高數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分

高數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分第1頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四（1）鄰域一、多元函數(shù)的概念第2頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四（2）區(qū)域例如，即為開集．第3頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四第4頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四（5）二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．第5頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四例1求的定義域．解所求定義域?yàn)榈?頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四（6）二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）第7頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第8頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四二、多元函數(shù)的極限第9頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．第10頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四例2求證證當(dāng)時，原結(jié)論成立．第11頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四例3求極限解其中第12頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．第13頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四確定極限不存在的方法：第14頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3第15頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四例5討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．第16頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四例７解第17頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念（注意趨近方式的任意性）四、小結(jié)多元函數(shù)的定義第18頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四2、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法第19頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四第20頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四第21頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如在處第22頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四習(xí)慣上，記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．第23頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)第24頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四解第25頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四證原結(jié)論成立．第26頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：１、２、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解第27頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四３、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)

連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

連續(xù)，第28頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).4、高階偏導(dǎo)數(shù)第29頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四解第30頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四解第31頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？第32頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四解第33頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）三、小結(jié)第34頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四思考題第35頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四思考題解答不能.例如,第36頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四3、復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t第37頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).第38頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：第39頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四鏈?zhǔn)椒▌t如圖示第40頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四第41頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四解第42頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四解第43頁，共46頁，2023年，2月20日，星期四1、鏈?zhǔn)椒▌t（分三種情況）2、全微分形