山東省淄博市高三三模數(shù)學(xué)試題

2022屆山東省淄博市高三三模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解分式不等式化簡集合A，再利用補集、交集的定義計算作答.【詳解】，，所以.故選：A.2．已知條件直線與直線平行，條件，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行的條件分析判斷【詳解】當(dāng)直線與直線平行時，，解得，當(dāng)時，直線與直線重合，所以是的既不充分也不必要條件，故選：D3．已知拋物線的準(zhǔn)線被圓所截得的弦長為，則（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】有幾何關(guān)系，圓與拋物線交點的坐標(biāo)與圓半徑滿足勾股定理，可求得準(zhǔn)線，即可求得p【詳解】由題，圓與拋物線都關(guān)于x軸對稱，故所截得的弦AB與x軸垂直，圓心為原點，圓半徑為2，則有，解得，故，得，故選：C4．若球的半徑為，一個內(nèi)接圓臺的兩底面半徑分別為和（球心在圓臺的兩底面之間），則圓臺的體積為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知求出圓臺的高，然后代入圓臺體積公式得答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，，則，，圓臺的高為，圓臺體積為．故選：A．5．如圖在中，，為中點，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出平面向量的數(shù)量積；【詳解】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，又，，，則，即，即，則，則，，則；故選：C．6．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二倍角公式，兩角和的正弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】，，，或，由平方可得，即，由平方可得，即，因為，所以，，綜上，.故選：C7．已知正項等比數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列．若存在兩項使得，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件及等差中項的性質(zhì)可得，結(jié)合可得，再應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)，即，又為正項等比數(shù)列，所以，，由，則，即，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，滿足，所以的最小值為2.故選：B8．正邊形內(nèi)接于單位圓，任取其兩個不同頂點、，則的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可得，計算出滿足條件的向量的取法種數(shù)，結(jié)合古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】，可得，因為，所以，，對于任意給定的向量，滿足條件的向量的取法有，因此，的概率為.故選：B.二、多選題9．已知矩形中，．若矩形的四個頂點中恰好有兩點為雙曲線的焦點，另外兩點在雙曲線上，則該雙曲線的離心率可為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】對雙曲線的焦點進(jìn)行分類討論，求出、的值，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】分以下三種情況討論：①若、兩點在雙曲線上，則，由勾股定理可得，由雙曲線的定義可得，此時，雙曲線的離心率為，同理，若、兩點在雙曲線上，則；②若、兩點在雙曲線上，則，，由雙曲線的定義可得，此時，雙曲線的離心率為，同理，若、兩點在雙曲線上，則；③若、兩點在雙曲線上，則，由雙曲線的定義可得，此時，雙曲線的離心率為，同理，若、兩點在雙曲線上，則.故選：ACD.10．已知復(fù)數(shù)，滿足，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．C．若，則 D．【答案】BD【分析】對選項A，C，利用特殊值法即可判斷A，C錯誤，對選項B，根據(jù)復(fù)數(shù)模長的性質(zhì)即可判斷B正確，對選項C，根據(jù)復(fù)數(shù)模長公式即可判斷D正確.【詳解】對選項A，設(shè)，，則，，，不滿足，故A錯誤.對選項B，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)表示的向量分別為，且，當(dāng)方向相同時，，當(dāng)方向不相同時，，綜上，故B正確.對選項C，設(shè)，，，，故C錯誤.對選項D，設(shè)，，，，則，，故D正確.故選：BD11．甲箱中有個紅球，個白球和個黑球，乙箱中有個紅球，個白球和個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別以和表示由甲箱取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，以表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件相互獨立 B．C． D．【答案】BD【分析】由題設(shè)求出、，利用條件概率公式、全概率公式判斷B、C、D，根據(jù)是否相等判斷事件的獨立性.【詳解】由題意，，，先發(fā)生，此時乙袋有5個紅球，3個白球和3個黑球，則，先發(fā)生，此時乙袋有4個紅球，4個白球和3個黑球，則，先發(fā)生，此時乙袋有4個紅球，3個白球和4個黑球，則，所以，B正確；，，，C錯誤；則，，，A錯誤；，D正確.故選：BD12．已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對稱B．C．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若函數(shù)在區(qū)間上的解析式為，則在區(qū)間上的解析式為【答案】BC【分析】利用函數(shù)的對稱性可判斷A選項；利用已知條件結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可判斷B選項；利用函數(shù)周期性可判斷C選項；設(shè)，利用【詳解】對于A選項，因為，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，A錯；對于B選項，因為且函數(shù)為偶函數(shù)，所以，可得，所以，，所以，對任意的，，B對；對于C選項，因為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對；對于D選項，當(dāng)時，，，所以，，D錯.故選：BC.三、填空題13．若，則___________．【答案】【分析】根據(jù)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式列出方程求解即可.【詳解】因為，所以，即，解得.故答案為：714．設(shè)．若，則__________．【答案】【分析】由分段函數(shù)各區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)有且，即可求結(jié)果.【詳解】由在上遞增，在上遞增，所以，由，則，故，可得.故答案為：15．設(shè)隨機變量，滿足．若，則_____．【答案】【分析】由題設(shè)有求出參數(shù)，再由二項分布方差公式求，最后根據(jù)方差的性質(zhì)求.【詳解】由，故，則，所以，則，而，則.故答案為：四、雙空題16．已知我國某省二、三、四線城市數(shù)量之比為．年月份調(diào)查得知該省二、三、四線城市房產(chǎn)均價為萬元/平方米，方差為．其中三、四線城市的房產(chǎn)均價分別為萬元/平方米，萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為，則二線城市房產(chǎn)均價為_________萬元/平方米，二線城市房價的方差為________【答案】

【分析】根據(jù)平均值及方差的定義列方程求解即可.【詳解】設(shè)二線城市房產(chǎn)均價為，方差為，因為二、三、四線城市數(shù)量之比為，二、三、四線城市房產(chǎn)均價為萬元/平方米，三、四線城市的房產(chǎn)均價分別為萬元/平方米，萬元/平方米，所以，解得（萬元/平方米），由題意可得，解得，故答案為：2；29.9.五、解答題17．已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點和最低點間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記的內(nèi)角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）應(yīng)用降冪公式及輔助角公式可得，根據(jù)相鄰的最高、最低點距離、勾股定理求得，即可得解析式.（2）由已知有，根據(jù)及三角形面積公式可得，再應(yīng)用余弦定理求，進(jìn)而可得的長．【詳解】(1)因為，設(shè)函數(shù)的周期為，由題意，即，解得，所以.(2)由得：，即，解得，因為，所以，因為的平分線交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，，而，得，因此.18．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，等比中項，列出方程求出公差、首項即可得解；（2）由（1）求出，根據(jù)錯位相減法求和即可.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，整理得，

因為，，成等比數(shù)列，所以，解得（舍去），或，又由，解得，，滿足條件，故．(2)由（1）得，所以，

所以，所以，則，兩式相減得：.所以.19．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程元旦期間，某轎車銷售商為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種.方案一：每滿萬元，可減千元；方案二：金額超過萬元（含萬元），可搖號三次，其規(guī)則是依次從裝有個幸運號、個吉祥號的一號搖號機，裝有個幸運號、個吉祥號的二號搖號機，裝有個幸運號、個吉祥號的三號搖號機各搖號一次，其優(yōu)惠情況為：若搖出3個幸運號則打折，若搖出個幸運號則打折；若搖出個幸運號則打折；若沒搖出幸運號則不打折.（1）若某型號的車正好萬元，兩個顧客都選擇第二種方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友看中了一款價格為萬的便型轎車，請用所學(xué)知識幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.【答案】(1).(2)選擇第二種方案更劃算.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件可得若選擇方案二優(yōu)惠，即至少有一次摸出的是幸運球，其對立事件是三次都沒有摸出幸運球，其概率為，那么兩個人至少有一個人選擇方案二優(yōu)惠的概率為；（2）選擇方案一的價格為（萬元），選擇方案二，先列出付款金額的分布列，求的期望，然后再比較.試題解析：（1）選擇方案二方案一更優(yōu)惠，則需要至少摸出一個幸運球，設(shè)顧客不打折即三次沒摸出幸運球為事件，則，故所求概率．

（2）若選擇方案一，則需付款（萬元）．

若選擇方案二，設(shè)付款金額為萬元，則可能的取值為，，，，

故的分布列為67810所以（萬元）（萬元），所以選擇第二種方案根劃算．20．已知如圖，在多面體中，，，為的中點，，，平面．(1)證明：四邊形為矩形；(2)當(dāng)三棱錐體積最大時，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）依題意可得且，從而得到四邊形為平行四邊形，由線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到，即可得到平面，從而得到，即可得證；（2）由（1）可得利用基本不等式求出三棱錐體積最大值，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；【詳解】(1)解：因為，，為的中點，所以，且，又因為，所以，因為，所以四邊形為平行四邊形，因為平面，平面，所以，所以，因為，平面，所以平面，平面，所以，所以四邊形為矩形．(2)解：由（1）可知，平面，平面，平面，所以，，所以三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，據(jù)（1），以為坐標(biāo)原點，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．由已知可得下列點的坐標(biāo)：，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以平面的一個法向量為，

因為是平面的法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．21．如圖，已知橢圓的離心率，由橢圓的四個頂點圍成的四邊形的面積為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為橢圓的右頂點，過點且斜率不為的直線與橢圓相交于點（點在之間），若為線段上的點，且滿足，證明：．【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于的方程，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理證得點在直線上，從而可得出結(jié)論.【詳解】(1)由題設(shè)可知，，即，因為，，所以，，

所以，，，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)由（1）可知，設(shè)直線的方程為，其與橢圓的交點為，聯(lián)立，得，

，即，所以，，設(shè)點，因為，所以，即，所以所以，，因為點在直線上，因為直線垂直平分線段，所以，即，因為為的一個外角，所以【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．已知，為函數(shù)的兩個零點，，曲線在點處的切線方程為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)當(dāng)時，比較與的大?。?2)若，且，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由點斜式求切線方程，作差即可比較大小；（2）先求出曲線在點處的切線方程，作差后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值為0，可得，設(shè)的正根為，可得，再利用放縮法求證即可.【詳解】(1)令，因為所以函數(shù)的兩個零點分別是，，，所以，所以曲線在點處的切線方程為，所以，若，則，即．(2)，所以，所以曲