高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例圓的方程

25圓的方程教材分析圓是學(xué)生比較熟悉的曲線，在初中幾何課中就已學(xué)過圓的定義及性質(zhì)．這節(jié)主要是用坐標(biāo)的方法畫圓———建立圓的方程．首先是根據(jù)圓的定義，建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而研究圓的一般方程，并在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用坐標(biāo)法，探討直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．由于圓是一種對(duì)稱、和諧的圖形，有很多優(yōu)美的幾何性質(zhì)，因此，在運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的同時(shí)，充分利用了圓的幾何性質(zhì)．這節(jié)課的重點(diǎn)是圓的兩種方程的求法及互化，直線與圓位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系的判定與求解．難點(diǎn)是對(duì)待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合等方法的理解及靈活應(yīng)用．教學(xué)目標(biāo)1.理解和掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，并會(huì)熟練地進(jìn)行方程的互化，能根據(jù)條件靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒ńA的方程．2.在直線的方程、圓的方程的基礎(chǔ)上，用代數(shù)、幾何兩種方法研究直線與圓的位置關(guān)系．3.初步學(xué)會(huì)用待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法解決與圓有關(guān)的一些簡(jiǎn)單問題．4.能應(yīng)用圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析、解決實(shí)際問題的能力．任務(wù)分析圓是學(xué)生比較熟悉的一種曲線，建立圓的方程也比較容易．學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)根據(jù)問題條件，靈活適當(dāng)?shù)剡x取方程形式，否則，可能導(dǎo)致解題過程過于煩鎖．在解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題時(shí)，要盡可能挖掘、應(yīng)用關(guān)于圓的隱含條件，要注意數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法的應(yīng)用．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境圓是最完美的曲線，它是平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．定點(diǎn)是圓心，定長(zhǎng)是半徑．在平面直角坐標(biāo)系中，怎樣用坐標(biāo)的方法刻畫圓呢？［問題］河北省趙縣的趙州橋，是世界著名的古代石拱橋，也是造成后一直使用到現(xiàn)在的最古老的石橋．趙州橋的跨度是37.02m，圓拱高約為7.2m．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，寫出這個(gè)圓拱所在的圓的方程．解析：要求圓的方程，只要確定圓心的位置和半徑的大小．第一步：以圓拱對(duì)的弦所在的直線為ｘ軸、弦的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系．根據(jù)平面幾何知識(shí)可知，圓拱所在圓的圓心O必在y軸上，故可設(shè)O1（0，b）．減第二步：設(shè)拌圓拱所在圓集的半徑為r尤，則圓上任誕意一點(diǎn)P（壟x，y）應(yīng)均滿足O1P存＝r，即鳳完孩菠備友①債因此，只須隨確定b和r灘的值，就能檔寫出圓的方衫程．但第三步：將擱點(diǎn)B（18捏.51，0酷），C（0祝，7.2）醋分別代入流①卵，得解得份故趙州橋圓丸拱所在的圓褲的方程為x能2歪＋（y＋2受0.19）姜2因＝750.豪21．等二、建立模她型蜜（1）一般豪地，設(shè)點(diǎn)P網(wǎng)（x，y）幣是以C（a哲，b）為圓允心、r為半酷徑的圓上的陵任意一點(diǎn)，顯則CP＝r慕．弱由兩點(diǎn)間的決距離公式，妻得律，禮喊寸治慕①杠即（x－a億）律2橋＋（y－b飼）壘2禿＝r絮2姑．章反過來，若晌點(diǎn)P劣1褲的坐標(biāo)（x仙1斧，y禿1仁）是方程按①跳的解，具則（x校1帝－a）鹿2女＋（y攏1富－b）話2跨＝r薄2腿，即架這說明點(diǎn)P茅1療（x慕1悔，y艘1擱）在以C（卸a，b）為尊圓心、r為便半徑的圓上朵．沉結(jié)論：方程特（x－a）灘2德＋（y－b題）境2車＝r悄2滾叫作以（a炭，b）為圓言心、r為半程徑的圓的標(biāo)珠準(zhǔn)方程．瞇特別地，當(dāng)跪圓心為原點(diǎn)屆O（0，0懶）時(shí)，圓的緞方程為x貨2堅(jiān)＋y寶2始＝r孩2雪．遠(yuǎn)三、解釋應(yīng)櫻用（1）缺［例題］趁河1.已知柜兩點(diǎn)M（4卷，9），N者（2，6）蒼，求以MN關(guān)為直徑的圓揚(yáng)的方程．妥分析：先利魚用兩點(diǎn)間距腦離公式求出鉛半徑r，然懸后分別將兩固點(diǎn)的坐標(biāo)代宗入圓的標(biāo)準(zhǔn)國(guó)方程，解方尖程組求出a未，b．廈2.已知詳動(dòng)點(diǎn)M（x腹，y）與兩菊個(gè)定點(diǎn)O（測(cè)0，0），捎A（3，0辣）的距離之塵比為1捐∶罰2灘，那么點(diǎn)M陪的坐標(biāo)應(yīng)滿助足什么關(guān)系洋？請(qǐng)你根據(jù)坑這個(gè)關(guān)系，硬猜想動(dòng)點(diǎn)M宮的軌跡方程簡(jiǎn)．盜解：根據(jù)題插意，得珍即x骨2紫－2x＋y偵2光－3＝0，也猾隊(duì)汪鈔啟醉形晉①禽變形，得（鹽x－1）臣2身＋y維2榜＝4．視姥賽栗肥磨被擊②痕由方程秋①逗通過配方化驗(yàn)為控②涂，可知?jiǎng)狱c(diǎn)蒙M的軌跡是循以（1，0灶）為圓心、皆2為半徑的盤圓．匠思考：方程揮x叔2奸＋y刺2簡(jiǎn)＋Dx＋E緩y＋F＝0并是否都表示吩圓呢？［練習(xí)］截寫出滿足下五列條件的圓皆的方程．羨（1）圓心防在原點(diǎn)，半切徑為５．車（2）圓心講在C（6，宋－2），經(jīng)仰過點(diǎn)P（5閉，1）．屠思考：點(diǎn)P述（x涂0峽，y歸0脹）與（x－慚a）湖2裹＋（y－b院）藍(lán)2退＝r閃2麗位置關(guān)系的移判斷方法是暢什么？濁四、建立模瞇型（2）臭將方程x別2怒＋y救2果＋Dx＋E幫y＋F＝0排配方，得摔，與圓的標(biāo)絞準(zhǔn)方程比較逝，可知限（1）當(dāng)D撐2申＋E膚2透－話4F粉＞0時(shí)，方哈程x松2深＋y播2染＋Dx＋E的y＋F＝0厚表示以（－郊，－朋）為圓心、差以是為半徑的圓牙．卻（2）當(dāng)D鳴2濫＋E疑2錢－警4F爐＝0時(shí)，方鑼程x庫2娛＋y矛2頌＋Dx＋E籠y＋F＝0臟只有一個(gè)解貴，表示一個(gè)厲點(diǎn)（－蓬，－征）.暖（3）當(dāng)D樸2懼＋條E丹2扒－科4F榴＜0時(shí)，方他程x導(dǎo)2蹤＋y毯2賭＋Dx＋E狀y＋F＝0開無實(shí)數(shù)解，描不表示任何露圖形．告結(jié)論：方程庭x笨2跳＋y礦2賣＋Dx＋E打y＋F＝0秀，（D虛2妻＋E揭2展－醬4F蹲＞0）叫作蝴圓的一般方維程．主思考：（1淺）圓的標(biāo)準(zhǔn)返方程與一般叮方程的特點(diǎn)延．嘉圓的標(biāo)準(zhǔn)方撥程的優(yōu)點(diǎn)在英于它明確地圖指出了圓心譜及半徑，而合一般方程突麻出了方程形賴式上的特點(diǎn)?。簒鐵2蒼，y鉆2臭的系數(shù)相同崇且不等于0躬，沒有xy貫這樣的項(xiàng)，疫是特殊的二位元一次方程戶．論（2）探討腥一般的二元筐一次方程：默Ax她2攻＋Cy攝2透＋Bxy＋淹Dx＋Ey誤＋F＝0表逝示圓的充要娛條件．誤Ax劣2虹＋Bxy＋掘Cy相2區(qū)＋Dx＋E令y＋F＝0盒表示圓的充引要條件為A月＝C≠0，柳B＝0且D映2梅＋E野2裁－盤4F咳＞0．像五、解釋應(yīng)熱用（2）［例題］獅1.求過沾三點(diǎn)O（0桂，0），M福1瘡（1，1）胖，M2（4送，2）的圓貓的方程，并味求這個(gè)圓的窯半徑和圓心痛坐標(biāo)．磚分析：確定稻圓的一般方貞程，只要確傘定方程中三宗個(gè)常數(shù)D，槍E，F(xiàn)，為最此，用待定料系數(shù)法．沙解：設(shè)所求瘡的圓的方程品為x橫2填＋y療2暖＋Dx＋E腹y＋F＝0足．噸因?yàn)镺，M鐮1樸，M封2幻在圓上，所賺以它們的坐盲標(biāo)是方程的涂解．把它們石的坐標(biāo)依次偵代入上面的籮方程，得層于是，得到舊所求圓的方誘程：x站2照＋y振2壯－8x＋6陣y＝0．苦由前面的討央論可知，所問求的圓的半板徑度，圓心坐標(biāo)化是（4，－蘿3）．落思考：本題侵能否利用圓啞的標(biāo)準(zhǔn)方程瞞求解？有無嚼其他方法？徹2.已知甜隧道的截面嗎是半徑為化4m邀的半圓，車島輛只能在道齡路中心線一男側(cè)行駛．問塘：一輛寬為茄2.7m遠(yuǎn)、高為雕3m村的貨運(yùn)車能糠不能駛?cè)脒@父?jìng)€(gè)隧道？德解：以某一議截面半圓的籮圓心為坐標(biāo)甘原點(diǎn)，半圓振的直徑AB腥所在的直線牛為x軸，建沿立直角坐標(biāo)園系如圖25痛.2，那么決半圓的方程睬為x妙2癥＋y籍2者＝16，（本y≥0）．拒將x＝2.途7代入，得袍即離中心線夏2.7m熊處，隧道的弄高度低于貨媽車的高度．普因此，貨車蘿不能駛?cè)脒@驅(qū)個(gè)隧道．但思考：假設(shè)儲(chǔ)貨車的最大戰(zhàn)寬度為am湯，那么貨車畏要駛?cè)朐撍硎镜?，限高至定少為多少米姓？［練?xí)］份1.求經(jīng)樓過三點(diǎn)A（嫌－1，5）陣，B（5，滋5），C（踢6，2）的通圓的方程．廣2.求過后兩點(diǎn)A（3騾，1），B齊（－1，3沃）且圓心在擋直線3x－肌y－2＝0載上的圓的方螺程．精六、拓展延寶伸產(chǎn)1.自點(diǎn)潑A（－1，寄4）作圓（仍x－2）秘2其＋（y－3蘋）貓2芒＝1的切線巴，求切線l貿(mào)的方程．妖思考：（1參）當(dāng)點(diǎn)Ａ的朽坐標(biāo)為（2網(wǎng)，2）或（吧1，1）時(shí)智，討論該切懼線l與圓的錄位置關(guān)系分編別有什么變豪化？竿（2）如何井判定直線與瞎圓的位置關(guān)介系的判定方松法．炭直線與圓的浙位置關(guān)系的炕判定常用兩感種方法：鍋幾何法和代懼?jǐn)?shù)法．若直出線l的方程概為Ax＋B真y＋C＝0食，圓C的方艦程為（x－慧a）在2績(jī)＋（y－b踢）吧2允＝r烏2吹．①幾何法渾設(shè)圓心（a王，b）到直拍線l的距離脊為d，則亡d＞ｒ萍l與c相離稈；臟d＝r藏l與c相切愁；肌d＜r門l與c相交爭(zhēng)．②代數(shù)法糟Δ＞0牽方程有兩個(gè)黨不同解睛方程組有兩權(quán)個(gè)不同解價(jià)l與C有兩妥個(gè)不同交點(diǎn)忽相交；Δ＝壇0砌相切；Δ＜游０累相離．棄2.若圓碎x屬2各＋y乳2吸＝m與圓x評(píng)2報(bào)＋y撓2絮＋6x－8倍y－11＝首0有公共點(diǎn)妨，求ｍ的取預(yù)值范圍．滅思考：如何舟判定圓與圓醫(yī)的位置關(guān)系輩．稿圓與圓的位深置關(guān)系的判辜定主要就是俯幾何法．已知，則堪d＞r絹1逗＋r裙2哄C委1僅與C雁2豆外離；守d＝r成1伴＋r賤2腫C萍1誤與C嬌2銜相外切；鍬d＝｜r胃1永－r奔2倘｜賓C拉1天與C償2蔬相內(nèi)切；野｜r命1遵－r胃2挨｜＜d＜r望1本＋r笨2吳C教1衡與C喇2篇相交；熔d＜｜r灘1驚－r爐2逗｜抽C懷1草與C傾2削內(nèi)含．墻3.畫出漫方程：｜x犬｜－1＝尊表示的曲線細(xì)．眉4.已知廣圓C：x撈2抗＋y宴2掏＝r深2表，直線l：邀ax＋by陳＝r輸2漸．當(dāng)點(diǎn)P（潮a，b）在犁圓C上、圓朗C內(nèi)和圓C制外時(shí)，分別羅研究直線l廳與C具有怎屈樣的位置關(guān)芒系．屠5.已知仇：圓滿足：弓①峰截y軸所得薦的弦長(zhǎng)為2先；乘②延被x軸分成散兩段弧，其抄弧長(zhǎng)的比為鼓3神∶幕1隊(duì)；旨③左圓心到直線親l：x－2云y＝0的距其離為撫．求該圓的啄方程．點(diǎn)評(píng)柜這節(jié)課重點(diǎn)檔研究了圓方窗程的兩種表企示形式，突繳出了利用待璃定系數(shù)法、乞幾何法來確璃定圓的方程盾，及利用圓尺