高頻考點(diǎn)與模擬試題匯編立體幾何

專題八立體幾何第I卷（選擇題）一、選擇題1．將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到幾何體如圖所示，則該幾何體側(cè)視圖為()【答案】D【解析】如圖所示，點(diǎn)D1投影為點(diǎn)C1，點(diǎn)D投影為點(diǎn)C，點(diǎn)A投影為點(diǎn)B.2．如圖所示，某幾何體正視圖是平行四邊形，側(cè)視圖和俯視圖都是矩形，則該幾何體體積為()A．6B．9C．12D．18【答案】B【解析】由三視圖可還原幾何體直觀圖如圖所示．此幾何體可通過(guò)分割和補(bǔ)形方法拼湊成一個(gè)長(zhǎng)和寬均為3，高為長(zhǎng)方體，所求體積V＝3×3×＝9.3．已知三棱柱A．B．C．D．【答案】C【解析】構(gòu)建長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)分別為3,4,12.體對(duì)角線長(zhǎng)為，外接圓半徑為，故選C【考點(diǎn)定位】本題考查空間幾何體模型相識(shí)。4．設(shè)是兩條不同直線,是兩個(gè)不同平面,下列命題中正確是()A.若,,,則B．若,,,則C．若,,,則D．若,,,則【答案】D【解析】選項(xiàng)A中，m及n還可能平行或者異面，故錯(cuò)；B中，m及n還可能異面，故錯(cuò)；C中，還有可能平行或者相交，故錯(cuò)；D中，故D正確.【考點(diǎn)定位】考查線面位置關(guān)系5．某幾何函數(shù)三視圖如圖所示，則該幾何體積為()A、18+8πB、8+8πC、16+16πD、8+16π【答案】A；【解析】上半部分體積為，下半部分體積，故總體積.【考點(diǎn)定位】本題考查三視圖以及簡(jiǎn)潔組合體體積計(jì)算，考查學(xué)生空間想象實(shí)力.6．如圖，有一個(gè)水平放置透亮無(wú)蓋正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，假如不計(jì)容器厚度，則球體積為()A、cm3B、cm3QUOTEC、cm3D、cm3【答案】A；【解析】作出該球軸截面圖像如下圖所示，依題意，，設(shè)，故，因?yàn)?，解得，故該球半徑，所?【考點(diǎn)定位】本題考查球體體積公式，考查學(xué)生空間想象實(shí)力.7．一個(gè)四面體頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫(huà)該四面體三視圖中正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由題意可知：該四面體為正四面體，其中一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，另外三個(gè)頂點(diǎn)分別在三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)，所以以zOx平面為投影面，則得到正視圖可以為選項(xiàng)A.【考點(diǎn)定位】本小題主要考查立體幾何中三視圖有關(guān)學(xué)問(wèn)，考查同學(xué)們空間想象實(shí)力，屬中檔題.8．在空間中，過(guò)點(diǎn)作平面垂線，垂足為，記。設(shè)是兩個(gè)不同平面，對(duì)空間隨意一點(diǎn)，,恒有，則（）A.平面及平面垂直B.平面及平面所成（銳）二面角為C.平面及平面平行D.平面及平面所成（銳）二面角為【答案】A【解析】此題關(guān)鍵是搞清晰“在空間中，過(guò)點(diǎn)作平面垂線，垂足為，記?！边@句話意思，即，其中垂直，此題關(guān)鍵和留意地方是要對(duì)題目所描述內(nèi)容正確理解；設(shè)所以，由已知得到：于，于，于，于，且恒成立，即及重合，即當(dāng)時(shí)滿意；如圖所示：【考點(diǎn)定位】此題是信息類題目，考查線面垂直和面面垂直學(xué)問(wèn)點(diǎn)，考查學(xué)生自學(xué)實(shí)力和運(yùn)用所學(xué)學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題實(shí)力；本解析為名師解析團(tuán)隊(duì)原創(chuàng)，授權(quán)獨(dú)家運(yùn)用，如有盜用，依法追責(zé)！9．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體體積是.【答案】【解析】由三視圖可知，直觀圖為一個(gè)圓柱體中間挖去一個(gè)正四棱柱?！究键c(diǎn)定位】本題考查三視圖及空間幾何體體積計(jì)算。10．假如，正方體底面及正四面體底面在同一平面α上，且AB//CD，正方體六個(gè)面所在平面及直線CE,EF相交平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m+n=（）A.8B.9C.10D.11【答案】A【解析】因?yàn)檫^(guò)EF做垂直于CD（AB）平面垂直平分CD，所以該平面及過(guò)AB中點(diǎn)并及AB垂直平面平行，平面和正方體4個(gè)側(cè)面相交，由于EF和正方體側(cè)棱不平行，所以它及正方體六個(gè)面所在平面相交平面?zhèn)€數(shù)為4.同理及CE相交平面有4個(gè)，共8個(gè)，選A.【考點(diǎn)定位】該題主要考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，考查空間直線及平面平行及相交，考查空間想象實(shí)力和邏輯思維實(shí)力.11．已知棱長(zhǎng)為1正方體俯視圖是一個(gè)面積為1正方形，則該正方體正視圖面積不行能等于（）A．B．C．D．【答案】C；【解析】正方體正視圖面積應(yīng)當(dāng)介意1及之間，故C不正確.【考點(diǎn)定位】本題考查三視圖，考查學(xué)生空間想象實(shí)力.12．已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)潔組合體，假如該組合體正視圖、俯視圖、均如圖所示，且圖中四邊形是邊長(zhǎng)為2正方形，則該球表面積是_____【答案】【解析】由三視圖可知幾何體為球內(nèi)接一個(gè)正方體，所以正方體體對(duì)角線為球直徑，?！究键c(diǎn)定位】對(duì)于三視圖考查主要考查學(xué)生空間思維實(shí)力，要有較好空間感。屬于中等難度。13．三棱柱側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為，且側(cè)棱底面，其正視圖是邊長(zhǎng)為正方形，則此三棱柱側(cè)視圖面積為()A．B．C．D．【答案】B【解析】側(cè)視圖是個(gè)矩形.由已知，底面正三角形邊長(zhǎng)為2，所以其高為，即側(cè)視圖長(zhǎng)為，又三棱柱高為2，即側(cè)視圖寬為2，所以此三棱柱側(cè)視圖面積為，選B.14．某幾何體三視圖如圖所示，則它表面積為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由幾何體三視圖可知，該幾何體是一個(gè)沿旋轉(zhuǎn)軸作截面，截取半個(gè)圓錐，底面半徑是1，高是2，所以母線長(zhǎng)為，所以其表面積為底面半圓面積和圓錐側(cè)面積一半以及截面三角形面積和，即，故選15．某幾何體三視圖如圖所示，且該幾何體體積是，則正視圖中值是（）A．2B.C.D.3【答案】C【解析】解:由三視圖可知,該幾何體是底面上底為1,下底為2,高為2直角梯形四棱錐,且棱錐高為,底面積為,由得:故選C.16．某幾何體三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體體積是()A．B．C．D．【答案】D【解析】依據(jù)三視圖分析可以發(fā)覺(jué)該幾何體為臥倒四棱柱,依據(jù)側(cè)視圖可得該四棱柱底面為等腰梯形且底面面積為,從正視圖可以得到該四棱柱高為,依據(jù)四棱柱體積計(jì)算公式可得,故選D.17．一個(gè)幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體直觀圖可以是（）【答案】D【解析】俯視圖實(shí)線部分、虛線部分都是圓，由此可知該幾何體上下兩部分都不行能是方形，故只可能是D.18．一個(gè)幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體表面積為（）A、B、C、D、【答案】B【解析】由三視圖可知該幾何體是底面為直角梯形（梯形上底為1，下底為2，直角腰為1），高為1直棱柱，故其表面積為.選B.19．已知三棱錐底面是邊長(zhǎng)為1正三角形，其正視圖及俯視圖如圖所示，則其側(cè)視圖面積為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】俯視圖高為，此即側(cè)視圖底，側(cè)視圖高即為正視圖高，所以其面積為.20．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體體積為（）A．6B．C．D．3【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)橫向放倒直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，由圖像該側(cè)視圖是底邊為2，高為三角形，正視圖長(zhǎng)為三棱柱高，故，所以.21．已知某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體體積為()221133正視圖側(cè)視圖俯視圖21A．B．C．D．【答案】C【解析】由三視圖易知，該幾何體是底面積為，高為3三棱錐，由錐體體積公式得.選C22．一個(gè)空間幾何體三視圖如下左圖所示，則該幾何體表面積為（）A．48B．48+8C．32+8D．80【答案】B【解析】視察三視圖可知，該幾何體為四棱柱，底面為梯形，兩底邊長(zhǎng)分別為，高為，所以，底面梯形腰長(zhǎng)為，棱柱高為.所以，該幾何體表面積為，故選．

第II卷（非選擇題）二、填空題23．一個(gè)棱錐三視圖如圖，則該棱錐外接球表面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】該棱錐直觀圖如圖，取CD中點(diǎn)E，BD中點(diǎn)F，由三視圖知，AE⊥平面BCD，AF＝5，AE＝＝4，∠CBD＝90°.設(shè)O為該棱錐外接球球心，半徑為R，由題知：BO2＝BE2＋EO2，即R2＝(3)2＋(R－4)2，解得R＝，故球表面積為S＝4×π×()2＝.24．如圖，在棱長(zhǎng)為2正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CC1距離最小值為.【答案】【解析】過(guò)E作⊥于，連接，過(guò)P作于，在同一個(gè)平面EE1D1內(nèi)，⊥E1D1，，則，又，故，點(diǎn)P到直線CC1距離就等于點(diǎn)Q到直線CC1距離，當(dāng)，距離最小，此時(shí)，.【考點(diǎn)定位】本小題考查了點(diǎn)到直線距離求法，考查了轉(zhuǎn)化及化歸思想應(yīng)用和空間想象實(shí)力.25．如圖，正方體棱長(zhǎng)為1，為中點(diǎn)，為線段上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)平面截該正方體所得截面記為，則下列命題正確是（寫出全部正確命題編號(hào)）。①當(dāng)時(shí)，為四邊形②當(dāng)時(shí)，為等腰梯形③當(dāng)時(shí)，及交點(diǎn)滿意④當(dāng)時(shí)，為六邊形⑤當(dāng)時(shí)，面積為【答案】①②③⑤【解析】（1），S等腰梯形，②正確，圖如下：（2），S是菱形，面積為，⑤正確，圖如下：（3），畫(huà)圖如下：，③正確（4），如圖是五邊形，④不正確；（5），如下圖，是四邊形，故①正確【考點(diǎn)定位】考查立體幾何中關(guān)于切割問(wèn)題，以及如何確定平面。26．若某幾何體三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體體積等于________?！敬鸢浮?4【解析】三視圖問(wèn)題關(guān)鍵是搞清晰幾何體直觀圖構(gòu)成，依據(jù)三視圖信息確定直觀圖中邊長(zhǎng)度和角度數(shù)，然后利用體積公式求解。此題中正視圖和側(cè)視圖都是三角形，且俯視圖是直角三角形，所以原圖是直三棱柱被平面截后所剩余幾何體。留意長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊法則。即由已知得此幾何體直觀圖是一個(gè)底面是直角三角形且兩直角邊分別是3,4高是5直三棱柱在上面截去一個(gè)三棱錐，三棱錐從一個(gè)頂點(diǎn)動(dòng)身三條棱兩兩垂直，底面邊長(zhǎng)分別是3,4高是3，如圖所示，紅色為截去三棱錐，所以體積為；【考點(diǎn)定位】此題考查三視圖學(xué)問(wèn)、多面體體積計(jì)算公式，考查學(xué)生空間想象實(shí)力；27．某幾何體三視圖如圖所示,則其體積為.【答案】【解析】由三視圖還原為實(shí)物圖得半個(gè)圓錐，其體積．【考點(diǎn)定位】本題主要考查了三視圖還原為實(shí)物圖實(shí)力和圓錐體積公式，屬于簡(jiǎn)潔題28．如圖是某個(gè)四面體三視圖，該四面體體積為．【答案】12【解析】由三視圖知，該四面體底面積，高為，故體積．29．如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，且∥，是中點(diǎn)，平面，，是中點(diǎn)．.【答案】試題【解析】(1)證明：由題意，∥，=∴四邊形為平行四邊形，所以.又∵，∴∥又平面，平面∴∥平面4分同理，∥平面，又∴平面∥平面.6分（2）設(shè)求點(diǎn)到平面距離為.因?yàn)閂三棱錐A-PCD=V三棱錐P-ACD即.12分30．如圖,設(shè)是一個(gè)高為四棱錐,底面是邊長(zhǎng)為正方形,頂點(diǎn)在底面上射影是正方形中心．是棱中點(diǎn)．試求直線及平面所成角大?。敬鸢浮俊窘馕觥糠?：設(shè)及平面所成角為。因?yàn)?，?分）所以．所以．（4分）。所以．（6分）因?yàn)椋?分）所以,（10分）因此（11分）則（12分）解法2：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間坐標(biāo)系。則（4分）所以（6分）設(shè)是平面一個(gè)法向量，易求得（8分）設(shè)為及平面所成角，因?yàn)椋?0分）所以：（11分）（12分）31．如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，.（1）證明:：；（2）證明：；（3）若，且平面平面，求三棱錐體積.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.【解析】（1）因?yàn)槭堑冗吶切?，，所以，可得；?）如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)、，則，，所以平面，所以；（3）作，垂足為，連結(jié)，因?yàn)?，所以，，由已知，平面平面，故，因?yàn)?，所以、、都是等腰直角三角?由已知，得，面積，因?yàn)槠矫妫匀忮F體積.32．如圖，四棱錐底面ABCD是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且．（1）求證：平面；（2）設(shè)二面角大小為，若，求長(zhǎng)．【答案】(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2).【解析】（1）由，得，．又面，所以以分別為軸建立坐標(biāo)系如圖．則設(shè)，則．設(shè)，得：．解得：，，，所以．5分所以,，．設(shè)面法向量為，則，?。?yàn)?，且面，所以平面?分（2）設(shè)面法向量為，因?yàn)椋?，所以，取?1分由，得．，，所以．15分三、解答題33．如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB中點(diǎn)．(1)求證：DE∥平面BCP；(2)求證：四邊形DEFG為矩形；(3)是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱中點(diǎn)距離相等？說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)存在，理由見(jiàn)解析【解析】解：(1)證明：因?yàn)镈，E分別為AP，AC中點(diǎn)，所以DE∥PC.又因?yàn)镈E?平面BCP，所以DE∥平面BCP.(2)證明：因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB中點(diǎn)，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形．又因?yàn)镻C⊥AB，所以DE⊥DG.所以四邊形DEFG為矩形．(3)存在點(diǎn)Q滿意條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG中點(diǎn)．由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG.分別取PC，AB中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN.及(2)同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為EG中點(diǎn)Q，且QM＝QN＝EG，所以Q為滿意條件點(diǎn)．34．如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)如圖，在△PAD中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AP，AD中點(diǎn)，所以EF∥PD.又因?yàn)镋F?平面PCD，PD?平面PCD，所以直線EF∥平面PCD.(2)連接BD.因?yàn)锳B＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD為正三角形．因?yàn)镕是AD中點(diǎn)，所以BF⊥AD.因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.又因?yàn)锽F?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.35．如圖，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC中點(diǎn)，AC＝16，PA＝PC＝10.(1)設(shè)G是OC中點(diǎn)，證明：FG∥平面BOE；(2)證明：在△ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.【答案】見(jiàn)解析【解析】(1)如圖，連接OP，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則O(0,0,0)，A(0，－8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，－4,3)，F(xiàn)(4,0,3)．由題意，得G(0,4,0)．因?yàn)椋?8,0,0)，＝(0，－4,3)，所以平面BOE一個(gè)法向量n＝(0,3,4)．由＝(－4,4，－3)，得n·＝0.又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG∥平面BOE.(2)設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(x0，y0,0)，則＝(x0－4，y0，－3)．因?yàn)镕M⊥平面BOE，所以∥n，因此x0＝4，y0＝－，即點(diǎn)M坐標(biāo)是(4，－，0)．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M坐標(biāo)滿意上述不等式組．所以，在△AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM⊥平面BOE.36．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1【答案】證明見(jiàn)解析，【解析】本題主要考查直線及直線平行、直線及平面垂直、三棱錐體積計(jì)算等學(xué)問(wèn)點(diǎn)。解答中須要留意線面平行中直線在平面外交代，體積公式運(yùn)用不要漏掉。此類問(wèn)題屬于?？碱}之一，難度屬于簡(jiǎn)潔題。因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，明顯B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C直線BC1到平面D1AC距離即為點(diǎn)B到平面D1AC考慮三棱錐ABCD1體積，以ABC為底面，可得而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC距離為．【考點(diǎn)定位】考查空間幾何體相關(guān)計(jì)算，屬中檔題。37．如圖，四棱錐P-ABCD中，，，和都是等邊三角形.（1）證明：；（2）求二面角A-PD-C大小.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】（1）解題關(guān)鍵是協(xié)助線添加，取BC中點(diǎn)E是入手點(diǎn)，然后借助三垂線定理進(jìn)行證明；（2）利用三垂線定理法或者空間向量法求解二面角.求二面角：關(guān)鍵是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂線定理定角法，先找到一個(gè)半平面垂線，然后過(guò)垂足作二面角棱垂線，再連接第三邊，即可得到平面角。若考慮用向量來(lái)求：要求出二個(gè)面法向量，然后轉(zhuǎn)化為,要留意兩個(gè)法向量夾角及二面角可能相等也可能互補(bǔ)，要從圖上推斷一下二面角是銳二面角還是鈍二面角，然后依據(jù)余弦值確定相等或互補(bǔ)即可。（1）證明：取BC中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則ABED為正方形.過(guò)P作PO⊥平面ABCD，垂足為O.連結(jié)OA，OB,OD,OE.由和都是等邊三角形知PA=PB=PD，所以O(shè)A=OB=OD，即點(diǎn)O為正方形ABED對(duì)角線交點(diǎn)，故，從而.3分因?yàn)镺是BD中點(diǎn)，E是BC中點(diǎn)，所以O(shè)E//CD.因此.5分（2）解法一：由（1）知，，.故平面PBD.又平面PBD，所以.取PD中點(diǎn)F，PC中點(diǎn)G，連結(jié)FG，則FG//CD，F(xiàn)G//PD.連結(jié)AF，由為等邊三角形可得AF⊥PD.所以為二面角A-PD-C平面角.8分連結(jié)AG，EG，則EG//PB.又PB⊥AE，所以EG⊥AE.設(shè)AB=2，則，，故.在中，，，，所以.因此二面角A-PD-C大小為.12分解法二：由（1）知，OE,OB,OP兩兩垂直.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)閤軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)，則，，，.，.，.設(shè)平面PCD法向量為，則，，可得，.取，得，故.8分設(shè)平面PAD法向量為，則，，可得.取m=1，得，故.于是.由于等于二面角A-PD-C平面角，所以二面角A-PD-C大小為.12分【考點(diǎn)定位】本題考查線線垂直證明和二面角求解，考查學(xué)生空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力。38．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5.（1）求證：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1-BC1-B1余弦值；（3）證明：在線段BC1存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析，【解析】把平面及平面垂直轉(zhuǎn)化為直線和平面垂直.要證直線和平面垂直，依據(jù)相關(guān)判定定理轉(zhuǎn)化為證明直線和直線垂直.求二面角，往往利用“作——證——求”思路完成，作二面角是經(jīng)常利用直線和平面垂直.第（3）題，求解有難度，可以空間向量完成.（1）因?yàn)闉檎叫?，所?因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C，所以⊥平面ABC.（2）由（1）知，⊥AC,⊥AB.由題意知，所以.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則.設(shè)平面法向量為，則即令，則，所以.同理可得，平面法向量為.所以.由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1余弦值為.（3）設(shè)是直線上一點(diǎn)，且.所以，解得，所以.由，即，解得.因?yàn)?，所以在線段上存在點(diǎn)D，使得，此時(shí).【考點(diǎn)定位】本題考查了平面及平面垂直性質(zhì)定理，直線和平面垂直判定定理，考查了法向量、空間向量在立體幾何中應(yīng)用和二面角求法，考查了空間想象實(shí)力和推理論證實(shí)力.39．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面,（1）求證：平面（2）若直線及平面所成角正弦值為，求值（3）現(xiàn)將及四棱柱形態(tài)和大小完全相同兩個(gè)四棱柱拼成一個(gè)新四棱柱，規(guī)定：若拼成新四棱柱形態(tài)和大小完全相同，則視為同一種拼接方案，問(wèn)共有幾種不同拼接方案？在這些拼接成新四棱柱中，記其中最小表面積為，寫出解析式。（干脆寫出答案，不必說(shuō)明理由）【答案】（1）見(jiàn)解析（2）1（3）【解析】立體幾何第一問(wèn)對(duì)于關(guān)系決斷往往基于對(duì)公理定理推論駕馭比較嫻熟，又要擅長(zhǎng)做出一線協(xié)助線加以證明，那么其次問(wèn)就可以在其基礎(chǔ)上采納坐標(biāo)法處理角度或者距離問(wèn)題，坐標(biāo)法所用公式就必需嫻熟駕馭，第三問(wèn)主要考查了學(xué)生空間思維實(shí)力，要在平常多加練習(xí)。此題坐標(biāo)法也很考驗(yàn)學(xué)生計(jì)算功底。（1）取中點(diǎn)，連接，四邊形為平行四邊形且在中，,即，又，所以平面，平面，又，平面（2）以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，所以，，設(shè)平面法向量，則由得取，得設(shè)及平面所成角為，則，解得．故所求值為1（3）共有種不同方案【考點(diǎn)定位】本題主要考查立體幾何中線線關(guān)系線面關(guān)系推斷以及線面角算法，并且通過(guò)第三問(wèn)設(shè)問(wèn)又把幾何體表面積及函數(shù)奇妙結(jié)合起來(lái)，計(jì)算和空間思維要求比較高。屬于難題。40．如圖，已知平面四邊形中，為中點(diǎn)，，，且．將此平面四邊形沿折成直二面角，連接，設(shè)中點(diǎn)為．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）求直線及平面所成角正弦值．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)一個(gè)四等分點(diǎn)；（3）.【解析】（1）直二面角平面角為，又，則平面，所以．又在平面四邊形中，由已知數(shù)據(jù)易得，而，故平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?分）（2）解法一：由（1）分析易知，，則以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．結(jié)合已知數(shù)據(jù)可得，，，，則中點(diǎn).平面，故可設(shè)，則，平面，，又，由此解得，即，易知這樣點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)一個(gè)四等分點(diǎn)；（8分）解法二：（略解）如圖所示，在中作，交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，則有平面．在中，結(jié)合已知數(shù)據(jù)，利用三角形相像等學(xué)問(wèn)可以求得，故知所求點(diǎn)存在，且為線段上靠近點(diǎn)一個(gè)四等分點(diǎn)；..（8分）（3）解法一：由（2）是平面一個(gè)法向量，又，則得，所以，記直線及平面所成角為，則知，故所求角正弦值為...（12分）解法二：（略解）如上圖中，因?yàn)椋灾本€及平面所成角等于直線及平面所成角，由此，在中作于，易證平面，連接，則為直線及平面所成角，結(jié)合題目數(shù)據(jù)可求得，故所求角正弦值為...（12分）41．如圖,三棱柱中,,,.(1)證明:;(2)若,,求三棱柱體積.【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)3．【解析】(1)取AB中點(diǎn),連接、、,因?yàn)镃A=CB,所以,由于,,故為等邊三角形，所以,因?yàn)椋云矫?又，故.(2)由題設(shè)知都是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，所以42．如圖，已知四棱錐，底面是等腰梯形，且∥，是中點(diǎn)，平面，，是中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面及平面所成銳二面角余弦值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）【解析】(1)證明：且∥，2分則平行且等于，即四邊形為平行四邊形，所以.6分(2)『解法1』：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面，易證△及△全等，過(guò)作于，連，則，由二面角定義可知，平面角為所求角或其補(bǔ)角.易求，又，，由面積橋求得，所以所以所求角為，所以因此平面及平面所成銳二面角余弦值為『解法2』：以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，以平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)且垂直于方向?yàn)檩S以方向?yàn)檩S，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，8分所以，，可求得平面法向量為又，，可求得平面法向量為則，因此平面及平面所成銳二面角余弦值為12分43．如圖,已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形，AD∥BC,CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2.（1）求證:EC⊥CD；（2）求證：AG∥平面BDE；（3）求：幾何體EG-ABCD體積.【答案】(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;（3）【解析】（1）證明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC,平面BCEG,EC⊥平面ABCD，3分又CD平面BCDA,故EC⊥CD4分（2）證明：在平面BCDG中，過(guò)G作GN⊥CE交BE于M，連DM，則由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA,且MG∥AD,MG=AD，故四邊形ADMG為平行四邊形，AG∥DM6分∵DM平面BDE，AG平面BDE，AG∥平面BDE8分（3）解：10分12分44．如圖，AB是圓O直徑，點(diǎn)C是弧AB中點(diǎn)，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，是AC中點(diǎn)，已知，.（1）求證：OD//平面VBC；（2）求證：AC⊥平面VOD；（3）求棱錐體積.【答案】(1)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(2)證明過(guò)程詳見(jiàn)解析;(3)【解析】證明：（1）∵O、D分別是AB和AC中點(diǎn)，∴OD//BC.（1分）又面VBC，面VBC，∴OD//平面VBC.（3分）（2）∵VA=VB，O為AB中點(diǎn)，∴.（4分）連接，在和中，,∴≌VOC，∴=VOC=90，∴.（5分）∵,平面ABC,平面ABC,∴VO⊥平面ABC.（6分）∵平面ABC，∴.（7分）又∵，是中點(diǎn)，∴.（8分）∵VO平面VOD，VD平面VOD，，∴AC平面DOV.（9分）（3）由（2）知是棱錐高，且.（10分）又∵點(diǎn)C是弧中點(diǎn)，∴，且，∴三角形面積，（11分）∴棱錐體積為，（12分）故棱錐體積為.（13分）45．如圖1，在直角梯形中，，.把沿折起到位置，使得點(diǎn)在平面上正投影恰好落在線段上，如圖2所示，點(diǎn)分別為棱中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求證：平面；（3）若，求四棱錐體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.（3）.【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在平面上正投影恰好落在線段上所以平面，所以1分因?yàn)椋允侵悬c(diǎn)，2分所以，所以3分同理又所以平面平面5分（2）因?yàn)?，所以又平面，平面所?分又所以平面8分（3）因?yàn)?，，所以，而點(diǎn)分別是中點(diǎn)，所以，