高等數(shù)學(xué)(高教版)第六章線性空間第五節(jié)課件

高等數(shù)學(xué)(高教(ɡāojiào)版)第六章線性空間第五節(jié)課件第一頁，共20頁。一、定義(dìngyì)定義13數(shù)域P上線性空間(kōngjiān)V的一個非空子集合(jíhé)W稱為V的一個線性子空間(或簡稱子空間),如果W

對于V

中所定義的加法和數(shù)量乘法兩種運(yùn)算也構(gòu)成數(shù)域P

上的線性空間.第二頁，共20頁。二、非空子(kòngzi)集構(gòu)成子空間的條件下面我們來分析一下，一個非空子(kòngzi)集合要滿足什么條件(tiáojiàn)才能成為子空間.設(shè)W

是V

的子集合.因為V

是線性空間.所以對于原有的運(yùn)算，W

中的向量滿足線性空間定義中的中的規(guī)那么1),2),5),6),7),8)是顯然的.為了使W

自身構(gòu)成一線性空間，主要的條件是要求W

對于V

中原來運(yùn)算的封閉性，以及規(guī)那么3)與4)成立.即第三頁，共20頁。1.W對數(shù)量乘法(chéngfǎ)運(yùn)算封閉，即假設(shè)W,kP,那么(nàme)kW.2.W對加法(jiāfǎ)運(yùn)算封閉，即假設(shè)W,W，那么+W.3.0W.4.假設(shè)W,那么-W.不難看出3,4兩個條件是多余的，它們已經(jīng)包含在條件1中，作為k=0與-1這兩個特殊情形.因此，我們得到第四頁，共20頁。定理(dìnglǐ)3如果線性空間V的非空子集合W對于V的數(shù)量乘法和加法兩種運(yùn)算(yùnsuàn)是封閉的，那么W就是(jiùshì)一個子空間.既然線性子空間本身也是一個線性空間，上面我們引入的概念，如維數(shù)、基、坐標(biāo)等，當(dāng)然也可以應(yīng)用到線性子空間上.因為在線性子空間中不可能比在整個空間中有更多數(shù)目的線性無關(guān)的向量.所以，任何一個線性子空間的維數(shù)不能超過整個空間的維數(shù).第五頁，共20頁。下面(xiàmian)來看幾個例子.例1在線性空間(kōngjiān)中，由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間(kōngjiān)，它叫做零子空間(kōngjiān).例2

線性空間V

本身也是V

的一個子空間.在線性空間中，零子空間和線性空間本身這兩個子空間有時候叫做平凡子空間，而其它的線性子空間叫做非平凡子空間.第六頁，共20頁。例3在全體實函數(shù)組成(zǔchénɡ)的空間中，所有的實系數(shù)(xìshù)多項式組成一個子空間.例4P[x]n是線性空間(kōngjiān)P[x]的子空間(kōngjiān).例5

在線性空間Pn

中，齊次線性方程組第七頁，共20頁。的全部解向量組成一個(yīɡè)子空間，這個子空間叫做齊次線性方程組的解空間(kōngjiān).解空間(kōngjiān)的基就是方程組的根底解系，它的維數(shù)等于n-r,其中r為系數(shù)矩陣的秩.第八頁，共20頁。例6判斷以下子集(zǐjí)是否為給定線性空間的子空間，并說明其幾何(jǐhé)意義.第九頁，共20頁。例7證明(zhèngmíng)集合W={(0,x2,x3,…,xn

)|x2,x3,…,xn

R}是Rn的子空間(kōngjiān)，并求它的一組基，確定它的維.第十頁，共20頁。三、向量組生成(shēnɡchénɡ)的子空間1.定義(dìngyì)定義(dìngyì)14設(shè)1,2,…,r是線性空間V中一組向量，這組向量所有可能的線性組合k11+k22+…+krr所成的集合是非空的，而且對兩種運(yùn)算封閉，因而是V

的一個子空間，這個子空間叫做由1,2,…,r生成的子空間，記為L(1,2,…,r

).第十一頁，共20頁。2.性質(zhì)(xìngzhì)定理41)兩個(liǎnɡɡè)向量組生成相同子空間的充分必要條件是這兩個(liǎnɡɡè)向量組等價.2)

L(1,2,…,r

)的維數(shù)等于向量組1,2,…,r的秩.證明1)

設(shè)1,2,…,r

與1,2,…,s是兩個向量組.如果第十二頁，共20頁。L(1,2,…,r

)=L(1,2,…,s

),那么每個向量(xiàngliàng)i(i=1,2,…,r)作為L(1,2,…,s)中的向量(xiàngliàng)都可以被1,2,…,s線性表出;同樣(tóngyàng)每個向量j(j=1,2,…,s)作為L(1,2,…,r

)中的向量也都可以被1,2,…,r線性表出，因而這兩個向量組等價.如果這兩個向量組等價，那么但凡可以被1,2,…,r線性表出的向量都可以被1,2,…,s線性表出，反過來也一樣，因而第十三頁，共20頁。L(1,2,…,r

)=L(1,2,…,s

).2)設(shè)向量(xiàngliàng)組1,2,…,r的秩是s,而1,2,…,s(sr)是它的一個極大(jídà)線性無關(guān)組.因為1,2,…,r與1,2,…,s等價(děngjià)，所以L(1,2,…,r

)=L(1,2,…,s).由1,2,…,s就是L(1,2,…,r

)的一組基，因而L(1,2,…,r

)的維數(shù)就是s.證畢第十四頁，共20頁。定理(dìnglǐ)5設(shè)W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個(yīɡè)m維子空間，1,2,…,m是W的一組基,那么這組向量必定可擴(kuò)充(kuòchōng)為整個空間的基.

也就是說在V中必定可以找到n-m

個向量m+1,m+

2,…,

n，使得

1,2,…,n是V

的基.證明對維數(shù)差n-m

作歸納法，當(dāng)n-m=0時，定理顯然成立，因為1,2,…,m

已經(jīng)是V的基.現(xiàn)在假設(shè)n-m=k

時定理成立，我們考慮n-m=k+1的情形.第十五頁，共20頁。既然(jìrán)1,2,…,m還不是V的基，它又是線性無關(guān)(wúguān)的，1,2,…,m線性表出，…,m,m+1必定是線性無關(guān)(wúguān)的(參看第3節(jié)中的).由,子空間L(1,2,…,m,m+1)是m+1維的.因為n-(m+1)=(n-m)-1=k,由歸納法假設(shè)，L(1,2,…,m,m+1)的基1,2,…,m,m+1那么在V

中必定有一個向量m+1不能被把m+1添加進(jìn)去1,2,第十六頁，共20頁?？梢?kěyǐ)擴(kuò)充為整個空間的基.根據(jù)歸納法原理(yuánlǐ)，定理得證.證畢例8在P4中，求向量(xiàngliàng)i(i=1,2,3,4)生成的子空間的基與維數(shù).第十七頁，共20頁。本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束(jiéshù)!假設(shè)想結(jié)束(jiéshù)本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容(nèiróng)已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容(nèiróng)已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!假設(shè)想結(jié)束本堂課,請單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束!