山東省棗莊市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題

2022屆山東省棗莊市高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，滿足的集合可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，再根據(jù)求解即可.【詳解】由題意知：，要滿足即，結(jié)合選項可知：.故選：C.2．命題“，”的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定求解即可.【詳解】命題“，”的否定為“，”.故選：D.3．設(shè)，是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩個解，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由方程解出，，再由復(fù)數(shù)的運算及復(fù)數(shù)的模判斷4個選項即可.【詳解】由方程得，由求根公式得，不妨設(shè)，.，A錯誤；，B錯誤；，C錯誤；，D正確.故選：D.4．下圖是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，則由直方圖得到的25%分位數(shù)為（

）A．66.5 B．67 C．67.5 D．68【答案】C【分析】直接按照頻率分布直方圖的百分位數(shù)求解即可.【詳解】第一組的頻率為，前兩組的頻率之和為，知25%分位數(shù)在第二組內(nèi)，故25%分位數(shù)為.故選：C.5．在長方形中，，，點滿足，點滿足，則（

）【答案】A【分析】先建立直角坐標(biāo)系，由和求出坐標(biāo)，再寫出，按照數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，由知，由知，則，故.故選：A.6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（

）A．或2 B．2 C．或3 D．3【答案】B【分析】先由三角函數(shù)的定義求出，再利用即可求解.【詳解】由角的終邊經(jīng)過點，可得，故.故選：B.7．已知雙曲線的右頂點為，右焦點為，為雙曲線在第二象限上的一點，關(guān)于坐標(biāo)原點的對稱點為，直線與直線的交點恰好為線段的中點，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】先設(shè)出點坐標(biāo)，由為線段的中點表示出點坐標(biāo)，再由共線，即可求得的關(guān)系式，求得離心率.【詳解】設(shè)，則，易知，由為線段的中點得，又在直線上，故共線，又，故，整理得，故離心率.故選：B.8．已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】化簡后，用作差法比較與，再利用作差法比較與后可求解.【詳解】，，所以，所以，又，因為，所以，所以，所以，又，所以，所以，又所以.故選：C二、多選題9．已知正數(shù)a，b滿足，則（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最小值為【答案】ABD【分析】A、B選項由基本不等式直接判斷即可；C選項分別求出的范圍即可判斷；D選項令，平方整理后，利用即可判斷.【詳解】由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，A正確；由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，B正確；由正數(shù)a，b及知，，可得，故，C錯誤；令，則，兩邊同時平方得，整理得，又存在使，故，解得，D正確.故選：ABD.10．一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有2個紅色球（標(biāo)號為1和2），2個綠色球（標(biāo)號為3和4），從袋中不放回地依次隨機摸出2個球．設(shè)事件“第一次摸到紅球”，事件“第二次摸到紅球”，“兩次都摸到綠球”，“兩個球中有紅球”，則（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】依次計算出4個事件對應(yīng)的概率，再依次判斷4個選項即可.【詳解】由題意知：“第一次摸到紅球”，第一次從2個紅球摸1個，第二次從剩下的3個里摸1個，故；“第二次摸到紅球”，若第一次從2個紅球摸1個，第二次直接摸剩下的1個紅球，若第一次從2個綠球摸1個，第二次從2個紅球里摸1個，故；“兩次都摸到綠球”，第一次從2個綠球摸1個，第二次直接摸剩下的1個綠球，故；“兩個球中有紅球”和“兩次都摸到綠球”互為對立事件，故，故，A正確；，B錯誤；，C錯誤；“兩次都摸到綠球”和“第二次摸到紅球”為互斥事件，D正確.故選：AD.11．如圖，平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長均為1，且它們彼此的夾角都是60°，則（

）A．B．C．四邊形的面積為D．平行六面體的體積為【答案】ABD【分析】A、B選項通過空間向量的模長及數(shù)量積進行判斷即可；C選項通過空間向量求出，進而求出面積即可；D選項作出平行六面體的高，求出相關(guān)邊長，即可求出體積.【詳解】，則，故，A正確；，，，故，B正確；連接，則，，即，同理，故四邊形為矩形，面積為，C錯誤；過作面，易知在直線上，過作于，連接，由得面，易得，故，，，故平行六面體的體積為，D正確.故選：ABD.12．已知橢圓：，過橢圓的左焦點的直線交于A，B兩點（點在軸的上方），過橢圓的右焦點的直線交于C，D兩點，則（

）A．若，則的斜率B．的最小值為C．以為直徑的圓與圓相切D．若，則四邊形面積的最小值為【答案】BCD【分析】A選項，由得到，再聯(lián)立直線和橢圓，結(jié)合韋達定理即可求出斜率；B選項先聯(lián)立直線和橢圓求出，再結(jié)合基本不等式求解即可；C選項由橢圓的定義結(jié)合兩圓相切的圓心距和半徑關(guān)系即可判斷；D選項斜率存在和不存在時分別計算面積，求出面積范圍即可判斷.【詳解】易知：，對于A，若，顯然直線的斜率存在且大于0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，化簡整理得，顯然，，又，故，整理得，由解得，又，故，A錯誤；對于B，易知直線的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，化簡整理得，顯然，，由點在軸的上方，顯然，又，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，B正確；對于C，設(shè)，的中點為，則，又，由橢圓定義知：，即，又的圓心為，半徑為2，故以為直徑的圓與圓內(nèi)切，C正確；對于D，當(dāng)直線的斜率存在時，由上知：，同理，故四邊形面積為，令，則，又，故，故；又當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的斜率為0，易得，此時，故，D正確.故選：BCD.【點睛】本題關(guān)鍵點在于A選項由和韋達定理解方程即可；B選項要先求出求出，再結(jié)合基本不等式的知識求解；C選項要結(jié)合橢圓的定義得到圓心距和半徑之間的關(guān)系；D選項斜率存在時求出面積的范圍，斜率不存在時直接求出面積.三、填空題13．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的值為______．【答案】2【分析】直接由偶函數(shù)得到，化簡求解即可.【詳解】由題意知：定義域為R，函數(shù)是偶函數(shù)，則，即，化簡得，解得.故答案為：2.14．如圖，等腰與矩形所在平面垂直，且，則四棱錐的外接球的表面積為______．【答案】【分析】連接，交于點，取的中點，連接，則由已知可得平面，連接，，然后利用已知條件可求出，從而可得點為四棱錐的外接球的球心，從而可求出其表面積【詳解】連接，交于點，取的中點，連接，因為，所以，因為等腰與矩形所在平面垂直，平面平面，所以平面，連接，，則因為等腰和矩形中，，所以，所以，所以，所以，所以點為四棱錐的外接球的球心，則球的半徑為所以四棱錐的外接球的表面積為，故答案為：15．已知隨機變量，若最大，則______．【答案】24【分析】先根據(jù)解出，再根據(jù)二項分布的方差公式求出，再計算即可.【詳解】由題意知：，要使最大，有，化簡得，解得，故，又，故.故答案為：24.16．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且直線與函數(shù)的圖象在上有且僅有一個交點，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到，結(jié)合直線與函數(shù)的圖象在上有且僅有一個交點，列出方程組，即可求解.【詳解】令，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，可得，因為，解得，又因為直線與函數(shù)的圖象在上有且僅有一個交點，所以，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.四、解答題17．已知是等比數(shù)列的前項和．(1)求及；(2)設(shè)，求的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由與關(guān)系求通項公式，再由等比數(shù)列的定義求解（2）由分組求和法求解【詳解】(1)①當(dāng)時，，②當(dāng)時，，由題意得，故，(2)，則，得18．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．求：(1)；(2)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；（2）由正弦定理及正弦的兩角差將問題轉(zhuǎn)化為求的范圍，再利用2倍角公式化為即可求解.【詳解】(1)因為，所以,因為，，因為.(2)由正弦定理，，因為，所以，所以，所以，所以的取值范圍是.19．已知正方體中，點E，F(xiàn)分別是棱，的中點，過點作出正方體的截面，使得該截面平行于平面．(1)作出該截面與正方體表面的交線，并說明理由；(2)求與該截面所在平面所成角的正弦值．（截面：用一個平面去截一個幾何體，平面與幾何體的表面的交線圍成的平面圖形．）【答案】(1)見解析；(2)【分析】（1）設(shè)分別是棱的中點，先通過，說明四邊形為平面圖形，再說明平面和平面，即可證明平面平面；（2）將與該截面所在平面所成角的正弦值，轉(zhuǎn)化為與平面所成角的正弦值，求出平面的法向量，按照線面角的夾角公式即可求解.【詳解】(1)設(shè)分別是棱的中點，順次連接，則四邊形即為所求的截面.理由如下：因為點分別是棱的中點，故，又，所以，而兩平行直線確定一個平面，所以四邊形為平面圖形.因為點分別是棱的中點，故，又平面，平面，所以平面.因為，所以，又不共線，所以，又平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面平面.(2)易知與該截面所在平面所成角的正弦值，即與平面所成角的正弦值.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，故，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，又，所以，故與平面所成角的正弦值為，即與該截面所在平面所成角的正弦值為.20．已知有一道有四個選項的單項選擇題和一道有四個選項的多項選擇題，小明知道每道多項選擇題均有兩個或三個正確選項．但根據(jù)得分規(guī)則：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．這樣，小明在做多項選擇題時，可能選擇一個選項，也可能選擇兩個或三個選項，但不會選擇四個選項．(1)如果小明不知道單項選擇題的正確答案，就作隨機猜測．已知小明知道單項選擇題的正確答案和隨機猜測的概率都是，在他做完單項選擇題后，從卷面上看，在題答對的情況下，求他知道單項選擇題正確答案的概率．(2)假設(shè)小明在做該道多項選擇題時，基于已有的解題經(jīng)驗，他選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知該道多項選擇題只有兩個正確選項，小明完全不知道四個選項的正誤，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇．記表示小明做完該道多項選擇題后所得的分?jǐn)?shù)．求：（i）；（ii）的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)；(2)（i）；（ii）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【分析】（1）先通過全概率公式求出題目答對了的概率，再通過條件概率計算答對的情況下，知道單項選擇題正確答案的概率即可；（2）依次計算的概率，列出分布列計算期望即可.【詳解】(1)記事件A為“題目答對了”，事件B為“知道正確答案”，則由全概率公式：，所求概率為.(2)設(shè)事件表示小明選擇了個選項，，表示選到的選項都是正確的.則，，.（i）；（ii）隨機變量的分布列為025.21．在平面直角坐標(biāo)系中，動點到點的距離比到直線的距離小2．(1)求的軌跡的方程；(2)設(shè)動點的軌跡為曲線，過點作斜率為，的兩條直線分別交于M，N兩點和P，Q兩點，其中．設(shè)線段和的中點分別為A，B，過點作，垂足為．試問：是否存在定點，使得線段的長度為定值．若存在，求出點的坐標(biāo)及定值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在定點，使得線段的長度為定值2；理由見解析【分析】（1）根據(jù)動點G到點的距離比它到直線的距離小2和拋物線的定義可知點G的軌跡是以為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，進而得出結(jié)果；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，求得A，B的坐標(biāo)，從而表示出AB的方程，說明其過定點，由可說明點D點在一個圓上，由此可得結(jié)論.【詳解】(1)由題意可得動點到點的距離比到直線的距離小2，則動點到點的距離與到直線的距離相等，故G的軌跡是以為焦點，以直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)拋物線方程為，則焦準(zhǔn)距，故的軌跡的方程為：；(2)由題意，直線MN的方程為，由題意可知，由，消去y得：，，設(shè)，則，故，同理可求得，所以直線AB的斜率，故直線AB的方程為：，故直線AB過定點，設(shè)該點為,又因為，所以點D在以EF為直徑的圓上，由于,,故以EF為直徑的圓的方程為，故存在定點，使得線段的長度為定值2.【點睛】本題考查了拋物線方程的求解以及直線和拋物線的位置關(guān)系中的定點問題，綜合性較強，解答時要注意設(shè)直線方程并和拋物線方程聯(lián)立,利用很與系數(shù)的關(guān)系進行化簡，關(guān)鍵是解題思路要通暢，計算要準(zhǔn)確，很容易出錯.22．已知函數(shù)．(1)若，，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，試討論在內(nèi)零點的個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)(2)若，在內(nèi)無零點；若，在內(nèi)有且僅有1個零點，證明見解析.【分析】(1)求導(dǎo)，然后，分別討論，和時的單調(diào)性即可.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，分別討論，和時零點的個數(shù).【詳解】(1)①若，當(dāng)時，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，可見，符合題意.②若，當(dāng)時，；當(dāng)時，，.可見，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，且時取等號.所以在上單調(diào)遞增，所以，.所以符合題意.③若，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，在上單調(diào)遞增，又，，由零點存在定理及的單調(diào)性，存在唯一的，使得.當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，.可見，不符合題意.綜上，的取值范圍是(2)①若，由(1)，時，，在內(nèi)無零點.當(dāng)時，，，，又由單調(diào)遞增，則