天津市紅橋區(qū)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題

2022屆天津市紅橋區(qū)高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：集合，所以，故選C.【解析】交集的運算，容易題.2．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】本題首先可通過運算得出即以及即，然后根據(jù)與之間的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】，即，，即，，因為集合是集合的真子集，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查充分條件以及必要條件的判定，給出命題“若則”,如果可證明，則說明是的充分條件，如果可證明，則說明是的必要條件，考查推理能力與計算能力，是簡單題.3．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因為，，，所以有，故選：B4．過點的直線與圓：交于，兩點，當(dāng)弦取最大值時，直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使過點的直線被圓所截得的弦取最大值時，則直線過圓心，然后根據(jù)直線的兩點式方程寫出答案即可【詳解】圓：化為所以圓心坐標(biāo)要使過點的直線被圓所截得的弦取最大值時，則直線過圓心由直線方程的兩點式得：，即故選：A5．曲線在點（1,1）處切線的斜率等于（

）.A． B． C．2 D．1【答案】C【詳解】試題分析：由，得，故，故切線的斜率為，故選C.【解析】導(dǎo)數(shù)的集合意義.6．為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況，隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長（單位：），所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，樹木的底部周長小于的棵數(shù)是（

）A．18 B．24 C．36 D．48【答案】B【分析】根據(jù)頻率直方圖中小矩形的面積代表這一組的頻率進(jìn)行求解即可.【詳解】由頻率直方圖可知：樹木的底部周長小于的棵數(shù)為：，故選：B7．如果雙曲線上一點到雙曲線右焦點的距離是2，那么點到軸的距離是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由點到雙曲線右焦點的距離是2知在雙曲線右支上．又由雙曲線的第二定義知點到雙曲線右準(zhǔn)線的距離是，雙曲線的右準(zhǔn)線方程是，故點到軸的距離是．8．設(shè)，，若，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】依題意可得，利用基本不等式計算可得；【詳解】解：因為，，且，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即，或時取等號；故選：D9．已知為等邊三角形，，設(shè)點，滿足，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用、表示和，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可求出結(jié)果.【詳解】,,,所以，得.故選：C.二、填空題10．若是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)______.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運算法則，結(jié)合復(fù)數(shù)的乘方法則進(jìn)行求解即可.【詳解】由，故答案為：11．若二項式的展開式中的系數(shù)是84，則實數(shù)__________．【答案】1【詳解】試題分析：由二項式定理可得：，因為的系數(shù)是，所以即，即，所以.【解析】二項式定理.12．兩個圓錐的底面是一個球的同一個截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為1:3，則這兩個圓錐的體積之和為______.【答案】【分析】根據(jù)球的體積公式，結(jié)合球的性質(zhì)、圓錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，因為球的體積為，所以有，設(shè)兩個圓錐的高分別為，于是有且，所以有，設(shè)圓錐的底面半徑為，所以有，因此這兩個圓錐的體積之和為，故答案為：13．已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_________．【答案】

【分析】根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率關(guān)系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求兩球都不落入盒子的概率，進(jìn)而求出至少一球落入盒子的概率.【詳解】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.故答案為：；.【點睛】本題主要考查獨立事件同時發(fā)生的概率，以及利用對立事件求概率，屬于基礎(chǔ)題.14．已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則__________.【答案】【分析】由圖求出，得出周期可求得，再代入即可求出.【詳解】由函數(shù)圖象可得，，則，所以，又，則，即，因為，所以.故答案為：.15．設(shè)函數(shù)，若無最大值，則實數(shù)的取值范圍是__．【答案】【分析】若f（x）無最大值，則，或，解得答案．【詳解】f′（x），令f′（x）＝0，則x＝±1，若f（x）無最大值，則，或，解得：a∈（﹣∞，﹣1）．故答案為【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)和分段函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.三、解答題16．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.已知，，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)三角形的性質(zhì)，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）運用正弦定理進(jìn)行求解即可；（3）利用二倍角公式和兩角和的正弦公式進(jìn)行求解即可.【詳解】(1)因為，所以，顯然為銳角，因為，所以，由余弦定理可知：；(2)由正弦定理可知：；(3)因為，所以，因此為銳角，由（2）可知：，所以有，因此，，于是有.17．如圖，在三棱柱中，平面，，，，分別為，，，的中點，，.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理即可得解；（2）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得解；（3）利用向量法從而可得出答案.【詳解】(1)證明：因為為的中點，，所以，因為平面，，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面；(2)解：如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，因為，，所以，則，則，設(shè)為平面的一條法向量，則，令，則，所以，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；(3)解：，因為平面，，所以平面，則即為平面的一條法向量，由（2）的平面的一條法向量，則，由圖可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18．已知橢圓：（）的離心率，點、之間的距離為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和，則是否存在常數(shù)，使得與共線？如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合橢圓離心率公式進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，結(jié)合平面向量線性運算的坐標(biāo)公式、平面共線向量的性質(zhì)進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】(1)因為點、之間的距離為，所以，因為橢圓的離心率，所以有，而，因此組成方程組為：；(2)設(shè)的方程為，與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)聯(lián)立為：，于是有，此時設(shè)，于是有，假設(shè)存在常數(shù)，使得與共線，因為，，所以有，，因為，所以，不滿足，因此不存在常數(shù)，使得與共線.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.19．設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，其前項和為．已知，，，.（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和.記，求；（Ⅲ）求.【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式即可求解.（Ⅱ）利用分組并項求和代入即可求解.（Ⅲ）利用錯位相減法即可求解.【詳解】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為（），由，，可得，解得或（舍去），所以，由，，則，解得，所以，解得，所以，解得，且，解得，所以.綜上所述，，.（Ⅱ）由（Ⅰ）中，所以，，故.（Ⅲ）設(shè)，，①，②①②可得，即，所以，故.20．已知函數(shù)（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．【答案】（Ⅰ）由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是（Ⅱ）實數(shù)