2023屆寧夏中衛(wèi)市高三一模數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆寧夏中衛(wèi)市高三一模數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，，．若，，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系結(jié)合交集的結(jié)果可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，故或，若，則，，此時(shí)，符合；若，則，，此時(shí)，不符合；故選：B2．若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義可得復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)?，因此?故選：A.3．已知，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式得，，再由差角正切公式求值即可.【詳解】由題可得，，，所以.故選：A4．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先確定與中間量0的大小關(guān)系，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.【詳解】,，故故選：D.5．《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責(zé)之粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊．”羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個(gè)問題中，馬主人比豬主人多賠償了（

）斗．A． B． C．3 D．【答案】B【分析】轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列進(jìn)行求解，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，求出馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù).【詳解】由題意得：豬、羊、馬、牛的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)成等比數(shù)列，公比為2，設(shè)豬的主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為，則，解得：，故馬主人賠償?shù)乃诙窋?shù)為，所以馬主人比豬主人多賠償了斗數(shù)為.故選：B6．若滿足約束條件，則的最小值是（

）A．-6 B．-4 C．0 D．2【答案】A【分析】畫出可行域及目標(biāo)函數(shù)，由幾何意義求出最小值.【詳解】畫出可行域與目標(biāo)函數(shù)，聯(lián)立，解得，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，，故最小值為-6.故選：A7．如圖是函數(shù)圖象的一部分，設(shè)函數(shù)，則可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】結(jié)合函數(shù)圖象利用奇偶性排除部分選項(xiàng)，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，x趨于0時(shí)，函數(shù)值趨于負(fù)無窮大判斷.【詳解】因?yàn)榕c都是偶函數(shù)，排除A，B.因?yàn)楹投际瞧婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，x趨于0時(shí)，函數(shù)值趨于負(fù)無窮大，排除D,故選：C8．已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則在上不單調(diào)，D錯(cuò).故選：C.9．過去的一年，我國載人航天事業(yè)突飛猛進(jìn)，其中航天員選拔是載人航天事業(yè)發(fā)展中的重要一環(huán).已知航天員選拔時(shí)要接受特殊環(huán)境的耐受性測試，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飛行、飛行跳傘、著陸沖擊五項(xiàng).若這五項(xiàng)測試每天進(jìn)行一項(xiàng)，連續(xù)5天完成.且前庭功能和失重飛行須安排在相鄰兩天測試，超重耐力和失重飛行不能安排在相鄰兩天測試，則選拔測試的安排方案有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．60種【答案】B【分析】根據(jù)特殊元素“失重飛行”進(jìn)行位置分類方法計(jì)算，結(jié)合排列組合等計(jì)數(shù)方法，即可求得總的測試的安排方案種數(shù).【詳解】①若失重飛行安排在第一天則前庭功能安排第二天，則后面三天安排其他三項(xiàng)測試有種安排方法，此情況跟失重飛行安排在第五天則前庭功能安排第四天安排方案種數(shù)相同；②若失重飛行安排在第二天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第四、第五天有種選擇，剩下兩種測試全排列，則有種安排方法，此情況與失重飛行安排在第四天方安排方案種數(shù)相同；③若失重飛行安排在第三天，則前庭功能有種選擇，超重耐力在第一、第五天有種選擇，剩下兩種測試全排列，則有種安排方法；故選拔測試的安排方案有種.故選：B.10．的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，滿足.若為銳角三角形，且a=3，則面積最大為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理、三角形面積公式結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得，在銳角中，，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，于是的面積，所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值.故選：D11．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線交雙曲線的左支于點(diǎn)，若，則點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值之比為（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得三點(diǎn)坐標(biāo)，由可利用相似比得，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)并聯(lián)立，解之即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：根據(jù)題意可知，設(shè)由可知，，所以，即，所以，即；所以，聯(lián)立，解得；所以，即，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對值之比為.故選：B12．利用“”可得到許多與n（且）有關(guān)的結(jié)論①，②，③，④，則結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】先證明出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，對于①，令，得到，累加后得到①正確；對于②，推導(dǎo)出，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，令，可得，累加后得到②正確；對于③，推導(dǎo)出，累加后得到③錯(cuò)誤；對于④，將中的替換為，推導(dǎo)出，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，累加后得到④正確.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時(shí)最小值，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，對于①，令，所以，故，其中，所以，故①正確；對于②，將中的替換為，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，令，可得，所以，故，其中所以，故②正確；對于③，將中的替換為，顯然，則，故，故，故③錯(cuò)誤；對于④，將中的替換為，其中，，則，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，故④正確.故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)證明數(shù)列相關(guān)不等式，常根據(jù)已知函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式代替函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和（常用到裂項(xiàng)相消法求和）達(dá)到證明的目的.二、填空題13．已知，平面向量，.若，則實(shí)數(shù)的值是______.【答案】2【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求實(shí)數(shù)的值.【詳解】平面向量，，若，則，由，解得.故答案為：214．已知的展開式為，若，則__________.【答案】或【分析】利用二項(xiàng)式定理求解即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，，令，則，即，令，則，即，由題意可得，即，解得或，故答案為：或15．為橢圓上一點(diǎn)，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，，若，則到軸的距離為__________.【答案】【分析】首先表示出，，，的坐標(biāo)，依題意可得，即可得到為橢圓上一點(diǎn)，聯(lián)立兩橢圓方程，求出，即可得解.【詳解】解：不妨設(shè)，，，，則，為橢圓的焦點(diǎn)，所以，又，所以，且，所以在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且，所以，所以為橢圓上一點(diǎn)，由，解得，則，故到軸的距離為.故答案為：16．蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”最早系外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似今日的踢足球活動.如圖所示，已知某“鞠”的表面上有四個(gè)點(diǎn)，，，，滿足，，則該“鞠”的表面積為____________.【答案】【分析】由題意畫出圖形，可得，均為等邊三角形，設(shè)球心為O，的中心為，取中點(diǎn)，連接AF，CF，OB，，AO，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解棱錐外接球的半徑，再由球的表面積公式求解.【詳解】由已知得，均為等邊三角形，如圖所示，設(shè)球心為O，的中心為，取中點(diǎn)，連接AF，CF，OB，，AO，則，，而，平面，∴平面，可求得而，，則，在平面中，過點(diǎn)作的垂線，與的延長線交于點(diǎn)，由平面，平面，得，又，，平面，故平面，過點(diǎn)O作于點(diǎn)G，則四邊形是矩形，而，設(shè)球的半徑為R，，則由，，得，

，解得，，故三棱錐外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于三棱錐外接球的三種模型第一種模型為常見墻角模型，此時(shí)將三棱錐看作長方體中的一個(gè)部分，將長方體進(jìn)行補(bǔ)全之后就可以找到外接球半徑與長方體三邊之間的關(guān)系.第二種模型為對邊相等的三棱錐外接球，方法同樣將其補(bǔ)形為長方體，我們可以通過畫出一個(gè)長方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對邊，然后通過每一組在直角三角形中的滿足勾股定理的形式而列出方程，然后再將三組方程相加之后就可以得到長方體三邊的平方的關(guān)系，繼而可以求出外接球的半徑.第三種模型為確定球心來構(gòu)造直角三角形，這種模型最關(guān)鍵的就是利用底面三角形的外心來確定球心，然后來構(gòu)造直角三角形將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，在直角三角形當(dāng)中來求出球的半徑.三、解答題17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）令可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法可求得.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由可得，上述兩個(gè)等式作差可得，則，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故.（2）解：由題意可知，，因?yàn)椋瑒t，則數(shù)列為等差數(shù)列，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以，.18．?dāng)y號轉(zhuǎn)網(wǎng)，也稱作號碼攜帶、移機(jī)不改號，即無需改變自己的手機(jī)號碼，就能轉(zhuǎn)換運(yùn)營商，并享受其提供的各種服務(wù)．2019年11月27日，工信部宣布攜號轉(zhuǎn)網(wǎng)在全國范圍正式啟動．某運(yùn)營商為提質(zhì)量?？蛻?，從運(yùn)營系統(tǒng)中選出300名客戶，對業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平的評價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中業(yè)務(wù)水平的滿意率為，服務(wù)水平的滿意率為，對業(yè)務(wù)水平和服務(wù)水平都滿意的客戶有180人．(1)完成下面2×2列聯(lián)表，并分析是否有99%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平與服務(wù)水平有關(guān)；對服務(wù)水平滿意人數(shù)對服務(wù)水平不滿意人數(shù)合計(jì)對業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)對業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù)合計(jì)(2)為進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量在選出的對服務(wù)水平不滿意的客戶中，抽取2名征求改進(jìn)意見，用X表示對業(yè)務(wù)水平不滿意的人數(shù)，求X的分布列與期望.附：，．k【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有99%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平滿意與服務(wù)水平滿意有關(guān)(2)分布列見解析，【分析】（1）利用題意可完成列聯(lián)表，然后根據(jù)公式求出，再對照臨界值表即可得出結(jié)論;（2）根據(jù)題意結(jié)合超幾何分布求分布列和期望【詳解】（1）有題可得對業(yè)務(wù)水平滿意的有人，對服務(wù)水平滿意的有人，得2×2列聯(lián)表對服務(wù)水平滿意人數(shù)對服務(wù)水平不滿意人數(shù)合計(jì)對業(yè)務(wù)水平滿意人數(shù)18080260對業(yè)務(wù)水平不滿意人數(shù)202040合計(jì)200100300經(jīng)計(jì)算得，所以沒有99%的把握認(rèn)為業(yè)務(wù)水平滿意與服務(wù)水平滿意有關(guān)（2）X的可能值為0，1，2，，，，所以X的分布列如下X012P則X的期望19．如圖，在三棱柱中，底面為等腰直角三角形，側(cè)面底面為中點(diǎn)，.(1)求證：；(2)再從條件①?條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）選①，取的中點(diǎn)，連接，證明，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.選②，取的中點(diǎn)，連接，利用勾股定理證明，再以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槊婷?，面面，面，所以平面，又平面，所以；?）選①，取的中點(diǎn)，連接，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，所以，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由，得，則，則，因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一條法向量，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則，由圖可知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.選②，取的中點(diǎn)，連接，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又因?yàn)椋?，又，，所以，則，在中，因?yàn)?，所以，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，下同選①的答案.20．在直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．(1)求動點(diǎn)M的軌跡方程；(2)當(dāng)時(shí)，記動點(diǎn)M的軌跡為曲線C，過F的直線與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，直線OP，OQ與直線分別交于A，B兩點(diǎn)，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．【答案】(1)時(shí)，；時(shí)，(2)是，過定點(diǎn)和【分析】（1）考慮和兩種情況，時(shí)確定軌跡為拋物線，根據(jù)題意得到，得到答案.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算中點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑為，得到圓方程為，取得到定點(diǎn).【詳解】（1）動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，當(dāng)時(shí)，動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離等于到的距離，軌跡為拋物線，設(shè)拋物線方程為，，，當(dāng)時(shí)，滿足條件.綜上所述：軌跡方程為：時(shí)，；時(shí)，（2）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理得：，，，直線的方程為，同理：直線的方程為，令得，，設(shè)中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，所以.，圓的半徑為.所以為直徑的圓的方程為.展開可得，令，可得，解得或.所以以為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)和21．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分或兩種情況討論；（2）由，令，，分，或三種情況討論.【詳解】（1）的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，可知在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，今，得.因?yàn)?，所以為偶函?shù)，所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，；（2）令，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，顯然成立.當(dāng)時(shí)，，在區(qū)