高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

第二章

高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系點(diǎn)、直、面之間位關(guān)系本章教分析本章將在前一章整體觀察識(shí)間幾何體的基礎(chǔ)上長(zhǎng)方體為載體學(xué)在直觀感知的基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)空間中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；通過(guò)大量圖形的觀察、實(shí)驗(yàn)和說(shuō)理，使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判定方，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述幾何對(duì)象的位置關(guān)系，初步體驗(yàn)公理化思想，培養(yǎng)邏輯思維能力，用來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的推理論證及應(yīng)用問(wèn).本章主要內(nèi)容：2.1點(diǎn)直線、平面之間的位關(guān)系，2.2直、平面平行的判定及性質(zhì)，2.3直平垂直的判定及其性.節(jié)核心是空間中直線和平面間的位置關(guān).知識(shí)結(jié)構(gòu)上看，在平面基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上，由易到難順序研究直線和直線和平面、平面和平面的位置關(guān)本在培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)、公理化的思想、空間想象力和思維能力方面，都具有重要的作.2.2和2.3節(jié)內(nèi)容的編寫是“平行和垂直的定其性質(zhì)為主線展開(kāi)，依次討論直線和平面平行、平面和平面平行的判定和性質(zhì)；直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性“平行和垂直在義和描直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系中起著重要作本章它集中體現(xiàn)在：空間中平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化、空間中垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化以及空間中垂直與行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.本章教學(xué)時(shí)間約需12課，具體分配如下（僅供參考

平面空間中直線直線之間位置關(guān)系空間中直線平面之間位置關(guān)系平面與平面間的位置系直線與平面行的判定直線與平面行的性質(zhì)平面與平面行的判定面與平面行的性質(zhì)直線與平面直的判定平面與平面直的判定直線與平面直的性質(zhì)平面與平面直的性質(zhì)本章復(fù)習(xí)

約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)約1課時(shí)高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系§

空點(diǎn)直、面間位關(guān)§2.1.1平一、教分析平面是最基本的幾何概念,教書以課桌面、黑板面、海平面等為,對(duì)它只是加以描述而不定義.體幾何中的平面又不同于上面的例子是上面例子的抽和概括,它的特征是無(wú)限延展性.了更準(zhǔn)確地理解平面,材重點(diǎn)介紹了平面的基本性質(zhì)即教科書中的三個(gè)公理,這是本節(jié)的重點(diǎn)另外本節(jié)還應(yīng)充分展現(xiàn)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換與翻譯,別注意圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換.二、教目標(biāo)．識(shí)技掌握平面的表示法及水平放置的直觀圖利用生活中的實(shí)物對(duì)平面進(jìn)行描述；掌握平面的基本性質(zhì)及作用；培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.．程方讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知通過(guò)師生的共同討論，使學(xué)生對(duì)平面有了感性認(rèn)識(shí)；．感態(tài)與值使用學(xué)生認(rèn)識(shí)到我們所處的世界是一個(gè)三維空間，進(jìn)而增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的興.三、重點(diǎn)難點(diǎn)三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換與翻利用三個(gè)公理證明共點(diǎn)、線、共面問(wèn).四、課安排課時(shí)五、教過(guò)程（）入課思情境導(dǎo))大家都看過(guò)電視劇《西游記》吧，如來(lái)佛對(duì)孫悟空說(shuō)：“你個(gè)跟頭雖有十萬(wàn)八千里，但不會(huì)跑出我的手掌心”結(jié)果孫悟空真沒(méi)有跑出如來(lái)佛的手掌心，孫悟空可以看作是一個(gè)點(diǎn)，他的運(yùn)動(dòng)成為一條直線，大家說(shuō)如來(lái)佛的手掌像什么？對(duì)，像一個(gè)平面，今天我們開(kāi)始認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的平.思事例導(dǎo))觀察長(zhǎng)方體（圖1能現(xiàn)長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)、棱所在的直線，以及側(cè)面、底面之間的關(guān)系嗎？圖長(zhǎng)方體由上、下、前、后、左、右六個(gè)面圍有些面是行的，有些面是相交的；有些棱所在的直線與面平行些棱所在的直線與相交棱在的直線都可以看成是某個(gè)面內(nèi)的直線等.間中的點(diǎn)、直線、平面之間有哪些位置關(guān)系呢？本節(jié)我們將討論這個(gè)問(wèn).高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（）進(jìn)課新探、出題怎樣理解平面這一最基本的幾何概;平面的畫法與表示方;如何描述點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系？直線與平面有一個(gè)公共點(diǎn)，直線是否在平面內(nèi)？直線與平面至少有幾個(gè)公共點(diǎn)才能判斷直線在面內(nèi)？根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，幾個(gè)點(diǎn)能確定一個(gè)平面？如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們的位置關(guān)系如何？請(qǐng)畫圖表;描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用幾種語(yǔ)言？自己總結(jié)三個(gè)公理的有關(guān)內(nèi)活：學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思對(duì)有困難的學(xué)生可提示如：回憶我們學(xué)過(guò)的最基本的概念（原始概念、直線、集合等我們的桌面看起來(lái)像什么圖形？表示平面和表示點(diǎn)、直線一樣，通常用英文字母或希臘字母表③點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外；點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面.確定一條直線需要幾個(gè)點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的門由幾個(gè)點(diǎn)確兩個(gè)平面不可能僅有一個(gè)公共點(diǎn)，因?yàn)槠矫嬗袩o(wú)限延展.文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)平面的基本性質(zhì)小結(jié).討結(jié)①平面與我們學(xué)過(guò)的點(diǎn)線合概念一樣都是最基本的概不定義的原始概念只能通過(guò)對(duì)它描述加以理解，可以用它定義其他概念，不能用其他概念來(lái)定義它，因?yàn)樗遣欢x的.平面的基本特征是無(wú)限延展性，很像如來(lái)佛的手吳承恩的立體幾何一定不)②我們的桌面看起來(lái)像平行四邊形，因此平面通常畫成平行四邊形，有些時(shí)候我們也可以用圓三角形等圖形來(lái)表示平面，如圖平四邊形的銳角通常畫成°，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的倍.果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，我們常把它遮擋的部分用虛線畫出來(lái)，如圖3圖

圖平面的表示法有如下幾種在一個(gè)希臘字母、γ的前面加平”二字，如面、平面、面γ等字通常寫在平行四邊形的一銳角(圖4)四邊形的四個(gè)字母表示面ABCD（圖表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面AC圖）.圖③下面我們總結(jié)點(diǎn)與直線、平面的位置關(guān)系如下表：

圖點(diǎn)A在直線a上或直線a經(jīng)過(guò)點(diǎn)A）點(diǎn)A在直線a外或直線a不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A）點(diǎn)A在平面α內(nèi)（平面α經(jīng)點(diǎn)A

AaAaAα

元素與集合間的關(guān)系高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系點(diǎn)A在平面α外（平面α不經(jīng)點(diǎn)A）

④直線上有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，直線沒(méi)有全部落在平面內(nèi)(圖7)，直線上有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線部落在平面內(nèi)例如用直尺緊貼著玻璃黑板，則直尺落在平面.公1：如果條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這平面.這是用文字語(yǔ)言描述，我們也可以用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言（圖）述空間圖形的基本元素是點(diǎn)、直線、平.運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，從而以把直線、平面看成是點(diǎn)的集合，因此它們之間的關(guān)系除了用文字和圖形表示外，還可借用集合中的符號(hào)語(yǔ)來(lái)表示.規(guī)定直線用兩個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)小寫的英文字母表示，點(diǎn)用一個(gè)大寫的英文字母表示，平面則用一個(gè)小寫的希臘字母表示.理也可以用符號(hào)語(yǔ)言表示：若A∈a,B∈a,且A∈∈α,則圖6請(qǐng)同學(xué)們用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言描述直線與平面相.

圖若A∈a,B∈a,且A

α,B∈則

α.如（7⑤在生活中，我們常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：三腳架可以牢固地支撐照相機(jī)或測(cè)量用的平板儀.上述事實(shí)和類似的經(jīng)驗(yàn)可以歸納為下面的公公2：經(jīng)過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平如圖（圖8）圖公理2刻了平面特有性質(zhì)，它是確定一個(gè)平面位置的依據(jù)之⑥我們用平行四邊形來(lái)表示平面，那么平面是不是只有平行四邊形這么個(gè)范圍呢？不是為平面是無(wú)限延展的直是可以落在平面內(nèi)的直線是無(wú)限延伸的果平面是有限的，那么無(wú)限延伸的直線又怎么能在有限的平面內(nèi)呢？所以平面具有無(wú)限延展的特.現(xiàn)在我們根據(jù)平面的無(wú)限延展性來(lái)觀察一個(gè)現(xiàn)象（課件演示給學(xué)生看.問(wèn)兩平面會(huì)不會(huì)只有一個(gè)公共點(diǎn)？不會(huì)，因?yàn)槠矫媸菬o(wú)限延展的，應(yīng)當(dāng)有很多公共因平面是無(wú)限延展的，所以有一個(gè)公共點(diǎn)，必有無(wú)數(shù)個(gè)公共么這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在什么位置呢？可見(jiàn)這無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線.這說(shuō)明如兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直.時(shí)，就說(shuō)兩平面相交，交線就是公共點(diǎn)的集合，這就理如圖（圖9符語(yǔ)言表示為∈且∈α∩且∈圖公理告訴我們，如果兩個(gè)不重合的面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交，且其交線一定過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)也就是說(shuō)如兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們必定還有另外一個(gè)公共點(diǎn)要出這兩個(gè)高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面的兩個(gè)公共點(diǎn)，就找出了它們的交由此看出公理3不給出了兩個(gè)平面相交的依據(jù)，還告訴我們所有交點(diǎn)在同一條直線上，并給了找這條交線的方法.描述點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系常用3種言:字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)“平面的基本性質(zhì)?。好Q公理1公理2公理3

作用判定直線在面內(nèi)的依確定一個(gè)平的依據(jù)兩平面相交依據(jù)（）用例思例1如10，用符號(hào)語(yǔ)言表示下列圖形中點(diǎn)直線、平面之間的位置關(guān).圖10活：生自己思考或討論，再寫出（最好用實(shí)物投影儀展示寫正確的答案.師在學(xué)生中巡視，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)糾正，并及時(shí)評(píng).解在（1）中，∩β=l,aα=A,aβ=B.在（）中，∩β=l,a

α,b

β,a∩l=P,b∩l=P.變訓(xùn)畫表下列由集合符號(hào)給出的關(guān)系：(1)A∈∈l,B∈l;(2)a∥∩c=P,α∩β=c.解如11.圖根下條件，畫出圖.（1）平面平面β=l，直線

α，AB∥lE∈AB直線∩=F，F(xiàn)

l;（2）平面平面β，△ABC的個(gè)頂點(diǎn)滿足條:Aa，∈，B∈，答：圖12.高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系圖12點(diǎn)：形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換是本節(jié)的重點(diǎn)，主要有兩種題：根據(jù)圖形，先判斷點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用符號(hào)表示出.根據(jù)符號(hào)，想象出點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，然后用圖形表示出.例2已直線直線b相交于點(diǎn)求：過(guò)直線a直線b有只有一個(gè)平.圖13證：圖點(diǎn)A是線直線b的點(diǎn)在上取一點(diǎn)，取一點(diǎn)，根據(jù)公理經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三AB、C一個(gè)平面α，因?yàn)锳、B在面α，根據(jù)公理，直線a平面內(nèi),同理直線在平面α，即平面α是過(guò)直線a直線b的面又因?yàn)锳、B在，A、在，所以經(jīng)過(guò)直線直線b的面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、BC.于是根據(jù)公理2經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A、、的面有且只有一個(gè)，所以經(jīng)過(guò)直線a和線b平面有且只有一變訓(xùn)求證：兩兩相交且不共點(diǎn)的四條直線在同一平面.證：圖14直線a、bc、d兩兩相交，交點(diǎn)分別為AB、C、D、E、F,圖14∵直線a∩直b=A,∴直線a直線b定平面設(shè)為，即a,b∵B∈，、∈∴BCE、∈而B、∈c，、∈∴、

α,即a、c、d在一平面內(nèi).點(diǎn)：今后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到證明點(diǎn)和直線共面問(wèn)題，除公理外，確定平面的依據(jù)還有直與直線外一兩條相交直(3)兩條平行直線思2例1如15，已知∩∈、Bβ,BC與EF相，在圖中分別畫出平面ABC、的線圖15活：學(xué)生先思考或討論，然后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)作圖不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思.解如圖16所，連接CB111111高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系∵Cβ,B∈∴線CB

β.∵直線

圖16平面ABC∴∩平面ABC=直線CB.設(shè)直線直線EF交D,∵∩∴Dα,D平面ABC.∵A∈∈面ABC，∴平ABC=直線變訓(xùn)如17AD∩平面平=C，請(qǐng)畫出直DE與面α的點(diǎn)，指出點(diǎn)P與直線BC的位置關(guān)系圖17解AD和AC是交直線它們確定一個(gè)平面ABC，它與平面的線為直線，DE平面ABC，∴與的點(diǎn)P在線BC上.如，正方體ABCDABCD的長(zhǎng)為cm，、N分是ABAD、BB的點(diǎn)，1111圖18(1)畫出過(guò)M、、P三點(diǎn)的平面與平面ABD的線，以及與平面BBCC的線111(2)設(shè)過(guò)M、、P三的平面與BC交點(diǎn)，求長(zhǎng).11解設(shè)MN、三確定的平面為，α與面AABB的線為直線MP，MP=R，11則α平面ABD的線，設(shè)RN∩B，連接PQ則所要畫的平面與面BBCC111的交線如圖18.(2)正方體棱長(zhǎng)為cm，BR=BM=4，又AcmB11

13

A1∴Q=1

14（cm）在eq\o\ac(△,)中BP=4cm，Q=cm，33∴PQ=

1

2

1

2

43

10

點(diǎn)：理出了兩個(gè)平面相交的依據(jù)，我們經(jīng)常利用公理兩平面的交點(diǎn)和交高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系例2已eq\o\ac(△,知)ABC三邊所在直線分別與平面α交、Q三點(diǎn)，求證：、QR三點(diǎn)共.解如圖19,∵A、、C是在同一直線上的三圖19∴過(guò)A、BC有個(gè)平面又∵∩，AB∴點(diǎn)既β內(nèi)又在α內(nèi)設(shè)αβ=l,則∈同理可證：Ql,R∈l,∴、QR三點(diǎn)共變訓(xùn)三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，若這三條直線不平行，求證：這三條直線交于一.已知平面α、、兩兩相交于三條直線l、ll，l、l、l不行1212求證：l、l、l相于一點(diǎn).12證：圖，∩β=l，∩γ=l，∩γ=l，13圖20∵l1

β，l2

β，l、l不平行12∴l(xiāng)與l必交.l∩l=P，121則P∈l1

α,P∈l2

γ,∴∈∩γ=l3∴l(xiāng)、l、l相交于一點(diǎn)P.123點(diǎn)：點(diǎn)、共線問(wèn)題是本節(jié)的重點(diǎn)，在高考中也經(jīng)?？疾?，其論依據(jù)是公理3（）能練畫一個(gè)正方體ABCD′B′C′D，畫出平面ACD與面BDC的線，并且說(shuō)明理解如21,圖21∵∈′，∴F平面ACD′.∵∈AC∈面ACD′.∵∈BD∈面BDC∵∈′，∴F平面DC′B.∴EF為求.高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（）展升O是方體ABCDABCD的底面的中心，過(guò)D、、A一個(gè)截面，求證：此截面與對(duì)角線11111AC的交點(diǎn)一在AO上.1解如22,連接AC、AC11圖22因AA∥CC，則AA與CC可定一個(gè)平面AC，111易知截面AD與平面AC有共點(diǎn)A、O，111所以截面AD與平面AC的線為AO.1111又P∈A，∈面AC，P∈截面ABD，11故P在平面的交線上，即∈AO.1點(diǎn)：明共點(diǎn)、共線問(wèn)題關(guān)鍵是利用兩平面的交點(diǎn)必在交線.（）堂結(jié)平面是個(gè)不加定義的原始概念，其基本特征是無(wú)限延展.通過(guò)三公理介紹了平面的基本性質(zhì)，及作名稱公理1公理2公理3利用三公理證明共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)（）業(yè)課本習(xí)題2.1A組5、6.

作用判定直線在面內(nèi)的依確定一個(gè)平的依據(jù)兩平面相交依據(jù)高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系§2.1.2空中線直之的置系一、教分析空間中直線與直線的位置關(guān)系是立體幾何中最基本的位置關(guān)系的面關(guān)系是本節(jié)的重點(diǎn)和難.異面直線的定義與其他概念的定義不同，它是以否定形式給出的，因此它的證明方法也就與眾公是空間等角定理的基礎(chǔ)，而等角定理又是定義兩異面直線所成角的基礎(chǔ)，請(qǐng)注意知識(shí)之間的相關(guān)系，準(zhǔn)確把握兩異面直線所成角的概.二、教目標(biāo)．識(shí)技了解空間中兩條直線的位置關(guān)系；理解異面直線的概念、畫法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力；理解并掌握公理4；理解并掌握等角公理；異面直線所成角的定義、范圍及應(yīng)用。．程方讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷歸納整理所學(xué)知．感態(tài)與值讓學(xué)生感受到掌握空間兩直線關(guān)系的必要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興.三、重難點(diǎn)兩直線異面的判定方法，以及兩異面直線所成角的求.四、課安排課時(shí)五、教設(shè)計(jì)（）入課思情境導(dǎo)入）在浩瀚的夜空，兩顆流星飛逝而過(guò)（假設(shè)它們的軌跡為直線學(xué)們討論這兩直線的位置關(guān)學(xué)生：有可能平行，有可能相交，還有一種位置關(guān)系不平行也不相交，就像教室內(nèi)的日光燈管在的直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線一教師：回答得很好，像這樣的兩直線的位置關(guān)系還可以舉出很多，又如學(xué)校的旗桿所在的直線其旁邊公路所在的直線，它們既不相交，也不平行，即不能處在同一平面天們討論空間中直線與直線的位置關(guān)系.思（例導(dǎo)入觀察長(zhǎng)方體（圖1能發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體ABCD—A′B′C′D中線段′B所的直線與線段C′C所直線的位置關(guān)系如何？圖（）進(jìn)課新探、出題①什么叫做異面直線？共面直線共面直線高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系總結(jié)空間中直線與直線的位置關(guān)兩異面直線的畫.在同一平面內(nèi)，如果兩直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行.在空這個(gè)結(jié)論成立嗎？什么是空間等角定理？什么叫做兩異面直線所成的角？什么叫做兩條直線互相垂直？活：讓學(xué)生動(dòng)手做題，再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思.討結(jié)：異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直它是以否定的形式給出的否形式給出的問(wèn)題一般用反證法證明.②空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三.結(jié)合長(zhǎng)方體模型圖1)，引導(dǎo)學(xué)生得出空間的兩條直線的三種位置關(guān)系：直線同平面有且只一個(gè)公共點(diǎn)平行直線同平面沒(méi)有共;異面直線:不同任何一個(gè)平面內(nèi)有公共.③教師再次強(qiáng)調(diào)異面直線不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖圖④組織學(xué)生思考：長(zhǎng)方體ABCD′B′D中如圖1,BB∥，∥′,BB與平嗎？通過(guò)觀察得出結(jié)論：與DD平再聯(lián)系其他相應(yīng)實(shí)例歸納出公理4.公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平符號(hào)表示為a∥a強(qiáng)調(diào)：公理質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適.公理4是判斷空間兩直線平行的依據(jù)，不必證明，可直接應(yīng)等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互.怎么定義兩條異面直線所成的角呢？能否轉(zhuǎn)化為用共面直線所成的角來(lái)表示呢？可以把異面直線所成角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩直線所成角來(lái)表.圖3異面直線ab，在空間中任取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O分引∥，∥，a，所的銳角（或直角）叫做兩條異面直線所成的.圖針對(duì)這個(gè)定義，我們來(lái)思考兩個(gè)問(wèn)問(wèn)題：這樣定義兩條異面直線所成的角，是否合理？對(duì)空間中的任一點(diǎn)有限制條件？答個(gè)定義中中的一點(diǎn)是任意取.在空間中取一點(diǎn)圖4作a″b高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系根據(jù)等角定理，與b所的銳角（或直角）和a′與所成的銳角（或直角）相等，即過(guò)間任意一點(diǎn)引兩條直線分別平行于兩條異面直線，它們所成的銳角（或直角）都是相等的，值是唯一的、確的，而與所取的點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，這表明這樣定義兩條異面直線所成角的合理注意：有時(shí)，為了方便，可將點(diǎn)取在或b上如圖）.圖問(wèn)題：這個(gè)定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角是否矛盾？答：沒(méi)有矛當(dāng)a、b相交時(shí)，此定義仍適用，表明定義與平面內(nèi)兩相交直線所成角的概念沒(méi)有矛盾，是相交直線所成角概念的推⑦在定義中，兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直.如正方體上的任一條棱和不平行于它的八棱都是相互垂直的中的和這條棱相交，有的和這條棱異面（圖）.圖（）用例思例1如，空間四邊形ABCD中，EF、GH分別是AB、BCCD、DA的點(diǎn)圖求證：四邊形是行四邊形證：接EH因?yàn)镋Heq\o\ac(△,)ABD的中位線，所以EHBD且EH=

同理，F(xiàn)GBD，且FG=

所以EHFG且EH=FG.所以四邊形EFGH為行四邊變訓(xùn)如6空間四邊形ABCD中、、GH分別是AB、BCCD、的點(diǎn)且AC=BD.求證：四邊形是證：接EH因?yàn)镋Heq\o\ac(△,)ABD的中位線，所以EHBD且EH=

同理，F(xiàn)GBD，∥，且FG=

1122

AC

高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系所以EHFG且EH=FG.所以四邊形EFGH為行四邊因?yàn)锳C=BD,所以所以四邊形EFGH為形如6空間四邊形ABCD中、、GH分別是AB、BCCD、的點(diǎn)且AC=BD，AC⊥求證：四邊形是方形.證：接EH因?yàn)镋Heq\o\ac(△,是)的位線，1所以EH∥，且EH=BD2同理，F(xiàn)GBD，∥，且FG=

11EF=22

AC

所以EHFG且EH=FG.所以四邊形EFGH為行四邊因?yàn)锳C=BD所以EF=EH.因?yàn)椤巍蜛C∠為異面直線AC與BD成的.又因?yàn)锳CBD⊥所以四邊形為方.點(diǎn)：見(jiàn)中點(diǎn)找中”造三角形的中位線是證明平行常用的方例2如，已知正方體—A′B′D圖哪些棱所在直線與直線BA是異面直線？直線BA和′夾角是多少？哪些棱所在直線與直線AA垂直？解由異面直線的定義可知，棱AD、DCCC、D′C、′C所在直線分別與BA是異面直線.(2)由∥CC可，∠′BA是面直線BA和CC的夾角，B′BA，以線BA和CC的角為45°.（3直線AB、、、DA、′B、′C、′D、D′A分與直線AA垂直變訓(xùn)如圖8已知正方體ABCD′C′D′.圖求異面直線BC與′B所的角的度數(shù)；求異面直線和BC所的角的度數(shù).解1由A′B∥′D可知，∠BC′D是異面直線BC與A所的角，∵⊥C′D，∴異面直線BC與A所成的角的數(shù)為（2連接AD′,AC,由AD∥可知，∠AD′C是異面直線CD和所成的角，高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系∵eq\o\ac(△,)′C是邊三角∴∠′C=60°，異面直線CD和所的角的度數(shù)為點(diǎn)：平移法是兩異面直線所成角的基本方.思例1在方體ABCDABCD中，E、分是AA和的點(diǎn).1111求證：EB∥DF，BF.11活：生先思考或討論，然后再回答，教師點(diǎn)撥、提示并及時(shí)價(jià)學(xué)證：圖，設(shè)GDD的點(diǎn)，分別連接，1圖∵EGAD，CA,11111∴EGBC.邊形CG是行四邊,1111∴GC1同理可證DFGC，∴EB11∴四邊形EBFD是平行四邊形.1∴∥B1變訓(xùn)如圖10，在正方體ABCDABD中，、分別是AA、AB的中點(diǎn)，試判斷下列各對(duì)線段所在111直線的位置關(guān)系：圖10（1與；1（2AB與；1A與DB；1與BD；1（5D與CF.1解1C∈面ABCD

平面ABCD又C

AB，C

1

平面與異1（2AAB，ABDC∴ABDC.1111（3AD∥BCB∥BCAD∥BC則A、BC、D在一平面內(nèi).1111∴A與DB相.1（4B∈平面ABCDDC平面ABCD又DC，面ABCD,∴與BD異面.11（5如圖10CF與DA的長(zhǎng)線交于，連接DG，1∵AF∥，為中點(diǎn)，A為DG的.又AE∥，1∴過(guò)AA的中點(diǎn)E.直線D與CF相111高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系點(diǎn)：條直線平行，在空間中不管它們的位置如何，看去都平行（或重合條直線相交，總可以找到它們的交作圖時(shí)用實(shí)點(diǎn)標(biāo).兩條直線異面，有時(shí)看上去像平行（如圖的EBAC時(shí)1上去像相交（如圖中的DCDB所以要仔細(xì)觀察，培養(yǎng)空間想能力，尤其要學(xué)會(huì)兩條直線異面判定1的方法例2如，點(diǎn)A是所平面外點(diǎn)AD=BC，EF分是ABCD的中點(diǎn)，且EF=求異面直線和BC所的角.

22

AD，圖解設(shè)G是AC中，連接、因、F分別是、中點(diǎn)，故∥BC且EG=

11BCFG∥，且22

由異面直線所成角定義可知EG與FG成銳角或直角為異面直線、所角，即∠EGF為所由BC=AD知EG=GF=

，又

22

由股定理可得EGF=90°.點(diǎn)：題的平移點(diǎn)是AC中G按定義過(guò)G別作出了兩條異面直線的平行線然后eq\o\ac(△,在)EFG中求角通常在出現(xiàn)線段中點(diǎn)時(shí)，取另一線段中點(diǎn)，以構(gòu)成中位線，既可用平行關(guān)系，又可用線段的倍半關(guān)系.變訓(xùn)設(shè)空間四邊形ABCD，、、、分是AC、、、的點(diǎn)，若122，CD=2，且HG·HE·sin∠EHG=

123

，求和CD所的角.解如圖12，由三角形中位線的性質(zhì)知HGAB，∥CD，圖12∴∠EHG就是異面直線ABCD所成的由題意可知EFGH是行四邊形，

112HE=322

，∴∠EHG=

12

sin∠EHG.∴12∠EHG=123.∴∠

22

高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系故∠∴AB和CD所的為45°.（）能練如圖，示一個(gè)正方體表面的一種展開(kāi)圖，圖中的四條線段AB、CD、和GH在正方體中相互異面的有對(duì)_圖13答：（）展升圖14是個(gè)正方體的展開(kāi)圖，在原正方體中，有下列命題：圖14①AB與所直線垂直；CD所直平行；所直線成60°角；④MN與所在直線異面其中正確命題的序號(hào)是（）①①答：D（）堂結(jié)

②③本節(jié)學(xué)習(xí)了空間兩直線的三種位置關(guān)系：平行、相交、異面，其中異面關(guān)系是重點(diǎn)和難.為了準(zhǔn)確理解兩異面直線所成角的概念，我們學(xué)習(xí)了公理等角定.（）業(yè)課本習(xí)題2.1A組3高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系§2.1.3空中線平之的置系一、教分析空間中直線與平面之間的位置關(guān)系是立體幾何中最重要的位置關(guān)系，直線與平面的相交和平行本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)空間中直線與平面之間的位置關(guān)系是根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)定義的學(xué)在公理1的礎(chǔ)上會(huì)判斷直線與平面之間的位置關(guān).節(jié)重點(diǎn)是結(jié)合圖形判斷空間中直線與平面之間的位置關(guān)二、教目標(biāo)．識(shí)技了解空間中直線與平面的位置關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.．程方學(xué)生通過(guò)觀察與類比加深了對(duì)這些位置關(guān)系的理解、掌握；讓學(xué)生利用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)歸納整理本節(jié)所學(xué)知.．感態(tài)與值讓學(xué)生感受到掌握空間直線與平面關(guān)系的必要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興.三、教重點(diǎn)與難點(diǎn)正確判定直線與平面的位置關(guān).四、課安排課時(shí)五、教設(shè)計(jì)（）入課思情境導(dǎo))一支筆所在的直線與我們的課桌面所在的平,可能有幾個(gè)交點(diǎn)能有幾種位置關(guān)系?思事例導(dǎo))觀察方體圖你發(fā)現(xiàn)方體ABCD′B′C′D中，線段A所的直線與長(zhǎng)體ABCD′B′D的六個(gè)面所在平面有幾種位置關(guān)系？圖（）進(jìn)課新探、出題什么叫做直線在平面內(nèi)？什么叫做直線與平面相交?什么叫做直線與平面平行?直線在平面外包括哪幾種情?用三種語(yǔ)言描述直線與平面之間的位置關(guān)活：師提示、點(diǎn)撥從直線與平面的交點(diǎn)個(gè)數(shù)考慮，對(duì)回答正的學(xué)生及時(shí)表.討結(jié)：如果直線與平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)叫做直線在平面如果直線與平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)叫做直線與平面相.如果直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)叫做直線與平面平高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面.直線在平面

a直線與平面交

a∩α=A直線與平面行（）用例

a∥思例1下命題中正確的個(gè)數(shù)是()若直線l上無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)則lα若直線l與面α平，則l與面α的任意一條直線都平行如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行④若直線l與面α平，則l與面內(nèi)任一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn)A.0B.1D.3分：圖2,圖我們借助長(zhǎng)方體模型，棱AA所直線有無(wú)數(shù)在平面ABCD，但棱AA所直線與平面ABCD11相交，所以命題①不正確；A所在直線平行于平面ABCD，AB顯不平行于，所以命題②不正確；11A∥AB,AB所在直線平行于平面，但直線111

平面所以命題③不正確；l與面平行,l與α無(wú)共l與平面α內(nèi)有直線都沒(méi)有公,以命題④正.答：變訓(xùn)請(qǐng)討論下列問(wèn)題：若直線l上兩點(diǎn)到平面α的離相等，討論直線l與面的位置圖解直線l與平面α位置關(guān)系有兩種情況（如圖3線與平面平行或直線與平面相點(diǎn)：斷直線與平面的位置關(guān)系要善于找出空間模型，結(jié)合圖來(lái)考慮，注意考慮問(wèn)題要全.高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系例2已一條直線與三條平行直線相交，求證：這四條直線共已知直線∥b∥，直線，，求證：l與、b、c共面.證：圖4,∥圖∴、b定一個(gè)平面，設(shè)為α.∵，∩b=B,∴∈，Bα.又∵A∈l，∈l,∴

α，即l

α.同理、c定一個(gè)平面，l

β,∴平面與β都兩相交直線與l.∵兩條相交直線確定一個(gè)平面∴與β重合.l與、b、c共面.變訓(xùn)已知aα,b∈∥，求證：PQ

α.證：PQ，PQa確一個(gè)平面，設(shè)為β.∴∈，

β

又P∈a

α，

a,由推論：過(guò)、有且只有一個(gè)平∴、重合∴點(diǎn)：明兩個(gè)平面重合是證明直線在平面內(nèi)問(wèn)題的重要方思例1若條相交直線中的一條在平α內(nèi)討論另一條直線平面的置關(guān)系解如圖另一條直線與平面α的位置關(guān)系是平面內(nèi)或與平面相.圖用符號(hào)語(yǔ)言表示為：若∩b=A,b

α,則

α或a∩變訓(xùn)若兩條異面直線中的一條在平面內(nèi)討論另一條直線與平面α的位置關(guān)系.分：圖6,一條直線與平面α的置關(guān)系是與平面平行或與平面相圖用符號(hào)語(yǔ)言表示為：若與b異則∥或∩α=A.點(diǎn)：斷直線與平面的位置關(guān)系要善于找出空間模型，結(jié)合圖來(lái)考慮，注意考慮問(wèn)題要全.例2若線a不平行于平面且

α,則下列論成立的()A.α內(nèi)所有直線與異面B.α內(nèi)直線與相交高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系C.內(nèi)在唯一的直線與a平

D.α內(nèi)存在與行的直線分：圖7,直線a不行于平面α,則a與面相交圖例如直線′B與面ABCD相交，直線、在面ABCD，直線AB與線A相，直線與直線A異，所以A、B都正確；平面ABCD內(nèi)存在與平的線，所以應(yīng)選D.答：D變訓(xùn)不在同一條直線上的三點(diǎn)AB、到面的離相等，且A

α,給出以三個(gè)命題：①△中少有一條邊平行于α②ABC中至多有兩邊平行于；eq\o\ac(△,③)中可能有一條邊與α相其中真命題_分：圖8,點(diǎn)A、BC可在α的側(cè)，也可能在α兩，圖其中真命題是①.答：變訓(xùn)若直線

α,則下結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)()(1)α內(nèi)所有直線與異(2)α內(nèi)的直線與a都相交(3)內(nèi)在唯一的直線與a平行(4)α內(nèi)不存在與a平的直線A.0C.2分：直線a∴∥或aα=A.如圖顯然1)(2)(3)(4)都反所以應(yīng)選A.圖答：A點(diǎn)：斷一個(gè)命題是否正確要善于找出空間模型（長(zhǎng)方體是常用間模型外考慮問(wèn)題要全面即注意發(fā)散思維.（）能練已知∩β=l,a且且b又a∩b=P.求證：與相交,b與α相.證：圖∵高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系圖10∴∈a,P∈又β,∴∈∴與β有共點(diǎn)即與β相同理可證,與α相交（）展升過(guò)空間一點(diǎn)，能否作一個(gè)平面與兩條異面直線都平行？解如圖C′D與BD是面直線，可以過(guò)P點(diǎn)作一個(gè)平面與兩異面直線′D、都.如圖12,圖11

圖12

圖13顯然，平面PQ符合要求的平.(2)如圖13,當(dāng)點(diǎn)P與直線′D確的平面和直線BD平行時(shí)在過(guò)點(diǎn)平面與兩異面直線C′D、BD平.點(diǎn)：斷一個(gè)命題是否正確要善于找出空間模型（長(zhǎng)方體是常用間模型外考慮問(wèn)題要全面即注意發(fā)散思維.（）堂結(jié)本節(jié)主要學(xué)習(xí)直線與平面的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系有三種：直線在平面——有無(wú)數(shù)個(gè)公共直線與平面相交—有且只有一公共,直線與平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn)另外，空間想象能力的培養(yǎng)是本節(jié)的重點(diǎn)和難（）業(yè)課本習(xí)題2.1A組7§平與面間位關(guān)高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、教分析空間中平面與平面之間的位置關(guān)系是立體幾何中最重要的位置關(guān)系，平面與平面的相交和平行本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)空間中平面與平面之間的位置關(guān)系是根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)定義的學(xué)在公理3的礎(chǔ)上會(huì)判斷平面與平面之間的位置關(guān).節(jié)重點(diǎn)是結(jié)合圖形判斷空間中平面與平面之間的位置關(guān)二、教目標(biāo)．識(shí)技了解空間中平面與平面的位置關(guān)系；培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.．程方學(xué)生通過(guò)觀察與類比加深了對(duì)這些位置關(guān)系的理解、掌握；讓學(xué)生利用已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)歸納整理本節(jié)所學(xué)知.．感態(tài)與值讓學(xué)生感受到掌握空間兩個(gè)平面關(guān)系的必要性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興.三、教重點(diǎn)與難點(diǎn)平面與平面的相交和平行.四、課安排課時(shí)五、教設(shè)計(jì)（）習(xí)直線與直線的位置關(guān):相交、平行、異面.直線與平面的位置關(guān)系：直線在平面——有無(wú)數(shù)個(gè)公共直線與平面相交—有且只有一公共,直線與平面平行—沒(méi)有公共點(diǎn)（）入課思情境導(dǎo))拿出兩本書，看作兩個(gè)平面，上下、左右移動(dòng)和翻轉(zhuǎn)，它們之間的位置關(guān)系有幾種？思事例導(dǎo))觀察長(zhǎng)方體（圖成方體—A′B′D的六個(gè)面，兩兩之間的位置關(guān)系有幾種？圖（）進(jìn)課新探、出題什么叫做兩個(gè)平面平行？?jī)蓚€(gè)平面平行的畫法.回憶兩個(gè)平面相交的依據(jù).什么叫做兩個(gè)平面相?用三種語(yǔ)言描述平面與平面之間的位置關(guān).活:先讓學(xué)生思考，后再回答，經(jīng)教師提示點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思.問(wèn)題①引導(dǎo)學(xué)生回憶直線與平面平行的定問(wèn)題②怎樣體現(xiàn)兩個(gè)平面平行的特高中數(shù)學(xué)教案之空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系問(wèn)題③兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),平面是否相交問(wèn)題④回憶公理.問(wèn)題⑤鼓勵(lì)學(xué)生自我訓(xùn)練.討結(jié)：