高等數(shù)學(xué)曲線(xiàn)凸性拐點(diǎn)與漸近線(xiàn)

高等數(shù)學(xué)曲線(xiàn)凸性拐點(diǎn)與漸近線(xiàn)1第1頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，如果曲線(xiàn)y=f(x)上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)都在曲線(xiàn)的上方，則稱(chēng)該曲線(xiàn)為上凸的（凸?。Q(chēng)區(qū)間(a，b)為該曲線(xiàn)的上凸區(qū)間；如果曲線(xiàn)y=f(x)上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)都在曲線(xiàn)的下方，則稱(chēng)該曲線(xiàn)為下凸的（凹弧）

，稱(chēng)區(qū)間(a，b)為該曲線(xiàn)的下凸區(qū)間或凹區(qū)間。規(guī)范的定義：如果函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1，x2都滿(mǎn)足：則稱(chēng)該曲線(xiàn)為上凸。如果函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1，x2都滿(mǎn)足：則稱(chēng)該曲線(xiàn)為下凸。2第2頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理1：設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo),則有(1)若在(a，b)內(nèi)有

，曲線(xiàn)y=f(x)在(a，b)內(nèi)下凸。(2)若在(a，b)內(nèi)有

，曲線(xiàn)y=f(x)在(a，b)內(nèi)上凸。3第3頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1：解：注意到,4第4頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定義：注意:拐點(diǎn)處的切線(xiàn)必在拐點(diǎn)處穿過(guò)曲線(xiàn).證：由可導(dǎo)函數(shù)取極值的條件.5第5頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四拐點(diǎn)的求法6第6頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2：解：凹的凸的凹的拐點(diǎn)拐點(diǎn)7第7頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注意:曲線(xiàn)的上凸區(qū)間為，下凸區(qū)間為和，拐點(diǎn)為（0，1）和。8第8頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3：解：9第9頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四考研題欣賞（2004年3，4）設(shè)，則(A)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn)。(B)x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn)。(C)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn)。(D)x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線(xiàn)y=f(x)的拐點(diǎn)。答案：(C)10第10頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.4.2曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)定義:1.垂直漸近線(xiàn)11第11頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1:兩條有垂直漸近線(xiàn):

解：12第12頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.水平漸近線(xiàn)例2:有兩條水平漸近線(xiàn):解：13第13頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.斜漸近線(xiàn)斜漸近線(xiàn)求法:14第14頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注意:15第15頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3：解：16第16頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四17第17頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四考研題欣賞（2000年3，4）曲線(xiàn)（A）僅有水平漸近線(xiàn)。（B）僅有鉛直漸近線(xiàn)。（C）既有鉛直又有水平漸近線(xiàn)。（D）既有鉛直又有斜漸近線(xiàn)。答案：(D)18第18頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四考研題欣賞（2003年3,4）曲線(xiàn)的單調(diào)區(qū)間、極值、漸近線(xiàn)。19第19頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.4.3函數(shù)作圖利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步20第20頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線(xiàn)、斜漸近線(xiàn)以及其他變化趨勢(shì);第五步21第21頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1：解：定義域?yàn)閤≠0。非奇非偶函數(shù),且無(wú)對(duì)稱(chēng)性.22第22頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):不存在拐點(diǎn)極值點(diǎn)間斷點(diǎn)23第23頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四作圖24第24頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四25第25頁(yè)，共28頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2：解：偶函數(shù),圖形關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).定義域?yàn)镽。26第26頁(yè)，共28頁(yè)，