2023屆西藏拉薩市高三下學期第一次模擬數(shù)學（文）試題

拉薩市2023屆高三第一次模擬考試文科數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘。注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合，，則A. B. C. D.2.設復數(shù)滿足，則A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則 4.已知點F是拋物線C：的焦點，A是拋物線C上的一點，若，，則點A的縱坐標為A. B. C. D.5.某生物實驗室對某種動物注射某種麻醉藥物，下表是注射劑量（單位：mL）與注射4h后單位體積血液藥物含量相對應的樣本數(shù)據(jù)，得到變量與的線性回歸方程為，則的值為2345675915 6.已知實數(shù)，滿足，則的最小值為A. B. C. D.7.位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個國際館中3個展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達了理性主義與浪漫主義的對立與統(tǒng)一.其中最大的是3號展館，其頂部所對應的正四棱錐底面邊長為，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（參考數(shù)據(jù)：） 8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的T的值是 9.過點作斜率不為0的直線與圓：交于A，B兩點，若，則直線的斜率A. B. C. D.10.已知，滿足，，則A. B. C. D.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象關于直線對稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞增12.已知，，，則，，的大小關系是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若實數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為_________.14.已知平面向量，在網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則_________.15.已知的斜邊，，現(xiàn)將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使，則所得四面體外接球的表面積為__________.16.已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，是雙曲線右支上任一點，過點作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，O是坐標原點，若的最小值是，則當取最小值時，的面積是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）令，求數(shù)列的前項和.18.（12分）某地足球協(xié)會為了調(diào)查球迷對第二十二屆世界杯的了解情況，組織了一次相關知識測試活動，并從中抽取了50位球迷的測試成績（取正整數(shù)，滿分100分）進行統(tǒng)計，按照，，，，進行分組并作出頻率分布直方圖，如圖所示.（1）求a的值，并估計參與本次活動的球迷測試成績的中位數(shù);（2）規(guī)定測試成績不低于80分的為“真球迷”，測試成績不低于90分的為“狂熱球迷”，現(xiàn)從該樣本中的“真球迷”中隨機抽取2人，求抽取的2人中恰有1人為“狂熱球迷”的概率.19.（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點.（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積.20.（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過點且斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點.當A為橢圓E的上頂點時，.（1）求橢圓的標準方程；（2）當時，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過點，并說明理由.21.（12分）己知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程;（2）若有兩個不同的極值點，，且，求的取值范圍.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；（2）設P，Q分別為曲線和直線上的任意一點，求的最小值.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)，.（1）請在圖中畫出和的圖象；（2）證明：.拉薩市2023屆高三第一次模擬考試文科數(shù)學·全解全析及評分標準一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。123456789101112DBACCABCDADD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。15.16.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）【解析】（1）當時，，則.當時，由①，得②，①-②，得，∴，即，∴數(shù)列是以為首項，-2為公比的等比數(shù)列，∴，當時也滿足上式，∴.（2）由（1）得，∴.說明：第一問：分段沒有說明為等比數(shù)列直接得出通項公式不扣分.2.利用求解也按相應步驟給分.第二問：分段將也正確，不扣分.18.（12分）【解析】（1）測試成績在內(nèi)的頻率為，所以.設測試成績的中位數(shù)為分，因為，所以，所以，解得，所以，參與本次活動的球迷測試成績的中位數(shù)約為分.（2）由題意，知測試成績在內(nèi)的球迷有人，記這6人分別為，，，，，；測試成績在內(nèi)的球迷有人，記這2人分別為，.所以樣本中共有8名“真球迷”，其中“狂熱球迷”有2名，從“真球迷”中隨機抽取2人的所有情況有28種，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中抽取的2人中恰有1人為“狂熱球迷”的情況有12種，分別為：，，，，，，，，，，，，故所求概率.說明：1.第一問中式子對，而結(jié)果不對，扣1分.2.第一問中“，參與本次活動的球迷測試成績的中位數(shù)約為分”，最后沒有回答不扣分.3.第二問沒有列出基本事件，只給出基本事件的個數(shù)，扣2分.19.（12分）【解析】（1）因為為直三棱柱，所以平面.又平面，所以.因為為棱的中點，，所以.因為平面，平面，，所以平面.又平面，所以.因為為棱的中點，所以.又，所以，同理，所以.因為平面，平面，，所以平面.（2）因為，，，所以，，所以.由（1）知平面，所以，即三棱錐的體積為.說明：第一問：分段沒有“平面，平面，”不扣分.分段沒有“平面，平面，”不扣分.第二問：分段得出，.分段得出.分段得出.20.（12分）【解析】（1）由題意，得橢圓的半焦距，當A為橢圓E的上頂點時，，設，則，.由，得，，∴，將點B的坐標代入橢圓E的方程，得.又，∴，∴橢圓的標準方程是.（2）以AB為直徑的圓不經(jīng)過點，理由如下：依題意，知直線的方程為.聯(lián)立，消去，并整理，得.設，，則由根與系數(shù)的關系，得，.易知，直線，的斜率都存在且不為0.若以為直徑的圓經(jīng)過點，則，所以直線，的斜率之積為-1，即，而，所以以AB為直徑的圓不經(jīng)過點.說明：1.第二問中直接回答“以AB為直徑的圓不經(jīng)過點”得1分.2.第二問8分后若用去驗證也給分.21.（12分）【解析】（1）當時，，所以，所以所求的切線斜率為.又，所以切點為，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）對函數(shù)求導，得.函數(shù)有兩個不同的極值點，，等價于有兩個零點，，且零點兩側(cè)的函數(shù)值異號，即有兩個零點，.令，則.i）當時，，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；ii）當時，由，得，即在上單調(diào)遞增.由，得，即在上單調(diào)遞減.要使有兩個零點，則，即，解得.此時，，，.令，則.因為在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以當時，有兩個零點且兩個零點，分別位于區(qū)間，內(nèi).所以.令，則，所以，即，解得.令，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.又，令，則，當時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.令，則.因為對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，即，所以，即的取值范圍為.說明：第一問：分段寫出時的解析式.分段求，并求出切線斜率.分段寫出切點坐標.分段寫出切線方程，切線方程寫成不扣分.第二問：分段將函數(shù)極值點問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)的零點問題.分段得出不滿足題意.分段討論當時，的單調(diào)性.分段將有兩個零點轉(zhuǎn)化為得出.分段得出的兩個零點所在區(qū)間.分段解出.分段把看成的函數(shù)，求出的取值范圍.分段由前提條件與求出的的取值范圍取交集得出的取值范圍.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）【解析】（1）由，消去，得或.由，得，將，代入，得.故曲線的普通方程為或，直線的直角坐標方程為.（2）設是曲線上任一點，則點到直線的距離為，所以當，即時，點到直線的距離最小，即取得最小值，為.說明：第一問：1.式子“”中，沒有寫“”，扣1分.2.沒有寫“，”不扣分.第二問另解：由題意，知當曲線C在點P處的切線與直線平行時，兩平行線之間的距離為所求的最小值.設：與相切，則由，消去，整理得，由，得，所以：，所以的最小值為.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）【解析】（1），畫出，的圖象如圖所示：（2）要證，即證，只需證.∵，當且僅當，即時，等號成立.同理，，當且僅當，即時，等號成立.又，當且僅當時，等號成立，∴，當且僅當時，等號成立，∴成立.說明：第一問：分段將化為分段函數(shù)時有錯不得分.分段將化為分段函數(shù)時有錯不得分.分段正確作出的圖