高中數(shù)學(xué)微積分基本定理

高中數(shù)學(xué)微積分基本定理第1頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【課標(biāo)要求】1．了解微積分基本定理的內(nèi)容與含義．2．會(huì)利用微積分基本定理求函數(shù)的定積分．【核心掃描】1．用微積分基本定理求函數(shù)的定積分是本課的重點(diǎn)．2．對(duì)微積分基本定理的考查常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．第2頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四自學(xué)導(dǎo)引1．微積分基本定理連續(xù)

f(x)

F(b)－F(a)

F(b)－F(a)

第3頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四想一想：導(dǎo)數(shù)與定積分有怎樣的聯(lián)系？

提示導(dǎo)數(shù)與定積分都是定積分學(xué)中兩個(gè)最基本、最重要的概念，運(yùn)用它們之間的聯(lián)系，我們可以找出求定積分的方法，求導(dǎo)數(shù)與定積分是互為逆運(yùn)算．第4頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系 設(shè)曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，x軸下方的面積為S下，則

(1)當(dāng)曲邊梯形的面積在x軸上方時(shí)，如圖(1)， 則圖(1)圖(2)第5頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四圖(3)－S下

S上－S下

0

第6頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四想一想：在上面圖(1)、圖(2)、圖(3)中的三個(gè)圖形陰影部分的面積分別怎樣表示？ 提示根據(jù)定積分與曲邊梯形的面積的關(guān)系知：

第7頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四名師點(diǎn)睛1．微積分基本定理的理解

(1)微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的聯(lián)系，同時(shí)它也提供了計(jì)算定積分的一種有效方法．

(2)根據(jù)定積分的定義求定積分往往比較困難，而利用微積分基本定理求定積分比較方便．第8頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(3)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的一個(gè)函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，在區(qū)間I上的任意一點(diǎn)x處都有F′(x)＝f(x)，那么F(x)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)．根據(jù)定義，求函數(shù)f(x)的原函數(shù)，就是要求一個(gè)函數(shù)F(x)，使它的導(dǎo)數(shù)F′(x)等于f(x)．由于[F(x)＋c]′＝F′(x)＝f(x)，所以F(x)＋c也是f(x)的原函數(shù)，其中c為常數(shù)．(4)利用微積分基本定理求定積分的關(guān)鍵是找出滿足F′(x)＝f(x)的函數(shù)F(x)，通常，我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出F(x)．第9頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2．被積函數(shù)為分段函數(shù)或絕對(duì)值函數(shù)時(shí)的正確處理方式 分段函數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)積分時(shí)要分段去積和去掉絕對(duì)值符號(hào)去積．處理這類積分一定要弄清分段臨界點(diǎn)，同時(shí)對(duì)于定積分的性質(zhì)，必須熟記在心．第10頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第11頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四題型一求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分【例1】

計(jì)算下列定積分

[思路探索]

解答本題可先求被積函數(shù)的原函數(shù)；然后利用微積分基本定理求解．第12頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第13頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第14頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

(1)用微積分基本定理求定積分的步驟：①求f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)；②計(jì)算F(b)－F(a)．(2)注意事項(xiàng)：①有時(shí)需先化簡(jiǎn)，再求積分；②f(x)的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，如F(x)＋c，計(jì)算時(shí)，一般只寫一個(gè)最簡(jiǎn)單的，不再加任意常數(shù)c.第15頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【變式1】

求下列定積分：第16頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第17頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第18頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第19頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

求較復(fù)雜函數(shù)的定積分的方法：(1)掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后求解，具體方法是能化簡(jiǎn)的化簡(jiǎn)，不能化簡(jiǎn)的變?yōu)閮绾瘮?shù)、正、余函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和與差．(2)精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限．第20頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第21頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第22頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第23頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第24頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

定積分的應(yīng)用體現(xiàn)了積分與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，可以通過(guò)積分構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)而對(duì)這一函數(shù)進(jìn)行性質(zhì)、最值等方面的考查，解題過(guò)程中注意體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．第25頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第26頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第27頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第28頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第29頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四【題后反思】(1)求分段函數(shù)的定積分時(shí)，可利用積分性質(zhì)將其表示為幾段積分和的形式；(2)帶絕對(duì)值的解析式，先根據(jù)絕對(duì)值的意義找到分界點(diǎn)，去掉絕對(duì)值號(hào)，化為分段函數(shù)；(3)含有字母參數(shù)的絕對(duì)值問(wèn)題要注意分類討論．第30頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第31頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第32頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第33頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第34頁(yè)，共35頁(yè)