高數(shù)分部積分法有理函數(shù)積分法

高數(shù)分部積分法有理函數(shù)積分法第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四問題解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式一、基本內(nèi)容第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例1求積分解（一）令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）令第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例2求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例3求積分解令第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例4求積分解總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例5求積分解第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例6求積分解注意循環(huán)形式第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例7求積分解第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四令第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四解兩邊同時對求導(dǎo),得第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四合理選擇，正確使用分部積分公式二、小結(jié)第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四思考題在接連幾次應(yīng)用分部積分公式時，應(yīng)注意什么？第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四思考題解答注意前后幾次所選的應(yīng)為同類型函數(shù).例第一次時若選第二次時仍應(yīng)選第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四2幾類特殊函數(shù)的不定積分2.1有理函數(shù)積分法2.2三角函數(shù)有理式積分2.3簡單無理式的積分.第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四有理函數(shù)的定義：兩個多項式的商表示的函數(shù)稱之.2.1、有理函數(shù)的積分第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四假定分子與分母之間沒有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；利用多項式除法,假分式可以化成一個多項式和一個真分式之和.例難點(diǎn)將有理函數(shù)化為部分分式之和.第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例2第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例3整理得第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例4求積分解第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例5求積分解第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例6求積分解令第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四說明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項式；討論積分令第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四則記第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三角有理式的定義：由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為2.2三角函數(shù)有理式的積分第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四令（萬能置換公式）第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例7求積分解由萬能置換公式第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例8求積分解（一）第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四解（二）修改萬能置換公式,令第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四解（三）可以不用萬能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計算中先考慮其它手段,不得已才用萬能置換.第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例9求積分解第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四討論類型解決方法作代換去掉根號.例10求積分解令2.3簡單無理函數(shù)的積分第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例11求積分解令說明無理函數(shù)去根號時,取根指數(shù)的最小公倍數(shù).第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四例12求積分解先對分母進(jìn)行有理化原式第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬能置換公式）（注意：萬能公式并不萬能）四、小結(jié)簡單無理式的積分.第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四思考題將分式分解成部分分式之和時應(yīng)注意什么？第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四思考題解答分解后的部分分式必須是最簡分式.第45頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)題第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四第47頁，共52頁，2023年，2月20日，星