心理學(xué)考研大綱解析-心理統(tǒng)計

涔研專業(yè)耨大綱解析

片理統(tǒng)計學(xué)

心理統(tǒng)計大綱解析

一、描述統(tǒng)計

心理統(tǒng)計中常見的基本概念

7.變量及其種類

（1）變量

殛又稱隨機變量，即不斷變化的，可取不同值的量。如實驗中出現(xiàn)的自變量、因變

量與額外變量

（2）變量與數(shù)據(jù)的區(qū)別

心理統(tǒng)計學(xué)中，一旦對變量進行了觀測，或者進行了取值，這個數(shù)值也就是這個變量

的一個觀測值，即遜］,一個變量可以有無數(shù)多的數(shù)據(jù)值。

（3）變量和數(shù)據(jù)的分類

1.根據(jù)變量性質(zhì)的劃分

①名稱變量：如性別、顏色等，也稱類目變量，若屬性只有兩種結(jié)果，亦稱二分名

稱變量。其所屬數(shù)據(jù)是計數(shù)數(shù)據(jù)，即各類屬的數(shù)量。

②順序變量：按事物的某一屬性的大小或多少按順序排列起來的數(shù)據(jù)，相鄰兩個等

級的間隔是不等距的，只有等級上的差別，無單位又無絕對0點。

③等距變量：這類數(shù)據(jù)只有相等的單位，而無絕對0點，如測驗分數(shù)、溫度等。

④比率變量：又稱等比變量，是一種既有相等單位，又有絕對零點的變量，如距離、

時間、人的身高、體重等。

后三種變量的數(shù)據(jù)都是用一定的測量工具或測量標準測量時所獲得的數(shù)據(jù)，統(tǒng)稱度

量數(shù)據(jù)，

2.根據(jù)變量的連續(xù)性劃分

①連續(xù)變量：即可無限劃分的變量，如長度可劃分為千米、米、厘米、微米等

②離散變量：指測量單位間不能再細分的數(shù)據(jù)，常取整數(shù)，如名稱變量

3.根據(jù)變量間的關(guān)系劃分：即自變量、因變量與額外變量的劃分

2統(tǒng)計術(shù)語初步

困四是指具有某些共同的，可觀測特征的一類事物的全體

田園是構(gòu)成總體的基本單位或單元，又稱元素或個案

叵即從總體中抽出的一部分個體，一般30以上的樣本稱大樣本，30一下的稱小樣本

國是總體的特征量數(shù)，一般只是理論假設(shè)時存在，實際無法測量，如N（總體平均數(shù)）、

o（總體標準差）、p（總體相關(guān)系數(shù)）等

統(tǒng)訐圜則是直接從樣本計算出的量數(shù)，代表的是樣本的特征，如M（樣本平均數(shù)）、S

（樣本標準差）、r（樣本相關(guān)系數(shù)）等

（-）統(tǒng)計圖表

統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖都是對數(shù)據(jù)進行初步整理，以簡化的形式加以表現(xiàn)的兩種最簡單的方

式。在制定統(tǒng)計圖表之前，一般首先要對數(shù)據(jù)進行以下兩種初步整理：

（1）數(shù)據(jù)排序：按照某種標準，對收集到的雜亂無章的數(shù)據(jù)按照?定順序標準進行排

列，其具體方法一般有如下三種：

①順序分布法：將數(shù)據(jù)按大小排列，后用頻數(shù)f表示相同數(shù)據(jù)的出現(xiàn)次數(shù)

②等級分布法：先按順序排列數(shù)據(jù)，后以事物本身的性質(zhì)標上相應(yīng)的等級R,若

有重復(fù)等級時，應(yīng)在劃分等級時根據(jù)其實際的排序位置求平均等級

③次數(shù)分布法

（2）統(tǒng)計分組：根據(jù)被研究對象的特征，將所得到數(shù)據(jù)劃分到各個組別中去

7.統(tǒng)計畫

統(tǒng)計圖|：用點、線、面的位置、升降或大小來表達統(tǒng)計資料數(shù)量關(guān)系的一種陳列形式

組成：坐標軸、圖號、圖題、圖目、圖尺、圖形、圖例、圖注

圖形的種類：

直條圖（條形圖）和圓形圖（餅圖）都是用于繪制離散型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖

次數(shù)多邊形圖（線性圖）一直方圖是用于繪制連續(xù)型數(shù)據(jù)的統(tǒng)計圖

散點圖則是用于表示對事物相互關(guān)系的統(tǒng)計圖

此外還，莖葉圖、測量中用來表示結(jié)果的剖面圖等

2.統(tǒng)計K

統(tǒng)計表卜將要統(tǒng)計分析的事物或指標以表格的形式列出來，以代替煩瑣文字描述的一

種表現(xiàn)形式

組成：隔開線、表號、名稱、標目、數(shù)字、表注

分類：簡單表、分組表、復(fù)合表

次數(shù)分布表的編制過程與方法：

（1）求全距（Range,R）

4—Xmax-乂皿而

（2）定組數(shù)和組距

經(jīng)驗法是根據(jù)經(jīng)驗將數(shù)據(jù)分為10?20組，其中10?15組為最佳，組距一般選擇

2、3、4、5、10等

當(dāng)數(shù)據(jù)來自于一個正態(tài)分布的總體時，可以用計算法：

Z=L87(N-1)3i=%或『=(4+%；

其中i為組距，k為組數(shù)

(3)定組限

麗是指每一組的起止點

表達界限：即根據(jù)第二步人為確定的上下限

精確界限：上限or下限分別+/-0.5(或0.05、0.005)所得的界限

(4)登記與匯總

即寫出各組頻數(shù)f與總數(shù)Ef

(-)集中量數(shù)

集中量數(shù)愀表示集中趨勢的一種參數(shù)或統(tǒng)計量,反映的是頻數(shù)分布中大量數(shù)據(jù)向某一點集

中的情況。

7.算術(shù)中構(gòu)劇

(1)定義

算數(shù)平均數(shù)卜即所有觀察值的總和與總頻數(shù)之商，簡稱為平均數(shù)或均數(shù)。

n

Zx

又二上一

N

(2)特點

①在組數(shù)據(jù)中每個變量與平均數(shù)之差的總和等于零：Z(X-區(qū))=0

②在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都加上一個常數(shù)C,所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)加常數(shù)

C：

1-

一Z(Xj+C)=X+C

n

③在一組數(shù)據(jù)中，每一個數(shù)都乘以一個常數(shù)C,所得的平均數(shù)為原來的平均數(shù)乘以常

數(shù)C：

-S(X,C)=XC

n

(3)意義

算數(shù)平均數(shù)是應(yīng)用最普遍的一種集中量數(shù)，它在大多情況下是真值最好的估計值。

2中熬

(1)定義：

畫：按順序排列在一起的?組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)，在這組數(shù)據(jù)中，有一半數(shù)據(jù)

比它大，一半數(shù)據(jù)比它小，以Md或Mdn表示。

(2)算法：

①數(shù)列總個數(shù)為奇數(shù)時，第(N+D/2個數(shù)就是中數(shù)

②數(shù)列總個數(shù)為偶數(shù)時，可取位于中間的兩個數(shù)的平均數(shù)作為中數(shù)

③分布中有相等的數(shù)時，將重復(fù)的數(shù)字看成一個連續(xù)體，利用中間分數(shù)的精確上下限

使用插值法

注：有相等數(shù)數(shù)列的中數(shù)計第不容易，要自己好好摸索，我通常是采取如下方法：總個數(shù)為奇時取第(-1)/2個數(shù)的組中值:

總個數(shù)為偶時取第N/2個數(shù)的精確上限與第(N+D/2個數(shù)的精確下限的均值

3.眾熬

眾數(shù)：在次數(shù)分布中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)的數(shù)值，以Mo表示。眾數(shù)可能不只一個。

均數(shù)、中數(shù)、眾數(shù)的關(guān)系與應(yīng)用比較：

(1)關(guān)系

當(dāng)數(shù)據(jù)分布呈正態(tài)時：M=Mdn=Mo

呈偏態(tài)分布時，眾數(shù)位于峰值最高點上，中數(shù)位于均值與眾數(shù)之間，且有Mo=3Mdn-

2M

即正偏態(tài)分布時Mo<Mdn<M；負偏態(tài)分布時M<Mdn<Mo

(2)比較與應(yīng)用

?個優(yōu)良集中量應(yīng)具備以下六個條件：1.感應(yīng)靈敏；2.嚴密確定；3.意義簡明；4.容易計

算；5.適合代數(shù)法則處理以便進一步運算；6.受抽樣變動的影響較小。

三種集中量數(shù)的比較：

平均數(shù)中數(shù)眾數(shù)

1.符合優(yōu)良集中量的全部要求1.符合優(yōu)良集中量的2346條要求L符合優(yōu)良集中量的第3條要求

優(yōu)點2.便于加權(quán)處理2.少受極端值影響

3.統(tǒng)計推斷結(jié)果更可靠穩(wěn)定

1.加權(quán)平均數(shù)1.數(shù)列中有極端數(shù)值時1.粗略估計時

2.離差、相關(guān)計算，進行統(tǒng)計推斷等2.測量單位的性質(zhì)不確定時2.出現(xiàn)多峰分布時

應(yīng)用3.用于等距、等比數(shù)據(jù)3.上下端距離不確定時

4.采用百分體制時

5.用于順序量表

1.易受極端值影響1.易受抽樣偏差影響

不足

2.組距不確定時無法計算2.不適合代數(shù)運算

補充：其他集中量數(shù)

(1)幾何平均數(shù)

M?二祈以2....或1gM[

主要用于：1.一組數(shù)據(jù)中有少數(shù)數(shù)據(jù)偏大或偏小，多用于心理物理學(xué)的等距與等比量

表中：

2.一組數(shù)據(jù)彼此間變異較大，且?guī)缀跏前匆欢ū壤P(guān)系變化時。

(2)調(diào)和平均數(shù)

多用于描述速度方面的集中趨勢

(三)差異量數(shù)

7.離爰易華的差

還：分布中的某點到均值得距離,其符號表示了某分數(shù)與均值之間的位置關(guān)系，而數(shù)

值表示了它們之間的絕對距離。

x=X

一數(shù)列中所有數(shù)的離差之和始終為零，因此不同數(shù)據(jù)間差異無法用離差來比較。

平均差卜次數(shù)分布中所有原始數(shù)據(jù)與平均數(shù)絕對離差的平均值。

A。.小叫

n

缺點：進行了絕對值處理，無法進行下步代數(shù)運算

2.方差易標題差

由于離差正負值互相抵消無法代表離中趨勢，我們引入和方的概念

亞：每一個離差值平方求和

(1)總體的方差和標準差

gg:每個數(shù)據(jù)與該組數(shù)據(jù)平均數(shù)之差乘方后的均值，即離均差平房后的均數(shù)

作為樣本統(tǒng)計量用符號-表示，作為總體參數(shù)用符號群表示，也叫均方。

標準差|:方差的平方根

作為樣本統(tǒng)計量用符號S表示，作為總體參數(shù)用符號G表示。

a=

(2)樣本的方差和標準差

樣本的變異性往往比它來自的總體的變異性要小。為了校正樣本數(shù)據(jù)帶來的偏差，在計

算樣本方差時，我們用自由度來矯正樣本誤差，從而有利于對總體參數(shù)更好的無偏差估計：

方差、標準差的合成：S；=ZMS,+ZM%N其中d=(%-無)

(3)性質(zhì)

①每一個觀測值都加一個相同的常數(shù)C之后，計算得到的標準差等于原來的標準差

②每一個觀測值都乘以一個相同的常數(shù)C,所得到的標準差等于原標準差乘以這個常數(shù)

(4)意義

方差與標準差是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的最好指標，它們是統(tǒng)計描述與統(tǒng)計推斷分析中

最常用的差異量數(shù)

8變異系劇

當(dāng)遇到下列情況時，不能用絕對差異量來比較不同樣本的離散程度，而應(yīng)當(dāng)使用相對差

異量數(shù)，最常用的就是變異系數(shù)。

①兩個或兩個以上樣本所使用的觀測工具不同,所測的特質(zhì)相同

②兩個或兩個以上樣本使用的是同種觀測工具，所測的特質(zhì)相同，但樣本間水平差異較

大

變異系數(shù)|：一種最常用的相對■差異量，為標準差對平均數(shù)的百分比

使用變異系數(shù)時應(yīng)注意：①所用數(shù)據(jù)應(yīng)都是等比數(shù)據(jù)：②只能用于描述，不可進行統(tǒng)計推論。

各種差異量數(shù)間的比較：

方差與標準差全距平均差

1.感應(yīng)靈敏1意.義簡明1意.義簡明

2嚴.密確定2.計算簡單2.計算簡單

優(yōu)點

3.適合代數(shù)法則處理3.嚴密確定

4.受抽樣變動影響小

1.原理難理解，計算復(fù)雜1.極易受極端值影響1.易受極端值影響

缺點2受.極端值影響較大2.無法反映全部數(shù)據(jù)的差異2.不適合代數(shù)運算

情況

1.反映數(shù)據(jù)離散程度使用價值很小少用

應(yīng)用

2.進行推論統(tǒng)計和檢驗

3.用于判斷數(shù)據(jù)可否舍棄

4.計算CV、Z和標準誤

(四)相對量數(shù)

1.節(jié)令俄熬

百分位數(shù)在整個分布中，在某一值之下或等于該值的分數(shù)的百分比所對應(yīng)的分數(shù)，實

質(zhì)上就是在某個百分位置上的數(shù)值。

第P百分位數(shù)就是指，在某值為P的數(shù)據(jù)以下，包括分布中全部數(shù)據(jù)的P%。

2節(jié)今等旗

|百分等級卜常模團體中低于該分數(shù)的人所占總體的百分比:痣=100—l0°R-50

------------N

其中R為某一原始分數(shù)在按大小排列的數(shù)列中的名次

百分等級的應(yīng)用：1.建立百分等級常模；2.衡量考績的優(yōu)劣；3.比較群體間成績的優(yōu)劣。

3,春摩今熬

(1)定義

標準分數(shù)|：以標準差為單位表示一個原始分數(shù)在團體中所處位置的相對位置量數(shù)，也叫

z分數(shù)，表示原始分數(shù)在平均數(shù)以上或以F幾個標準差的位置。

Z口

S

(2)性質(zhì)

①Z分數(shù)無實際單位，是以平均數(shù)為參照點，以標準差為單位的一個相對量

②組原始分數(shù)轉(zhuǎn)換得到的Z分數(shù)可正可負，其分布形狀與為轉(zhuǎn)換前的原始分布相同

③原始數(shù)據(jù)的Z分數(shù)分布標準差均為1

④若原始分數(shù)呈正態(tài)分布，則轉(zhuǎn)換得到的均值為0,標準差為1的標準正態(tài)分布

(3)應(yīng)用

①比較不同測量單位時變量值的相對位置

②計算不同質(zhì)的觀測值得總合或平均值，以表示在團體中的相對位置

③異常值的取舍(通常在一個正態(tài)分布中，若一個數(shù)據(jù)的取值落在±3。之外，則在整理

數(shù)據(jù)時可將此數(shù)據(jù)作為異常值舍棄)

學(xué)習(xí)忖需要記憶幾個經(jīng)典Z分數(shù)及其對應(yīng)的百分比值：1S=34.14%；2s=47.72%；

3s=49.875%；1.64S=45%；1.96S=47.5%;2.33S=49%；2.58S=49.5%

(4)導(dǎo)出分數(shù)

導(dǎo)事分數(shù)|便是為克服Z分數(shù)的某些不足而對其進行線性變換所得的分數(shù)，其轉(zhuǎn)換形式為

Z，=aZ+b,轉(zhuǎn)換后分布均值為b,標準差為a。

幾種常見的導(dǎo)出分數(shù)：

正態(tài)化標準分數(shù)：T=10Z+50

注：分數(shù)分布的轉(zhuǎn)換有兩種，一種是正態(tài)化轉(zhuǎn)換，即根據(jù)原始分數(shù)計算出百分等級，再

查正態(tài)分布表得到每個數(shù)據(jù)的P值，由此將整個分布轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布，這是一種非線性轉(zhuǎn)換;

另一種即是由Z分數(shù)經(jīng)公式直接轉(zhuǎn)換為T分數(shù)，這就是線性轉(zhuǎn)換了,若不經(jīng)正態(tài)化，其分數(shù)

分布仍與原始分數(shù)的分布形態(tài)一致。一組非正態(tài)數(shù)據(jù)若要轉(zhuǎn)換為正態(tài)化標準分數(shù)，則同時需

要以上兩步轉(zhuǎn)換過程。

韋氏成人智力量表：IQ=15Z+100比奈一西蒙量表：Z，=16Z+100

(五)相關(guān)量數(shù)

由于實驗法適用范圍的限制，有的時候我們只能對變量間進行相關(guān)研究，也就是看兩者是否

有互相跟隨的變化關(guān)系。相關(guān)研究所得到的是一種描述統(tǒng)計，我們僅僅能用其描述兩個變量

互相跟隨的程度大小，至于他們之間是否有因果關(guān)系或者是共變關(guān)系則不可妄下定論。

相關(guān)系數(shù)|：兩列變量間相關(guān)程度的數(shù)字表現(xiàn)形式

作為樣本的統(tǒng)計量用r表示，作為總體參數(shù)一般用p表示。

正相關(guān)：兩列變量變動方向相同

負相關(guān)：兩列變量中有一列變量變動時，另一列變量呈現(xiàn)出與前一列變量方向相

反的變動

零相關(guān)：兩列變量之間沒有關(guān)系，各自按照自己的規(guī)律或無規(guī)律變化

測定系數(shù)|：相關(guān)系數(shù)的平方，用以說明兩列變量的變異中,方能由另一方解釋的程度。如

兩組數(shù)據(jù)間相關(guān)為0.8,那么我們可以說當(dāng)以A來預(yù)測B的變化趨勢時，64%是

正確的。

使用相關(guān)系數(shù)時應(yīng)注意：①相關(guān)系數(shù)受樣本量n影響，n最好不小于30；②相關(guān)系數(shù)不是等

距數(shù)據(jù)；③計算相關(guān)要求成對數(shù)據(jù)：④相關(guān)可能是線性也可能是非

線性。

7.積爰相關(guān)

積差相關(guān)是直線相關(guān)中最基本的方法,由英國統(tǒng)計學(xué)家提出，因此也叫Pearson相關(guān)，

用r*y表示，

廿.、.由目X和其同變化的程度和的協(xié)方差

WX和備自變化的程度和咎自的方差

(1)使用前提

①數(shù)據(jù)要成對出現(xiàn)，即若干個體中每個個體都有兩種不同的觀測值，且每對數(shù)據(jù)與其它

對相互獨立

②兩列變量各自總體的分布都是正態(tài)的，至少接近正態(tài)

③兩個相關(guān)的變量是連續(xù)變量，也即兩列數(shù)據(jù)都是測量數(shù)據(jù)

④兩列變量之間的關(guān)系應(yīng)是直線性的

(2)公式

,SP工孫-ZZ'Zy

一7^＜一02.丁一口(Zx)2bm—N

2,等陽相關(guān)

等級相關(guān)是根據(jù)等級資料來研究變量間相互關(guān)系的方法，按因變量個數(shù)的多少分為用于

分析兩列

量的斯皮爾曼相關(guān)和用于分析多列變量的肯德爾等級相關(guān)

(1)適用范圍

①當(dāng)研究考察的變量為稱名數(shù)據(jù)或順序數(shù)據(jù)時

②雖是等距或等比數(shù)據(jù)，但總體分布不是正態(tài)，或者兩者間關(guān)系不是線性時

(2)公式：將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為順序型數(shù)據(jù)，后用Pearson相關(guān)公式或以下公式計算

6YD2

r=1——△——

"N(N-1)

其中D為同一個體的X和Y各自排序后的等級差，N為成對等級變量的對子數(shù)

8苛德泰等恐相關(guān)

(1)肯德爾W系數(shù)

也叫|肯德爾和諧莪,原始數(shù)據(jù)資料的獲得一般采用等級評定法,即讓K個被試對N

件事物進行

等級評定，或同一個人先后K次評定N個事物。其原理是以評價者評價的一致性除以最大

變異可能性。

N

1,,1

上片面—N)—K一N)

1212

Ri：評價對象獲得的K個等級之和N：等級評定的對象的數(shù)目K：等級評

定者的數(shù)目。

(2)肯德爾U系數(shù)

與肯德爾W系數(shù)所處理的問題相同，但評價者采用對偶比較法，即將N件事物兩兩配

對，即配成

N(N+l)/2對，分別對每對中兩事物進行比較，優(yōu)者記1,劣者記0,最后整理所有評價者

的結(jié)果。

N(〃—1>K(K—1)

身為對偶比較記錄表中i>j格中的擇優(yōu)分數(shù)。

注：U系數(shù)的取值范圍在0?1之間，為1時，意味著評分者的意見完全一致；當(dāng)U為

一((奇

數(shù))或-——(偶數(shù))時，意味著評分者意見完全相反，而U取值的正負并不表示一致的

K-\

方向。

4,點二列相關(guān)號二列相關(guān)

(1)點二列相關(guān)

適用于一列數(shù)據(jù)為正態(tài)等距變量,另一列為離散型二分變量的情況,可用于計算二分計

分題目的區(qū)分度。

Y

X。是與二分稱名變量的一個值對應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)

無，是與二分稱名變量的另一個值對應(yīng)的連續(xù)變量的平均數(shù)

p與q是二分稱名變量兩個值各自所占的比率，st是連續(xù)變量的標準差

(2)二列相關(guān)

適用于兩列變量都是正態(tài)等距變量,但.其中一列變量被人為地分成兩類。

又p_又qpq

rh--------------

y為標準正態(tài)曲線中p值對應(yīng)的高度，查正態(tài)分布表能得到

5.中相關(guān)

適用于兩個變量都是二分變量的情況，不論是真正的二分變量還是人為的分為兩類。

ad-be

Q(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)

其中a、b、c、d分別為四格表中左上、右上、左下、右下的數(shù)據(jù)(詳見卡方檢驗一章)

補充:

r的取值范圍為-iWrWl,一般認為。?±0.40為低度相關(guān)；±0.40?±0.70為中度相關(guān);

±0.70?±1.00為高度相關(guān)

對事物關(guān)系的解釋和說明并非純粹依據(jù)所計算出的相關(guān)系數(shù)來進行，因此在解釋相關(guān)關(guān)

系時應(yīng)謹慎對待：

首先，要從邏輯上判斷事物之間是否真正存在關(guān)系；其次，要注意隨著樣本容量的增大，

達到相關(guān)顯著的相關(guān)系數(shù)數(shù)值會變得越來越小；此外，還應(yīng)注意要在一定的時空范圍內(nèi)解釋

相關(guān)系數(shù)。

(若樣本量足夠大，無論什么樣的兩組數(shù)據(jù)間都必定會出現(xiàn)相關(guān)顯著，故應(yīng)用時應(yīng)考慮

清楚)

二、推斷統(tǒng)計

(一)推斷統(tǒng)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

A<4

(1)事件與概率

事件是一種數(shù)學(xué)語言，通俗地說就是事情或現(xiàn)象。大致分為確定事件、模糊事件和隨

機事件三類。

隨機事件I雖然在每次試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生,但是當(dāng)試驗次數(shù)很大時又會表現(xiàn)

出統(tǒng)計的規(guī)律性。一種隨機事件的發(fā)生次數(shù)與總試驗次數(shù)的比值就成為畫，而麗則是

隨機事件在試驗中發(fā)生可能性的程度或可能性的大小，以P表示，概率的定義有統(tǒng)計定義和

古典定義之分。

概率的統(tǒng)計定義是指通過實際試驗所得頻率來計算的概率，由于它是由實際經(jīng)驗得到

的，又稱經(jīng)驗概率;而根據(jù)問題本身所具有的理論特點直接計算的概率，則是概率的古典定

義,又稱先驗概率。

I小概率事件I是指在一次試驗中發(fā)生的可能性極小,但在大量重復(fù)試驗下終究會發(fā)生的

事件，一般認為概率小于或等于0.05的隨機事件為小概率事件。(此概念是區(qū)間估計與假設(shè)

檢驗的基礎(chǔ))

(2)概率分布及其類型

經(jīng)驗分布是根據(jù)觀察或試驗所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對頻率分布，它往往

是一個總體的樣本，故又稱樣本分布;理論分布或指數(shù)學(xué)模型,或指按某種數(shù)學(xué)模型計算出

的總體的資料分布，故又稱總體分布。

2正態(tài)今布

(1)正態(tài)分布與標準正態(tài)分布

正態(tài)分布就是中間量數(shù)次數(shù)分布多，兩端分布少，呈對稱型的概率分布。其中，平均

數(shù)N和標準差。決定著曲線的位置和形狀：。越大，曲線越是“低闊”：◎越小，曲線越是“高

窄。

標準正態(tài)分布廁是◎為1,R為0的正態(tài)分布。

(2)特點

①正態(tài)曲線的形狀就像一口掛鐘，呈對稱分布，其均值、中數(shù)、眾數(shù)實際上對應(yīng)于同

一個數(shù)值。

②大部分的原始分數(shù)都集中分布在均值附近，極端值相對而言比較少。

③曲線兩端向靠近橫軸處不斷延伸，但始終不會與橫軸向交。

④正態(tài)分布曲線轉(zhuǎn)化為z分數(shù)后人以z分數(shù)與零點對應(yīng)曲線下面積固定。

(3)用法

①依據(jù)Z分數(shù)求概率，即已知標準分數(shù)求面積。

②從概率求Z分數(shù)，即從面積求標準分數(shù)值。

③已知概率或Z值，求概率密度，即正態(tài)曲線的高。

3,二項今布

二項分布卜對于一個事件有兩種可能A和B,但我們對這一事件觀察n次，事件A發(fā)生

的總次數(shù)的概率分布就是二項分布(是一個離散型分布)

性質(zhì)：①當(dāng)p=q=n時，不論n的大小如何，二項分布曲線都是對稱的；

②prq,且n相當(dāng)小時，圖形顯偏態(tài)；

③當(dāng)n相當(dāng)大(n230)時，二項分布曲線會逐漸接近正態(tài)分布(計算上可以簡

化為p<q且np25或p>q且nq》5時，二項分布接近正態(tài)分布)。

二項分布的均值為〃

方差公式為標準差的公式為°礪

4.t臺布

一、抽樣分布理論及其定理

注意：此標題下各概念都極其重要，是以后學(xué)習(xí)統(tǒng)計推論的理論基礎(chǔ)

(1)總體分布、樣本分布與抽樣分布

總體分布總體內(nèi)個體數(shù)值的頻率分布

樣本分布卜總體中一部分個體數(shù)值的頻數(shù)分布

抽樣分布總體中可抽取的所有可能的特定容量分布的統(tǒng)it量所形成的分布(就是說

如果我們從總體里面進行很多次抽樣，每次抽樣都能得到?個分布，那么所有的每一個這樣

的分布的均值湊在一塊也會構(gòu)成一個高低錯落有致的分布，這就是抽樣分布。其他統(tǒng)計量如

方差、相關(guān)系數(shù)等亦是如此)

(2)幾個重要概念

①隨機樣本：即從總體中經(jīng)隨機抽取所得的樣本

②I抽樣誤差卜以樣本均值為例，則是樣本均值又與總體均值4間的差異。其取值范

圍為：

〃±Zo.o%,SE,

最大允許抽樣譙圄是評價抽樣結(jié)果精確度的一個指標，用d表示，通常為：

d=1.96S/。

③|標準誤|：由于抽樣研究中存在抽樣誤差，需要估計其大小，而所用的量SE.便是抽

樣分布的標準差，稱為標準誤，可用SE或6f表示。標準誤越小，說明樣本對總體的代表

性越好。

同樣以樣本均值為例，便等于刀與〃間的標準距離。

④自由度(Degreeoffreedom)：用df或n"表示，是一組數(shù)據(jù)中可以獨立自由變動

的數(shù)目。

(這個概念我們放到實驗中來理解可能更清晰些，例如有一個實驗要我們分配4名被

試，那么我們在分配前3名被試時，他們的位置都可以是自由的，比如第一位被試可以放在

1234任何一個位置上，但最后一名被試則是沒得選擇，只能放在最后那個位置，因此他是

“不自由”的，于是自由度便等于nT了。自由度的計算中，n是原有的樣本容量，而減去

的則是受限制的數(shù)目，此處乍看好像是最后??名被試受到限制了，但實際上是全體被試受到

了可分配數(shù)目的限制，也就是說自由度總是受到一些參數(shù)或統(tǒng)計量的限制，涉及的參數(shù)或統(tǒng)

計量越多，往往可以自由變動的數(shù)目，也就越少)

(3)中心極限定律

:生(我不知道這公式怎么來的，有興趣的同學(xué)可以詢問高人或查閱其他統(tǒng)計資料)

由此可得以下定律：

大數(shù)定律|：樣本容量n越大，標準誤越?。豢傮w方差越大，標準誤就越大

中心極限定律卜對于任何均值為〃，標準差為b的總體，樣本容量為n的樣本均值分

布，會隨著n趨近無窮大時趨近均值為〃，標準差為%u的正態(tài)分布。

(2)常用抽樣分布

常用的抽樣分布包括正態(tài)及漸進正態(tài)分布(樣本平均數(shù)分布)、t分布、卡方分布、F分

布等

＜一＞t分布

t分布I（學(xué)生氏分布）是由小樣本統(tǒng)計量形成的概率分布，其分布形態(tài)與方差無關(guān)而與

自由度有關(guān),很類似正態(tài)分布，我們可以將正態(tài)分布看作t分布當(dāng)自由度為正無窮時的特例。

統(tǒng)計定義：若一樣本X為標準正態(tài)分布，另一樣本Y為自由度為n的卡方分布，則隨

Y

機變量=:服從自由度為n-l的t分布。

師

總體分布為正態(tài)，方差未知時，樣本平均數(shù)的分布為t分布：

__s“ISS

%=丁=s,i=J--

7nyjn-l其中Vn-1

特點：①對稱，均值為0：

②形狀隨自由度改變，是一簇曲線；

③理論上n趨于無用時:t分布以標準正態(tài)曲線為極限；n逐漸減少時，分布離

散程度變大，

其峰頂逐漸下降，尾部抬高

@t分布t值均有對應(yīng)的p值。

應(yīng)用：①總體正態(tài)，總體方差未知,且n<30時,樣本均值分布呈t分布；

②總體呈非正態(tài),總體方差未知,n〉30時,樣本均值分布呈t分布或漸進正態(tài)

分布；

③總體方差未知時，兩樣本均值之差的分布、樣本相關(guān)系數(shù)的分布、回歸系數(shù)的

分布在一定條件下也服從t分布。

<->/分布

達分布I的構(gòu)造是從一個服從正態(tài)分布的總體中每次抽去n個隨機變量，計算其平方和之

后標準化的一個分布。

統(tǒng)計定義：幾個相互獨立的，均服從正態(tài)分布的隨機變量的平方和的分布。

2_Z（X-〃）-

X-9

b

特點：①正偏態(tài)，自由度趨近無窮大時，丁分布為正態(tài)分布；

②具有可加性（Z/是一個服從4=斫+明+……+在,的％2分布；

③/值都是正值

④力>2時，％2分布平均數(shù)=力■，方差=2df;

⑤/分布是連續(xù)性分布，但有些離散性分布也服從X2分布。

應(yīng)用：計數(shù)數(shù)據(jù)的假設(shè)檢驗，樣本方差與總體方差的一致性檢驗等。

$3今布

如果有兩個正態(tài)分布的總體，我們從其中各自取出兩個樣本，各自計算出F，貝IJ：

統(tǒng)計定義：設(shè)有兩個總體X、Y,分布符合自由度分別為7和M的％2分布，且X與Y

X

相互獨立，則隨機變量尸=」^服從第一自由度為第二自山度為I?的F分布

Y/n2

將%2公式代入以上定義式，分析可知F比率其實為樣本方差各除以其總體方差的比率,

而如果我們所計算的F兩樣本取自相同總體，即b：=b；,則上式可化簡為：

特點：①正偏態(tài)，隨，伉與必的增大而趨向正態(tài)分布；

②F總為正值；

③當(dāng)分子自由度為1時，F(xiàn)值與分母自由度相同t值（雙側(cè)）的平方相等，即

應(yīng)用：總體方差齊性檢驗、多組之間均值差異檢驗等

6.科埼牛的照合布

樣本平均數(shù)分布是一種抽樣分布，服從正態(tài)或漸進正態(tài)分布

根據(jù)中心極限定律，樣本平均數(shù)分布的平均數(shù)和方差與母體的平均數(shù)和方差有如卜關(guān)

①次=〃；③〃I*2

應(yīng)用于以下情形：

1.總體呈正態(tài),總體方差已知,則樣本均值分布呈正態(tài)分布；

2.總體呈非正態(tài),總體方差已知,樣本容量n足夠大（nN30）,樣本均值分布為漸進

正態(tài)分布。

樣本的方差及標準差的分布也漸趨于正態(tài)分布，其分布的平均數(shù)與標準差和總體有如

下關(guān)系:

X.=b巴透

2

瓏=J

s2〃

7.抽樣原理星袖群方法

(1)抽樣原理

抽取樣本的基本原則是隨機性原則，即在進行抽樣時，總體中每個個體被抽選的概率

應(yīng)完全相等。由于隨機抽樣使福個個體有同等機會被抽取，因而有相當(dāng)大的可能使樣本保持

和總體有相同的結(jié)構(gòu)，或者說，具有最大的可能使總體的某些特征在樣本中得以發(fā)現(xiàn)，從而

保證由樣本推論總體。

(2)抽樣方法

<->概率抽樣方法

①簡單隨機取樣法：對整個總體進行完全隨機抽樣，通常有抽簽法與隨機數(shù)字法兩種

缺點：1.總體很大時無法使用；2.常忽略總體已有信息，降低了樣本代表性。

②系統(tǒng)隨機取樣法(等距抽樣)：把總體中所有個體按一定順序編號，后依固定間隔抽

樣

缺點：1.若總體有周期性變化，則效果不好；2.也容易忽略已有信息。

③分層隨機取樣法：根據(jù)需要將總體分層，再從各層中分別隨機抽樣，在每層中抽樣

數(shù)目可以是不同的，應(yīng)適當(dāng)考慮總體比例抽取，分層原則是層與層間變異越大越好。

分層抽樣最佳抽取人數(shù)計算：%或%*

其中此為所求該層應(yīng)抽數(shù)目；n為樣本容量；N為i層的總?cè)藬?shù)；N為總體人數(shù)；5為

i層標準差；。為總體標準差。

④多段隨機取樣法(整群抽樣)：先在第一層總體中抽取樣本群體，再在抽得的各群體

中進行隨機抽樣，適用于大規(guī)模調(diào)查。

<->非概率抽樣方法

方便抽樣：隨便抽，想怎么抽怎么抽；

判斷抽樣：通過某些條件過濾后再抽。

(二)參數(shù)估計

/.點估花、區(qū)間佶花昌標率篌

參數(shù)估計|就是根據(jù)樣本統(tǒng)計量去估計相應(yīng)總體的參數(shù)。

(1)點估計

|點估計|是直接以樣本統(tǒng)計量作為總體參數(shù)的估計值,良好點估計量有一定前提條件：

1.無偏：即樣本容量固定，統(tǒng)計量的分布的均值和被估計的參數(shù)相等；

2.二致：指樣本容量無限增多時，估計量趨于被估計參數(shù)（即所謂的數(shù)學(xué)期望）：

3.有效：當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計量不只一個時，抽樣分布方差小者較為有效；

4.充分：指一個容量為n的樣本統(tǒng)計量不充分地反映了總體的信息。

（2）區(qū)間估計

由于我們永遠無法排除抽樣誤差的存在，因此點估計不能提供正確估計的概率，因此就

需要區(qū)間估計。

區(qū)間估計|是根據(jù)估計量以一定可靠程度推斷總體參數(shù)所在的區(qū)間范圍,它是用數(shù)軸上

的一段距離來表示未知參數(shù)可能落入的范圍。總體參數(shù)可能所在的這個范圍便是置信區(qū)間，

上下端點為置信界限。置信區(qū)間表明過了區(qū)間估計的準確性。估計總體參數(shù)落在某一區(qū)間時,

可能犯錯誤的概率為|顯著性水用,用a表示，1-a為置值回或圖總理。置信度表明了區(qū)間

估計的可靠性。

區(qū)間估計的原理是樣本分布理論。進行區(qū)間估計的計算及解釋估計的正確概率時，依據(jù)

的是該樣本統(tǒng)計量的分布規(guī)律及其樣本分布的標準誤。分布提供概率解釋，而標準誤的大小

決定了區(qū)間估計的長度?標準誤越小，置信區(qū)間的長度就越短，估計就越準確，總體參數(shù)就

越應(yīng)該落入樣本統(tǒng)計量所界定的區(qū)間中，而不落在其中的概率即為顯著性水平a。

置信度與置信區(qū)間長度有一代償關(guān)系，即置信度越高，置信區(qū)間就越寬，反之，我們的

估計要求越是精確，置信區(qū)間越窄，置信度就越小，正確估計的把握就越小。

（3）估計的標準誤

標準誤卜即樣本平均數(shù)分布的標準差，其平方，即樣本均值分布的方差，則稱為變異

誤

總體方差未知時用估算的總體方差計算標準誤。

（T

%二忑

參數(shù)估計的基本步驟：①分析條件，判斷方法；

②求標準誤；

③求置信區(qū)間；

④結(jié)果解釋。

2總體不拘熬的怙奸

總體平均數(shù)的估計方法大致有三種，對比如下：

正態(tài)法（Z）t分布法近似正態(tài)法（Z'）

o-2已知,未知

條件

總體正態(tài)，n不論大小；或總體非正態(tài)，n230總體不論正態(tài)與否，n230

aSSS

標準誤%=忑

〃=X±1.96?o■又"=X±%_])005〃二X±1.96cr^

求得置信

區(qū)間

〃二X±2.58。？〃=X±%_])oo]又N=X±2.58?b?

*注：(7?未知，n<30時，必需用t分布法

3標題差S方差的區(qū)間怙花

(1)總體方差的估計

山于樣本方差與總體方差之比的分布呈％2分布，因此有：

<cr2<'、)"T(df=n-l)

X%

(2)總體標準差的估計

S

根據(jù)抽樣分布理論，n)30時，樣本標準差分布近似正態(tài)分布，且SE,(oJ=二三,

y/2n

則有：

在對標準差的總體進行估計時;可先對其方差進行估計(用％2),求得方差置信區(qū)間后,

再開平方。

(三)假設(shè)檢驗

7.假歿檢險的展理

(1)差異及差異顯著性檢驗

當(dāng)兩個事物之間出現(xiàn)差異時，有可能是抽樣誤差，也有可能是實質(zhì)性的差異，如果經(jīng)

過統(tǒng)計檢驗發(fā)現(xiàn)差異超過了統(tǒng)計學(xué)所規(guī)定的某一誤差限度時，則表示差異已經(jīng)不屬于抽樣誤

差了，統(tǒng)計上將這樣的情況稱為差異顯著,反之即是差異不顯著。

由于在進行差異檢驗時需要先對事物是否存在差異做出假設(shè)，再作統(tǒng)計檢驗，因此這

一過程便稱為|假設(shè)檢驗

(2)假設(shè)檢驗的統(tǒng)計學(xué)原理

<->假設(shè)與假設(shè)檢驗

統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)一般專指統(tǒng)計學(xué)屬于對總體參數(shù)所作的假定性說明。在進行任何一項

研究時，都需要根據(jù)已有的經(jīng)驗和理論先對研究結(jié)果作出一種預(yù)想的希望證實的假設(shè)。這

種假設(shè)叫科學(xué)假設(shè)，記作H?又叫怖擇假設(shè)由于證實遠比證偽困難，在統(tǒng)計學(xué)中，不時

乩的真實性直接檢驗，需要建立與其對立的假設(shè)，成為|虛無假設(shè)|,記作H。。假設(shè)檢驗的問題

就是要判斷虛無假設(shè)是否正確，因此虛無假設(shè)就是統(tǒng)計推論的出發(fā)點。

注意：備擇假設(shè)總是要假設(shè)對比兩者間是有差異的，例如單總體檢驗樣本均值與總體

均值是否有差異時，我們的備擇假設(shè)就是對應(yīng)備擇假設(shè)，虛無假設(shè)總是假設(shè)兩者

并無差異，即表示為滅=〃。

＜-＞顯著性水平

顯著性水平|指的是拒絕虛無假設(shè)的小概率值,用a表示。也就是說，如果一件事情發(fā)

生的概率小于我們設(shè)定的這么一個顯著性水平，我們就將其歸為“小概率事件”，也就是認

為它是一件“幾乎不可能發(fā)生”的事件。

＜三＞小概率原理

假設(shè)檢驗的基本思想是概率性質(zhì)的反證法，基于統(tǒng)計學(xué)中廣泛采用的小概率原理，該

原理認為“小概率事件在一次實驗中幾乎是不可能發(fā)生的”，由此假設(shè)檢驗首先假定虛無假

設(shè)為真，在虛無假設(shè)為真的前提下，若導(dǎo)致了違反常理或不合理的現(xiàn)象出現(xiàn)，則表明“虛無

假設(shè)為真”的假定錯誤，必須拒絕虛無假設(shè)。而若沒有，那就認為“虛無假設(shè)為真”是正確

的，即要接受虛無假設(shè)。

(3)差異顯著性的檢驗方法

＜-＞雙尾檢驗

雙尾檢驗的實際意義是值推斷差異是否存在，而不斷言差異的方向。其顯著性水平標

記為：a=0.05/2或a=0.01/2

＜-＞單尾檢驗

單尾檢驗是研究者根據(jù)已有的資料事先能夠預(yù)料到誰優(yōu)誰劣，檢驗只是為了進一步確

證而選擇的方法。(即是說研究者已經(jīng)不只能夠判斷出“有差異”，而且可以判斷出“A比B

好/優(yōu)/大/快”的情況下所采用的方法)

其中當(dāng)預(yù)料到一個總體參數(shù)大王另一個總體參數(shù)時，采用右側(cè)檢驗;而當(dāng)預(yù)料到是小

王時，則采用左側(cè)檢驗。

單尾檢驗與雙尾檢驗的區(qū)別在于：

①問題的提法不同。雙側(cè)檢驗的提法是：N與已知常數(shù)go是否有顯著差異？單側(cè)檢驗

的提法是：N是否顯著地高于/低于已知常數(shù)所？

②建立假設(shè)的形式不同。雙側(cè)檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)為：Ho：MW〃2；%：必=〃2；

單側(cè)檢驗的零假設(shè)與備擇假設(shè)為：Ho：44〃2；Hi：兒或Ho：4＞:H,：＜生。

③否定域不同。如Z檢驗中雙側(cè)檢驗的否定域為Z“，2；而單側(cè)檢驗為z“。

使用時一定要根據(jù)研究目的所規(guī)定的方向性來確定使用何種檢驗，若該用單側(cè)檢驗的

問題使用了雙側(cè)檢驗，其結(jié)果不僅可能使結(jié)論由“顯著”變?yōu)椤安伙@著”，還會增大P錯誤。

反之用單側(cè)檢驗代替了雙側(cè)檢驗，雖然縮小了。錯誤，但卻使得無方向性的問題人為地變成

單方向問題，有悖于研究目的。

差異是否顯著，是由觀測值和臨界值（如Z值、t值等）相比獲得的。觀測值大于臨界

值，則結(jié)果在相應(yīng)的顯著性水平上是顯著的。

（4）統(tǒng)計決策的兩類錯誤

接受H（）拒絕H（）

Ho為真正確決策I型（棄真、a）錯誤

Ho為假n型（取偽、P）錯誤正確決策

之前已經(jīng)介紹過，a其實就是用來定義小概率事件的一個概率值，在這里也就成了拒絕

Ho的概率，同時也就是會犯拒真錯誤的概率。

如圖，顯著性水平a與犯II型錯誤的概率p間又存在密切關(guān)系：

①減小了犯I型錯誤的風(fēng)險，必定會增大犯II型錯誤的風(fēng)險，反之亦然；

②a+0不一定等于1,在其他條件不變的情況下，a與。不可能同時減小或增大；

③可以通過增大樣本容量和增大處理效應(yīng)來同時減小兩類錯誤。

對于I型錯誤來說，可以通過控制顯著性水平來減小犯錯誤的概率

II型錯誤與I型錯誤不同，影響0值大小的因素主要有三：一、在參數(shù)檢驗中，。依賴

于參數(shù)的實際值與假設(shè)值之間的距離，兩者相差越大，B越?。欢?、a越小，p就越大；三、

當(dāng)a與n固定時，根據(jù)研究問題的性質(zhì)選擇適當(dāng)?shù)臋z驗類型可以減少po（詳見統(tǒng)計效果量

一章）

（5）假設(shè)檢險基本步驟

①根據(jù)問題要求，提出虛無假設(shè)和備擇假設(shè)

②確定顯著性水平，確定單尾還是雙尾，確定自由度，查表求臨界值

③計算樣本的實際觀測值

④比較樣本實際分數(shù)與臨界分數(shù)

⑤對Ho作出結(jié)論

⑥報告結(jié)果

（6）假設(shè)檢驗與參數(shù)估計的聯(lián)系與區(qū)別

假設(shè)檢驗是當(dāng)樣本統(tǒng)計量超過一定標準時，就說統(tǒng)計顯著，是檢驗兩事物差異是否顯

著的種方法；而參數(shù)估計是要找到總體值所可能落入的可靠范圍,是利用樣本統(tǒng)計量對總

體參數(shù)所作的估計?。而作為兩者的代表性指標——顯著性水平和置信水平也是從不同角度回

答了相同的問題。

2樣本身總體不的熬爰異的檢臉

由于樣本均值分布服從正態(tài)分布、t分布或者漸進正態(tài)分布，因此檢驗又與〃差異時,

根據(jù)不同情況便有三種可選擇的方法

檢驗步驟：①確定單雙尾

②明確總體方差是否已知

③分析總體分布是否正態(tài)

④根據(jù)下表選擇適當(dāng)?shù)臋z驗方法

檢驗方法總體情況標準誤檢驗值

9Z=又一氏

Z檢驗已知S0啜

S4

正態(tài)

-y-Ao

檢驗未知

t限

CT：已知

非正態(tài)除喘Z,_又一〃0

7:檢驗

且n230'SE.

未知

3.兩春串牛均熬爰異的檢驗

（1）檢驗邏輯與公式

兩個樣本間的關(guān)系可以有如下兩種:

獨立樣本卜即兩個互不相關(guān)的樣本，往往來自不同總體，即是不同組別間相同性

質(zhì)的比較，如某校初三（1）班的語文成績與初三（2）班的語文成績。

相關(guān)樣本|：即兩個樣本間是存在某些聯(lián)系的，往往來自同一個總體，即是同?個

組內(nèi)產(chǎn)生的兩種不同類別的數(shù)據(jù)，例如初三（1）班學(xué)生的語文成績

與數(shù)學(xué)成績。

檢驗邏輯：用樣本的均值估計總體均值，用相減后的值來作為兩均值之差的分布的均

值，由于這一分布在不同情況下符合正態(tài)分布、t分布或漸進正態(tài)分布，因此計算時也應(yīng)根

據(jù)不同情況慎重選擇。

rX.-X,

Z°bs-Lbs~

00刀是兩樣本平均數(shù)檢驗的通用公式，所不同的僅在于標準誤的計

算。

實際上標準誤的計算公式也是相同的，即：*」才+反2叼/,不同的只是

兩獨立樣本情況下，樣本間數(shù)據(jù)相關(guān)=0,于是公式出現(xiàn)了差異。

下面分兩種樣本詳述計算公式。

(2)獨立樣本間平均數(shù)差異的檢驗