系式：當(dāng)時(shí)，39整理課件2.1定義與基本特性2.2典型信號(hào)舉例2.3一般特性與基本運(yùn)算2.4多維高斯分布與高斯信號(hào)2.5獨(dú)立信號(hào)目錄40整理課件2.2典型信號(hào)舉例2.2.1隨機(jī)正弦信號(hào)電路與系統(tǒng)中，幾乎總要產(chǎn)生、發(fā)送與接收正弦振蕩信號(hào)，它本質(zhì)上都是隨機(jī)的。部分或全部是隨機(jī)變量。41整理課件42整理課件隨機(jī)相位信號(hào)（隨相信號(hào)）：討論隨相信號(hào)X(t)的基本特性：1.均值43整理課件2.自相關(guān)函數(shù)44整理課件45整理課件都服從一維高斯分布：

4.一階概率密度函數(shù)46整理課件2.2.2伯努利隨機(jī)序列47整理課件nX（n,ξn）01……12345678910X（9，ξ）nX（n,ξ1）0112345678910數(shù)字通信中，串行傳輸?shù)亩M(jìn)制比特流是伯努利序列，是通信中最常用的數(shù)學(xué)模型之一。48整理課件1.均值2.自相關(guān)函數(shù)

討論伯努利隨機(jī)序列X(n)的基本特性：49整理課件3.一階概率密度函數(shù)50整理課件2.2.3

半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)

51整理課件ttt52整理課件D1D2D3ttt53整理課件均值

，討論半隨機(jī)二進(jìn)制傳輸信號(hào)

X(t)的基本特性：54整理課件2.自相關(guān)函數(shù) 令若位于同一時(shí)隙，有，，若位于不同時(shí)隙，有,合并兩種情況，有則則55整理課件當(dāng)，有56整理課件3.一階密度函數(shù)

57整理課件隨機(jī)信號(hào)還可以分為：可預(yù)測(cè)隨機(jī)信號(hào)（或稱(chēng)確定的隨機(jī)信號(hào)）：信號(hào)的任意一個(gè)樣本函數(shù)的未來(lái)值都可以由過(guò)去的觀測(cè)值確定，即樣本函數(shù)有確定的形式。不可預(yù)測(cè)隨機(jī)信號(hào)（或稱(chēng)不確定的隨機(jī)信號(hào)）：信號(hào)的任意一個(gè)樣本函數(shù)的未來(lái)值都不能由過(guò)去的觀測(cè)值確定，即樣本函數(shù)沒(méi)有確定的形式。58整理課件2.1定義與基本特性2.2典型信號(hào)舉例2.3一般特性與基本運(yùn)算2.4多維高斯分布與高斯信號(hào)2.5獨(dú)立信號(hào)目錄59整理課件2.3一般特性與基本運(yùn)算

1.

n維概率分布與密度函數(shù)

n個(gè)隨機(jī)變量的n維聯(lián)合概率分布函數(shù)為：2.3.1

n階概率特性t1t2t3tnX(t)t60整理課件則稱(chēng)為其n維概率密度函數(shù)。如果存在，使

2.n維特征函數(shù)任取與61整理課件1.隨機(jī)信號(hào)的n＋m維聯(lián)合概率分布和密度函數(shù)兩個(gè)不同r.s.X(t)與Y(t)之間的聯(lián)合概率特性。對(duì)隨機(jī)信號(hào)X(t)任取時(shí)，獲得n個(gè)隨機(jī)變量;2.3.2聯(lián)合特性對(duì)隨機(jī)信號(hào)Y(t)任取時(shí)，獲得m個(gè)隨機(jī)變量。62整理課件t1t2t3tnX(t)ts1s2s3smY(t)t63整理課件定義n＋m維聯(lián)合概率分布函數(shù)為:

定義n＋m維聯(lián)合概率密度函數(shù)為:64整理課件2.隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)與互協(xié)方差函數(shù)兩個(gè)不同隨機(jī)信號(hào)X(t)與Y(t)的聯(lián)合矩特性

互相關(guān)函數(shù)定義為:互協(xié)方差函數(shù)定義為:65整理課件互相關(guān)系數(shù)定義為:66整理課件67整理課件3.兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)正交、線(xiàn)性無(wú)關(guān)與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立(1)正交:對(duì)于任意時(shí)刻,都有則稱(chēng)X(t)與Y(t)正交。(2)線(xiàn)性無(wú)關(guān):對(duì)于任意時(shí)刻,都有則稱(chēng)X(t)與Y(t)線(xiàn)性無(wú)關(guān)。68整理課件（3）統(tǒng)計(jì)獨(dú)立:對(duì)于X(t)和Y(t)的任一組隨機(jī)變量,都有則稱(chēng)X(t)與Y(t)彼此統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的正交、線(xiàn)性無(wú)關(guān)與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立三者關(guān)系與兩個(gè)隨機(jī)變量間的完全相同。69整理課件★統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性，線(xiàn)性無(wú)關(guān)性和正交性的關(guān)系

1.兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，它們必然是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的；2.兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，不一定互相獨(dú)立；3.在兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)中任一均值為零時(shí)，線(xiàn)性無(wú)關(guān)

性與正交性是等價(jià)的；4.在兩個(gè)隨機(jī)信號(hào)的互相關(guān)和互協(xié)方差同時(shí)不為零時(shí)，它們不是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的，也不是相互正交的。70整理課件(a)一般情況下

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立線(xiàn)性無(wú)關(guān)

相互正交任一隨機(jī)信號(hào)均值為零71整理課件當(dāng)和均為高斯隨機(jī)信號(hào)時(shí):

統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和線(xiàn)性無(wú)關(guān)性是等價(jià)的；(b)高斯隨機(jī)信號(hào)線(xiàn)性無(wú)關(guān)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立進(jìn)一步，且有一個(gè)均值為零時(shí):

獨(dú)立性、線(xiàn)性無(wú)關(guān)性和正交性三者是等價(jià)的。(c)高斯隨機(jī)信號(hào)，且有一個(gè)均值為零線(xiàn)性無(wú)關(guān)統(tǒng)計(jì)獨(dú)立相互正交72整理課件若X(t)與Y(t)正交，則若X(t)與Y(t)無(wú)關(guān)，則解:73整理課件2.3.3相關(guān)函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：隨機(jī)信號(hào)X(t)的自相關(guān)函數(shù)等滿(mǎn)足（1）對(duì)稱(chēng)性（2）均方值為非負(fù)實(shí)數(shù)（3）方差為非負(fù)實(shí)數(shù)（4）74整理課件（2）（3）對(duì)信號(hào)進(jìn)行中心化與歸一化處理，則有性質(zhì)2：隨機(jī)信號(hào)X(t)與Y(t)的聯(lián)合矩特性滿(mǎn)足

（1）對(duì)稱(chēng)性75整理課件76整理課件77整理課件2.1定義與基本特性2.2典型信號(hào)舉例2.3一般特性與基本運(yùn)算