2014年數(shù)學(xué)二真題+答案解析

2014年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二PAGEPAGE62014年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當(dāng)時(shí)，若，均是比高階的無窮小，則的取值范圍是()(A) (B) (C) (D)(2)下列曲線中有漸近線的是()(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)函數(shù)具有2階導(dǎo)數(shù)，，則在區(qū)間上（）(A)當(dāng)時(shí)， (B)當(dāng)時(shí)，(C)當(dāng)時(shí)， (D)當(dāng)時(shí)，(4)曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的曲率半徑是（）(A) (B) (C) (D)(5)設(shè)函數(shù)，若，則（）(A) (B) (C) (D)(6)設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內(nèi)部具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則（）(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B)的最大值和最小值都在的內(nèi)部上取得(C)的最大值在的內(nèi)部取得，最小值在的邊界上取得(D)的最小值在的內(nèi)部取得，最大值在的邊界上取得(7)行列式（）(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)均為3維向量，則對(duì)任意常數(shù)，向量組線性無關(guān)是向量組線性無關(guān)的（）(A)必要非充分條件 (B)充分非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.((9)__________.(10)設(shè)是周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則__________.(11)設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則__________.(12)曲線的極坐標(biāo)方程是，則在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程是__________.(13)一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上,若其線密度,則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)__________.(14)設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，則的取值范圍為_______.三、解答題：15～23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)目要求的,請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當(dāng)時(shí)，若，均是比高階的無窮小，則的取值范圍是()(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由定義所以，故.當(dāng)時(shí)，是比的高階無窮小，所以，即.故選B(2)下列曲線中有漸近線的是()(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】關(guān)于C選項(xiàng)：.，所以存在斜漸近線.故選C(3)設(shè)函數(shù)具有2階導(dǎo)數(shù)，，則在區(qū)間上（）(A)當(dāng)時(shí)， (B)當(dāng)時(shí)，(C)當(dāng)時(shí)， (D)當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】令，則,,.若，則，在上為凸的.又，所以當(dāng)時(shí)，，從而.故選D.(4)曲線上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)處的曲率半徑是（）(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】故選C(5)設(shè)函數(shù)，若，則（）(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】因?yàn)?，所以故選D.(6)設(shè)函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內(nèi)部具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足及，則（）(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B)的最大值和最小值都在的內(nèi)部上取得(C)的最大值在的內(nèi)部取得，最小值在的邊界上取得(D)的最小值在的內(nèi)部取得，最大值在的邊界上取得【答案】A【解析】記則,所以在內(nèi)無極值，則極值在邊界處取得.故選A(7)行列式()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由行列式的展開定理展開第一列.(8)設(shè)均為三維向量，則對(duì)任意常數(shù),向量組,線性無關(guān)是向量組線性無關(guān)的()(A)必要非充分條件 (B)充分非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件【答案】A【解析】.記，，.若線性無關(guān)，則，故線性無關(guān).舉反例.令，則線性無關(guān)，但此時(shí)卻線性相關(guān).綜上所述，對(duì)任意常數(shù)，向量線性無關(guān)是向量線性無關(guān)的必要非充分條件.故選A二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.(9)__________.【答案】【解析】(10)設(shè)是周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則__________.【答案】1【解析】且為偶函數(shù)則又且為奇函數(shù)，故又的周期為4，(11)設(shè)是由方程確定的函數(shù)，則__________.【答案】【解析】對(duì)方程兩邊同時(shí)對(duì)求偏導(dǎo)當(dāng)時(shí),故故(12)曲線的極坐標(biāo)方程是，則在點(diǎn)處的切線的直角坐標(biāo)方程是__________.【答案】【解析】由直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系，于是對(duì)應(yīng)于切線斜率所以切線方程為即(13)一根長(zhǎng)為1的細(xì)棒位于軸的區(qū)間上,若其線密度,則該細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)__________.【答案】【解析】質(zhì)心橫坐標(biāo)(13)設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，則的取值范圍_________.【答案】【解析】配方法：由于二次型負(fù)慣性指數(shù)為1，所以，故.三、解答題：15～23小題,共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)求極限【解析】.(16)(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值與極小值.【解析】由，得………=1\*GB3①此時(shí)上面方程為變量可分離方程，解的通解為由得又由=1\*GB3①可得當(dāng)時(shí)，，且有：所以在處取得極小值，在處取得極大值即：的極大值為1，極小值為0.(17)(本題滿分10分)設(shè)平面區(qū)域計(jì)算.【解析】D關(guān)于對(duì)稱，滿足輪換對(duì)稱性，則：(18)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足，若，求的表達(dá)式.【解析】由，由，代入得，即，令得特征方程得齊次方程通解設(shè)特解，代入方程得，特解則原方程通解為由，得,則.(19)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調(diào)增加，，證明：（I）,（II）.【解析】（I）由積分中值定理，（II）直接由，得到（II）令由（I）知又由于單增，所以單調(diào)不減，取，得，即（II）成立.(20)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)，定義函數(shù)列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限.【解析】(21)(本題滿分11分)已知函數(shù)滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.【解析】因?yàn)?所以其中為待定函數(shù).又因?yàn)閯t，從而.令可得，當(dāng)時(shí)，或，從而所求的體積為(22)(本題滿分11分)設(shè)矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(II)求滿足的所有矩陣.【解析】