2014年數(shù)學二真題+答案解析

2014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二PAGEPAGE62014年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當時，若，均是比高階的無窮小，則的取值范圍是()(A) (B) (C) (D)(2)下列曲線中有漸近線的是()(A) (B)(C) (D)(3)設函數(shù)具有2階導數(shù)，，則在區(qū)間上（）(A)當時， (B)當時，(C)當時， (D)當時，(4)曲線上對應于的點處的曲率半徑是（）(A) (B) (C) (D)(5)設函數(shù)，若，則（）(A) (B) (C) (D)(6)設函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內部具有2階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足及，則（）(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B)的最大值和最小值都在的內部上取得(C)的最大值在的內部取得，最小值在的邊界上取得(D)的最小值在的內部取得，最大值在的邊界上取得(7)行列式（）(A) (B)(C) (D)(8)設均為3維向量，則對任意常數(shù)，向量組線性無關是向量組線性無關的（）(A)必要非充分條件 (B)充分非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.((9)__________.(10)設是周期為的可導奇函數(shù)，且，則__________.(11)設是由方程確定的函數(shù)，則__________.(12)曲線的極坐標方程是，則在點處的切線的直角坐標方程是__________.(13)一根長為1的細棒位于軸的區(qū)間上,若其線密度,則該細棒的質心坐標__________.(14)設二次型的負慣性指數(shù)為1，則的取值范圍為_______.三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)當時，若，均是比高階的無窮小，則的取值范圍是()(A) (B) (C) (D)【答案】B【解析】由定義所以，故.當時，是比的高階無窮小，所以，即.故選B(2)下列曲線中有漸近線的是()(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】關于C選項：.，所以存在斜漸近線.故選C(3)設函數(shù)具有2階導數(shù)，，則在區(qū)間上（）(A)當時， (B)當時，(C)當時， (D)當時，【答案】D【解析】令，則,,.若，則，在上為凸的.又，所以當時，，從而.故選D.(4)曲線上對應于的點處的曲率半徑是（）(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】故選C(5)設函數(shù)，若，則（）(A) (B) (C) (D)【答案】D【解析】因為，所以故選D.(6)設函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，在的內部具有2階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足及，則（）(A)的最大值和最小值都在的邊界上取得(B)的最大值和最小值都在的內部上取得(C)的最大值在的內部取得，最小值在的邊界上取得(D)的最小值在的內部取得，最大值在的邊界上取得【答案】A【解析】記則,所以在內無極值，則極值在邊界處取得.故選A(7)行列式()(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】由行列式的展開定理展開第一列.(8)設均為三維向量，則對任意常數(shù),向量組,線性無關是向量組線性無關的()(A)必要非充分條件 (B)充分非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件【答案】A【解析】.記，，.若線性無關，則，故線性無關.舉反例.令，則線性無關，但此時卻線性相關.綜上所述，對任意常數(shù)，向量線性無關是向量線性無關的必要非充分條件.故選A二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)__________.【答案】【解析】(10)設是周期為的可導奇函數(shù)，且，則__________.【答案】1【解析】且為偶函數(shù)則又且為奇函數(shù)，故又的周期為4，(11)設是由方程確定的函數(shù)，則__________.【答案】【解析】對方程兩邊同時對求偏導當時,故故(12)曲線的極坐標方程是，則在點處的切線的直角坐標方程是__________.【答案】【解析】由直角坐標和極坐標的關系，于是對應于切線斜率所以切線方程為即(13)一根長為1的細棒位于軸的區(qū)間上,若其線密度,則該細棒的質心坐標__________.【答案】【解析】質心橫坐標(13)設二次型的負慣性指數(shù)是1，則的取值范圍_________.【答案】【解析】配方法：由于二次型負慣性指數(shù)為1，所以，故.三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)求極限【解析】.(16)(本題滿分10分)已知函數(shù)滿足微分方程，且，求的極大值與極小值.【解析】由，得………=1\*GB3①此時上面方程為變量可分離方程，解的通解為由得又由=1\*GB3①可得當時，，且有：所以在處取得極小值，在處取得極大值即：的極大值為1，極小值為0.(17)(本題滿分10分)設平面區(qū)域計算.【解析】D關于對稱，滿足輪換對稱性，則：(18)(本題滿分10分)設函數(shù)具有二階連續(xù)導數(shù)，滿足，若，求的表達式.【解析】由，由，代入得，即，令得特征方程得齊次方程通解設特解，代入方程得，特解則原方程通解為由，得,則.(19)(本題滿分10分)設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且單調增加，，證明：（I）,（II）.【解析】（I）由積分中值定理，（II）直接由，得到（II）令由（I）知又由于單增，所以單調不減，取，得，即（II）成立.(20)(本題滿分11分)設函數(shù)，定義函數(shù)列，記是由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積，求極限.【解析】(21)(本題滿分11分)已知函數(shù)滿足，且求曲線所圍成的圖形繞直線旋轉所成的旋轉體的體積.【解析】因為,所以其中為待定函數(shù).又因為則，從而.令可得，當時，或，從而所求的體積為(22)(本題滿分11分)設矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個基礎解系；(II)求滿足的所有矩陣.【解析】